I PRESEK li st za mlade m a t ematike , fizike , a stroname in računalnikarje 24. le tnik, leto 1996/97, štev il ka 2 , s t ran i 65 -128 VSEBINA M AT E M AT IK A FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO N O V I C E NALOGE REŠITVE NALOG RAZVEDRILO TEKMOVANJA NA OVITKU Viši nska točka trikotnika in stožnice (N ada Razpet) . . 74-77 Aristot el in Arhim ed o vzvodu (J anez Strnad) . . . . . .. 70-72 Sprehod po m egli (Jože Rakovec) 102-106 Iskanje izvenzemeljskih civilizac ij in bakterije z Marsa (Mi rjam Galič ič) 65-69 Hijade (Marijan Prosen) 92-94 Na rišimo mrežo kocke (Matija Lokar) 78-81 Go t t frie d Wilhelm Leib n iz (Petar Pavešič] 84- 88 Praštevilske vrednosti polinoma (Dušan Murovec) 69 Kvadrati praštevi l (Boris Lavri č) 83 Vse manj je dobrih gostiln (Marija Vencelj) 83 Kateri slavn i matematik j e to? (Marija Vencelj) 100 Prištevanka za dva (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Ali j e vsota kva dra tov sam ih neničelnih štev il la hk o enaka nič? - s st r . 13 (Jurij Kovič) 72 Zaporedna števi la - s s t r . 27 (Martin Juvan) 73 Skrit račun - s st r. 53 (Marija Vencelj) ' " 77 Tri n aloge iz geometrije - s str. 52 (Boru t Za lar) 81-83 Podaljšana Langfordova zaporedja - s str. 53 (Mart in Juva n ) 88-90 Križanka "Računalniške p ovezave" - s str. 32 (Marko Bokalič) 90 Kako h itro hod it i? - s str. 1 (M arija Ven celj) 9 1 Knjižni nakupi - s str. 25 (Vi lko Domajnko) oo ••• • •• • • • • 91 Za p elj ivi radiolar - s str. 26 (Vilk o Domajnko) 94-95 Neka j zanimivih nalog za naj mlajše bra lce - s str. 24 (D . M. Milo š evi č , prev . B. Japelj) 95 Razpis na temo 1997 - Rešitev s st r. 18 (Marija Ven celj) 98-100 Pisani krogi - s str. 19 (Martin Juvan) 101 Križan ka "Preseko vi uredn ik i" (M arko Bokalič ) 96- 97 Mednarodna matematična olimpiada 1997 (Matj až Želj ko) 107 11. državno tek movanje v računalništvu za osn ovnošolce- nalog e, 1. d el (Tihomil Šlenc) .. . 107-11 1 3 1. področno t ekmovanj e za Srebrno Vegovo p rizna nj e - naloge (Aleksander Potočnik) 11 2-116 16 . področno t ekmovanje iz fizike za os novnošolce - nalog e (Mojca Čepič) 117-119 M e d narodno rne.terneni čno t e kmovanje m e s t , l . d e l (Matj a ž Željko) 119- 122 Izbirno tekmovanj e iz matematike - nalog e (Matj a ž Željk o) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 - 124 Naloge s predtekmovanja iz sre dnj ešo lske fizi ke (Ciril Domin ko) .. ~ .. . .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . . 124- 128 Meteorit AL H84001. Za to p ribl ižn o štiri in pol mi lijarde le t staro ska lo verjamejo , da j e nekoč bi la d el Marsa . V nj ej so naš li fosilne ostanke prim itivnega življenja. G lej članek na stra n i 65 1 Sl ike k članku na st ra n i 65 III- IV I Astronomija ISKANJE IZVENZEMELJSKIH CIVILIZACIJ IN BAKTERIJE Z MARSA 65 Avgusta letos so naslovne strani vseh časopisov po svetu posredovale Na- sina vest o "odkritju ostankov primitivnega življenja na Marsu" . V se- stavku bomo povedali nekaj besed o tem, kakšni dvomi so vendarle prisotni ob "odkritju stoletja" in še prej pregledali, kaj se dogaja z razvpitim pro- jektom SETI, v okviru katerega znanstveniki iščejo sporočila oddaljenih civil izacij. Vzpon in zaton projekta SETI Vprašanje, ali izven Zemlje obstajajo inteligentna bitja, je eno od velikih vp rašanj, ki si jih od nekdaj zastavlja človeštvo. Ljudje bi radi vedeli, ali smo mar res v vesolju sami . Radi bi tudi bolje razumeli svoj po ložaj v vesolju in nastanek ter razvoj svoje civilizacije. V dvajsetem stoletju je prišlo do možnosti, da se s tem vprašanjem začne ukvarjati ne le posameznikava domišljija in pisci znanstvene fanta- stike ampak tudi znanost. Prvi začetki projekta Iskanje izvenzemeljskih civil izacij (Search for Extraterrestrial Intelligence - SETI) segajo v davno leto 1959 . Tedaj je ameriški fizik Philip Morrison predlagal, da bi za is- kanj e mikrovalovnih signalov, ki jih morda namerno pošiljajo v okolico druga inteligentna bitja, lahko uporabili radijske teleskape . O tem je pi- sala tudi ugledna ameriška znanstvena revija Nature. Med pomembnimi znanstveniki, ki sodelujejo pri iskanju inteligentnih signalov iz vesolja , so še znani astrofizik in pisec astronomskih tekstov ter znanstvene fantastike Carl Sagan, astrofizičarka JiI! Tarter , fizik in elektronik Paul Horowitz in astronom Frank Drake, idejni vodja postavitve največjega radijskega te leskopa na svetu, 305-metrske antene observatorija Arecibo v Puerto Ricu. Frank Drake je poznan tudi po eni od enačb, ki se seveda imenuje Drakova enačba in z njo ocenimo šte vilo inteligentnih civili zacij v naši Galaksiji. Pravi, da je to število sorazmerno številu zvezd v Galaksiji . Sorazmernostnih faktorjev pa je lepo število. Obsegajo delež zvezd, ki imajo planete; delež planetov, ki so podobni Zemlji; delež planetov, na katerih bi se lahko razvilo življenje; delež tistih, kjer bi nastalo življenje prišlo do stopnje inteligence, tako da bi bilo sposobno namerno oddajati signale; delež tistih od nazadnje naštetih planetov, kjer civilizacija želi komunicirati z okolico in na koncu je še fakto r, ki upošteva povprečen življenjski čas inteligentne civilizacije . Enačba je po svojem nastanku bolj kone "fenomenološka" , torej ne izvira iz osnovnih fizikalnih zakonov. Velika težava je v tem , da so ocene za vse od naštetih faktorjev zelo slabe, o njih lahko pravzaprav le ugibamo, saj primanjkuje opazovalnih Astronomija I pod atkov . Bolj kot konkretne ocene nam ta enačba da misli t i, kako veliko je dej avnikov, ki vplivaj o na števi lo za nas opaznih inteligentnih civilizacij in kako majhne so naše možnost i, da bi zares slišali pozdr ave "maj hnih zelenih moži cev" . Dolgoletne sanj e in trdo delo pioni rjev proj ekta SETI je končno dobilo po trditev leta 1992 , ko je NASA začela z desetl etnim programom iskanj a radijs kih signalov, ki bi jih morebi ti proizvedle izvenzeme ljske civilizacije. Prve meri tve so bile oprav ljene ravno z radijsko ante no v Arecibu. Posku- sne meritve pret eklih let so pokazale, daje v radij skem področju ogromno šuma. To so raznovrstni sign ali (p omislimo sa mo na radijske oddaj nike), ki jih proizvaj aj o ljudj e na Zemlji . Radijski teleskopi jih zazn avajo in če hočej o astronomi ločiti zrno (sign ale iz vesolj a) od plev (šum a) , pot re- buj ejo za to ustrezno razvit e metod e, pri katerih je uporab a elektronskih priprav in računalnika nujna. Ker ne vemo, pri kateri frekvenci oziroma valovni dolžini bi d ruga bitja oddajala, moramo bit i sposobni zaznavati sign ale hkrati pri čimveč različnih frekvencah , ali kot pravijo eksperimen- t alci, na različnih kan alih. Tako so pod vodstvom Paula Hor owitza razvili napravo, ki je sp osobna zbirati sign ale in analizirat i več milijonov kanalov hkrati . Med množico zbranih podat kov so sicer našli neka tere, ki so se ji m zdeli še posebej nenavadni in obetajoči , vendar se je navadno izkazalo, da se j ih da prav lepo identificirati in razložiti njihov nastanek. Z objavlja- njem alarmantnih vesti pa so bili znanstveniki še posebej previdni, saj bi te med ljudmi povzročile najmanj preplah . Zato se iskalci izvenzemelj skih civ ilizacij t rdno držijo znanstvenega načela , da je tr eba z objavo počakati, dokler trditev ni večkrat in neodvisn o preverjena. Proj ekt SETI je bil kratkega diha, zaključiti so ga mor ali veliko prej , kot so pričakovali nje- govi načrtovalci . Čeprav je uporablj al največj i radijski teleskop , sodel ovali pa so še mnogi manjši , ni bil odkrit in potrjen noben signal, ki bi prihajal od drugih civilizac ij . Med drugimi projekti j e treba omenit i še program META, ki pot eka pod okrilje m znane ame riške organizacij e za raziskave Oson čj a , Th e Pla- netary Society. Konec osemdesetih so v okvi ru tega proj ekt a začeli s petletnim program om pregleda severneg a neba . Ravno pri te m projekt u uporabljajo Horowitzevo napravo za hkratno analizo milijonov signalov . To napravo elekt roniki še izboljšuj ejo, dosegla naj bi skoraj stokrat večjo zm ogljivost od začetne . Dosedanji rezultati projekta META so prikazani na sliki 1 na no tranj i stran i ovitka. SETI postane Feniks Proj ekt SETI je skor aj umrl , ko je let a 1994 am er iški kongres zar adi veli- kega primanjkljaja v državni blagajni ukinil njegovo finan cir anj e. Nekaj IAstronomija navdušenih privržencev, ki so pri projektu sodelovali od vsega začetka, je nemudoma začelo z iskanjem denarja na svojo roko. Tako Jill Tarter pravi, da so v štirih tednih uspeli najti prvo večjo privatno donacijo, s pomočjo katere se je rodil projekt Phoenix. (Pri simbolično izbranem imenu gre seveda za mitološkega ptiča starih Egipčanov, Feniksa, ki je sam sebe sežgal in nato pomlajen izletel iz pepela.) Projektu je za nekaj mesecev dal streho nad glavo avstralski radijski teleskop Parkes, drugi največji radijski teleskop na južni zemeljski polobli (slika 2 na zadnji strani ovitka). Parkes je majhno mestece 300 kilometrov severozahodno od Sydneya. Doslej se je ta teleskop odlikoval po velikem številu pomembnih astronomskih odkritij , uporabljali pa so ga tudi pri sled enju medplanetarnih vesoljskih ladij , v zadnjem času npr. Galilea (v eni naslednjih številk Preseka boste našli sestavek Kaj je doslej odkrilo vesoljsko plovilo Galileo?) . Februarja 1995 pa so ameriški znanstveniki začeli z opazovanjem dvestotih zvezd, podobnih Soncu, da bi zaznali ne- običajne radijske signale z njih. Projekt seveda javnosti ni ostal skrit" zato je bilo po besedah avstralskega koordinatorja, Kevina Wellingtona, iz bližine Parkesa zelo težko odgnati privržence NLP-jev. Znanstveniki so teleskop Parkes povezali z manjšim tel eskopom Mo- pra, ki je postavljen 200 kilometrov severneje. Začeli so s testiranjern in izpopolnjevanjem nove metode, tako imenovane pseudointerferornetrije, s pomočjo katere znajo izločiti skoraj vse lažne alarme, kakršni so v pre- teklosti tako pogosto vzbujali velike upe, na koncu pa so se vsi po vrsti izkazali kot nekaj človeškega. Z novo tehniko tako zmorejo iz več kot dvajset tisoč opazovanj izločiti kakih sto ti stih, od katerih si obetajo kaj posebnega. Za večino slednjih se izkaže, da jih povzročijo umetni sateliti. Medtem se je projekt Phoenix za nekaj časa preselil na radijske te- leskope observatorija Green Bank v ZDA. Naslednji cilj skupine razisko- valeev je izpopolniti metodo opazovanj na daljavo. V prihodnosti naj bi tako vsa opazovanja izvajali iz kraja Mountain View v Kaliforniji, kjer stoji eden od Nasinih raziskovalnih centrov in kjer deluje Inštitut SETI. Odkritje fosilnih ostankov bakterij v meteoritu z Marsa Iskanje znakov int eligentnega življenja izven Osončja doslej ni obrodilo sadov. V začetku letošnjega avgusta (1996) pa je svet obšla alarmantna vest , da so Nasini raziskovalci odkrili primitivno obliko mikroskopskega življenja, ki je morda obstajalo na Marsu pred več kot tremi m ilijardami let. Če se bo vest izkazala za resn ično, potem gre za prvo odkritje življenja, ki je nastalo zunaj našega planeta. Do ugotovitev, ki seveda še niso do- končne , so prišli na osnovi raziskav pradavnega meteorita ALH 84001, ki naj bi se zaril v antarktičn i led pred kakimi trinajst tisoč leti . NASA Astronomija I poudarja, da ne gre za male zelene možic e. Tisto , kar so od kri li , so iz- jemno majhne, enocel ične strukt ure, ki nekoliko spominj aj o na zemeljske bak terij e. Zadnjih dvaj set let smo živeli v prepričanju , da na Marsu ni življenja. Pod atki , ki nam j ih je posredovala vesoljska sonda Viking 1, ki je na Marsu pristala 20. j ulij a 1976 , so pokazali , da na tem plan etu ni sledov življenja. Iskanj e znakov živih bit ij j e bila namreč ena od pog lavitnih na log projekta Viking . Med druge osuplj ive dosežke Vikinga 1 sodi na pr imer delo dveh njegovih orbite rjev , ki sta posnela kopico slik Marsovega površja, tako da je poslikanih celih 97 odstotkov le-tega, Pri st aj aIna modula, ki sta med drugim pr inesl a vzorce Marsove zemlj e, sta bila opremljena z različnimi inštrumenti , ki naj bi bili sposobni zaznati sledove življ enja (procese pre- snove) vse od preprostih bakt erij pr eko rastlin do živali. Ker je šlo za zbira nje vzorcev le na teh dveh mestih , med t.em ko je vse ostalo površje planeta ost.alo nepreiskano, je Gerald Soffen , eden vod ilnih znanstvenikov projekt a Viking , dejal , da njihovi rezultati še ne pom enijo, da na Marsu ni sledov življenj a , ampa k le to, da na pr eiskanih dveh mestih verjetno ni živih organizmov . An alize Marsove atmosfere in prst i pa so pokazale , da na Marsu obs taj aj o vsi za življenje ključni kemični element i: ogljik , duš ik, vodik , kisik in fosfor. Dokazal i so t udi, da na Marsu obstaja za življenje , kakršnega pozn amo, bistvena snov, voda , in sicer v dveh agregatnih sta- njih , kot para in kot led . Meteorit z oznako ALH84001 (slika na naslovn i st ran i) so našli leta 1984 na Antarktiki. Gre za 1.9 kg težak meteori t , skalo nepr avilne oblike, ki pa v desetih letih ni posebej pr it egnila znanstvenikov. Le-ti so vedeli, da so nekateri meteori ti , ki j ih najdemo na Zemlj i, ko š čki Lune ali Marsa. In kako so prišli na Zemlj o? Ko se je nekoč asteroid ali kornet zaletel v Mars, j e ob siloviti eksp loziji ob padcu lahko odkruš il kakšen kos, ki je nato ob vpadu kakega drugega meteo rita zapust il Mars , milij one let kro žil okrog Zemlj e, ta ga je ujela in končno j e padel nanjo. ALH84001 se v začetku ni zdel te vrste. Mislili so , da gre za obi čaj en met eorit , ki izvira iz asteroid nega pasu. Pred dvema letoma pa sta dva Nasina znanstv enika opazila drobne podr obn ost. i, na podlagi katerih so ga uv rst ili .red doslej 12 m eteoritov , za kat ere verjamejo , da so marsovskega izvora . ALH84001 naj bi se strdil in postal del Marsove skorje pred št iri in pol milij ard ami let . Tako preds tavlja najs t arejšo znan o nam skalo s kat e- regakoli planeta. Najdeni minera li in sledi življe nja naj bi bili stari okrog 3.6 milijard let . Sedaj objavljena odkr itja je omogočila zapl etena nova me to da preiskav z laserjem . Tako so biokemiki od krili komplicirane or- ganske molekule. Geolog Dav id McKay, vodja skupi ne znanst venikov , ki se ukvarj a s te m met eori tom , ne trdi, da so odkrili življenje na Marsu , I Astronomija - Na loge ampak d a so našli le znake v tej smeri. Poziva tudi preostalo znanstveno srenjo, da neodvisno preuči meteorit in potrdi ali ovrže njihova spoznanja. Številni ugl edni znanstveniki so nemudoma reagirali skeptično, vendar pa so hkrati poudarili, da bo v primeru, če bodo prvi zaključkiznova potrjeni, šlo za zelo pomembno odkritje. Nekateri dopuščajo možnost , da se j e me- teorit obogatil z organskimi molekularni v času, ko je potoval po Zemljini atmosferi; drugi spet trdijo, da bi glede na sestavo skala prav tako lahko izvirala z Zemlje. Nastala naj bi ob vpadu kakega meteorita, podobno kot srno zgoraj povedali za njen nastanek na Marsu, le da bi potem ostala v okolici Zemlje in se na koncu vrnila na njeno površje. Tudi če j e skala zares z Marsa, so takoimenovani fosi lni ostanki še vedno lahko nastali tudi na drugačne, kem ijske načine - brez prisotnosti živih organizmov. Bistveno pa je, da fosilne "globule" (glej sliko 3 na zadnji strani ovitka) v meteoritu močno spominjajo na podobne bakterijske fosile, ki so jih našli na Zemlji , zato McKay verjame, da je razlaga , kakršno j e podala njegova skupina, najverjetnejše, Na odgovor, ali je bilo avgusta leta 1996 svetu sporočeno "znanstveno odkritje stoletja" ali ne, bo treba počakati še nekaj časa. Medtem bodo številni znanstveniki posvetili dneve in dneve trdega dela nadaljnjim raziskavam , preverjanju in zbiranju novih podatkov . Nova misija na Mars je zelo blizu . Vzlet Nasinega plovila Mars Glo- bal Surveyor je načrtovan za 2. december 1997 . (Polete na Mars po leg Američanov pripravljajo t udi Rusi in Japonci.) Med njegovimi cilji je zbiranje podatkov, ki naj bi odgovorili na vprašanja, kak šna je bi la vloga vode v Marsovem razvoju in ali je v preteklosti na Marsu morda obsta- jalo življenje. Dogajanja in spreminjanja v atmosferi nameravajo opa- zovati tekom Marsovega leta , saj bi radi videli , kako potekajo Marsovi letni časi. Na osnovi dragocenih Vikingovih opazovanj in zaradi raz vite tehnologije, posebej računalnikov, si znanstveniki obetajo, da borno po tej misiji mnogo bolje poznali in razumeli Rdeči planet . Upajo tudi, da bo do našli nove dokaze, na podlagi katerih bodo la hko trdneje govorili o pradavnem obstoju preprostih življenjskih oblik na tem planetu . Mirjam Galičič P RAŠTEVILSKE VREDNOSTI POLINOMA Ali obstajata taki naravni števili m in n, da ima polinom p(x) =3x2 +7x +m praštevilske vrednosti pr i x = n - 1, x = n in x = n + 1. Dušan Murovec - ----- (3) Fizika I ARISTOTEL IN ARHIMED O VZVODU Od vej fizike se j e mehanika začela razvijati že v antičn ih časih . Pri tem so stat ika, kin em atika in din am ika šle po različnih po t eh . V prvi , ki obrav- nava miruj o ča telesa, so bil a nekatera vprašanj a dovolj pr eprosta , da so jih reš ili s sorazmerjem. Sorazmerje j e bilo te daj edino izdelano matematično orodje. Druga, ki raz iskuje gibanje te les, j e s sorazme rjem lahko zaj ela le pr emo enakomern o gibanje. Tr etj o, ki si prizad eva podrobn o pojasniti gibanje tel es, so te daj šteli v filozofij o, kar namiguje na to , da je bila za fiziko še prezahtevn a. Eno izmed prvih spoznanj v statiki je bil izrek o vz vodu , s katerim so obvlad ali ravnovesje brem en na ravn em vzvodu. V ravn ovesju st a ročici, to sta razdalji pritrdišč od osi, v obratnem razmerju breme n: (1) Do spoznanja so najbrž prišli naj prej s pr eprostim pos kušanje m. Spozna- nje j e omogočalo tehtanje, uporabno v vsak danj em življenj u . Zanimivo je, kako je izrek utemeljil Aristotel (384 do 322 pr .n .š.) . Najprej j e ugotovil , da bi se pri vrtenju vzvoda okoli osi gib ali kraj išči vzvo da s hitrostrna, ki sta sorazme rn i z ročicama : (2) (Da nes bi rekli , da j e vzvod tog in se okoli osi zavr ti z določeno kotno hit rostjo .) Nato se je oprl na svoj "zakon gibanja" , po katerem je hi- trost t elesa te m večj a , čim m anj ši j e up or. Mislil j e, da j e pri gibanj u vzvoda treba brem e na nasp rotnem krajišču upošt evati kot upor . Zato naj bi hi t rost drugega kraj i š č a bil a obrat no sor azmern a z brem enom v pr- vem kraji š ču in hitrost prvega krajišča obratno sorazmern a z bremenom v drugem kraji š ču : V2 r, V l F2 Iz enačb (2) in (3) sledi izrek o vzvod u (1). To ni bilo zadnjič , da je v fiziki kriva pot pripelj ala do pravega sklepa. Arhimed (287 do 212 pr. n.š .) se je zadeve že lotil drugače . Za razl iko od Aristotela se je ukvarj al z m atematiko. Njegovo osnovno st ališče j e mogoče razbrati iz pisma: Fizika "Arhimed Eratostenn pozdrav: določene stvar i so m i najprej postale j asne na mehanični način, čeprav sem jih moral pozneje d okazati geometrijsko, ker r aziskovanje na povedani način ni dalo pravega dokaza. Seveda pa je laže priti do do kaza, če smo prej s tem načinom dobili nekaj znanja o vprašanjih, kot bi bi lo brez prejšnjega znanja." 711 Geometrijsko dokazovanje v Evklidovem duhu se fiziku danes zdi do- kaj zapleteno. Nasprotno pa se mu zdi to, kar je imenoval mehanični način, zanimivo in poučno . Poskusimo mu slediti. Zelo lahek vzvod je v ravnovesju, TTT- če sta bremeni enaki in ročici enaki. R.azmere so simetrične in obe strani vzvoda enakovredni, tako da ni ra- zloga, da bi se vzvod nagnil na eno stran ali na drugo . To velja tudi, če bremeni razde- limo na več enakih uteži in jih v ena- kih razmikih razporedimo po vzvodu. R.azdelimo ju na 10 ut eži. Združimo nekaj uteži na eni st ra- 6 I 6 ni v njihovem težišču in preostale ute- ži na drugi strani v njihovem težišču. S tem prvi korak naredimo v naspro- tni smeri . Zdaj razmere , gledano v celoti, niso več simetrične . Toda težišče prve skupine uteži še vedno leži si- metrično glede na to skupino in težišče druge skupine glede na to skupino. Združimo na levi 4 uteži in in na desni preostalih 6. Težišče leve skupine je v razdalji 3 Pp od osi in težišče desne skupine 2 Pp od osi, če je 1 Pp ali 1 Presekov palec razdalja med sosednjima bremenoma. Za izbrani primer sta ročici v razmerju 3 : 2 = 6 : 4, kar je enako obrat ni vrednosti razmerja uteži 4 : 6. Za bralce, ki jih zgled ni prepričal, ponovimo računanje splošno. Raz - delimo bremeni na skupno N uteži. Zelo lahek vzvod razdelimo potem na N - 1 enakih delov, od katerih meri vsak 1 Pp . Združimo na levi strani n ut eži in na desni jih preostane N - n. Na levo skupino odpade del vzvoda (n - 1) P p, na desno pa del (N - n - 1) Pp. Zaradi simetrije skupin je težišče prve skupine ~ (n - 1) Pp od levega kraj i š č a vzvoda in težišče desne ~(N - n - 1) Pp ~d desnega krajišča. Od osi na sredini vzvoda je levo težišče oddaljeno ~(N - 1) - ~(n - 1) Pp = ~(N - n) Pp, desno pa ~ (N - 1) - ~ (N - n - 1) Pp = ~n Pp . R.očici bremen st a torej v razmerju (N - n)/ n , ko sta bremeni v razmerju n/(N - n) . To potrjuje izrek (3). Jurij Kovič Fizika - R ešitve nalog I Arhimed je lahko vzkliknil : "Da j te mi trdno točko in prem a kn il bom Zemljo!" , ko se je splošno prepričal , da velja izrek o vzvodu. Poročaj o , da je pre- senetil meščane Sira kuz , ko je dal z vzvodi dvign iti in prestaviti ladjo. Nihče ni mislil, da je kaj takega mogoče . Upajmo, da se je zdel bralcem Pr eseka pogled v daljno preteklost fizike zanimiv. Vendar pri takem površnem presoj anju nekdanji h razmer z današ nj imi očmi lahko hitr o prenagljeno sklepamo. Pr i podrob nejšem razmisleku bi kazalo upoštevati , da tedaj kol ičin niso vpeljali tako kot mi, j ih niso zaznamovali z algeb rskimi simboli in niso pisali enačb . Arhimed j e vedel , da je t reba podpret i vzvod v osi s "silo" , ki ustreza vsoti br em en . To je lahko ugotovil, če j e vzvod obesil na škr ipec in ga ur avnovesil. Znal je določiti t udi težišče nesimetričnih likov. Venda r za- kona gibanj a ni poznal. Z dinamiko j e začel Galileo Galilei na začetku 17. stoletja, ko je raziskal enakome rno pospešeno giba nje pri kot aljenju kroglice po blagem klan cu in sklepe razširil na prost o padanje, Zakon gi- ba nja je postavil let a 1687 Isaac Newton. Vpeljal j e poj em sile kot mero za delovanje telesa na telo (zat o smo govorili o "bremenu" , a ne o "te ži" ali "sili" ). Odtlej j e pojasnj evala dinamika giba nje teles z delovanje m drugih teles in je postala teža sila, s katero Zemlj a priv l ači te lo. Aristotel je s svoji m "zakonom giba nja" poskusil opisati voz, ki ga po ravnih tleh vleče konj . Ta "zakon" je mejni primer Newt onovega zakona gibanja za te lo , na katero deluje s hit rostjo sorazmerni up or. Iz Newtonovega zakona izpeljemo izrek o vzvodu preko ravnovesj a navorov: T 1F 1 = T2F2 . Ar himed se je oprl na simet rijo , ko še ni po- zna l zakona gib anj a. Podobno si dan an šnj i fiziki s sim et rijo pomagajo na primer pri raziskovanju osnovnih delcev , ko še ne poznajo zakona gibanja. Jan ez S trnad ALI J E V SOTA KVADRAT OV SAMIH NENIČELNIH ŠTEVIL LAHKO ENAK A NIČ? - Rešitev s st r. 13 Naj bo do a , b, e poljubna rea lna števila , ki zadoščaj o pogoju ab + be + + ca = O. T edaj j e (a+ bi)2 +(b+ ei)2 +(e+ai)2 = a2- b2+ b2-e2+e2-a2+2i(ab+ be+ca) = o. P rimer : Za a = 2, b = 2 in e = -~ = -1 dobimo: a + b (2 + 2i )2 + (2 - i )2 + (- 1 + 2i)2 = o. IRešitve nalog ZAPOREDNA ŠTEVILA - Rešitev s str. 27 Naj bo naravno število n vsota k zaporednih naravnih števil. Če z d označimo najmanjši člen v vsoti, imamo n = d + (d + 1) + . . .+ (d + k - 1) = kd + (1 + . oo + k - 1) =kd k(k -l) = k(k+2d -l) + 2 2 oziroma 2n = k(k + 2d - 1). Ker sta faktorja k in k + 2d - 1 različne parnost.i, je natanko eno od števil k, k + 2d - 1 sodo, drugo pa je !iho. Kandidati za število k so tako vsi delitelji št.evila 2n, za katere je eno od števil k ali 2;: liho . Pri izbranem k-ju mora veljati d = ~ekn - k + 1) = = 2n-~lk-l) . Izbira števila k nam zagot.avlja, daje tako določeno število d vedno celo. Vendar pa vsaka taka izbira še ne določa zapisa števila n kot vsote dveh ali več zaporednih na ravnih števil. Veljati mora namreč še k > 1 in d 2:: 1. S preoblikovanjem zadnje neenakosti dobimo 2n 2:: k(k + 1) oziroma k :s ~-1. Izbrani delit.elj k torej ne sme biti prevelik. Poglejmo, za katera naravna števila n lahko poiščemo število k, ki ustreza vsem zgornjim zahtevam. Število 2n lahko enolično zapišemo kot 2n = 2a b, kjer je b !iho število . Naj bo k = min{2a , b}. Očitno je eno od števil k, 2kn !iho . Ker sta števili 2 a in b različni, je t udi k(k + 1) :s 2a b = = 2n . Če je še b > 1, potem je tudi k > 1. Če pa je b = 1, potem sta k = 1 in k = 2n edina delitelja števila 2n , za katera je eno od števil k , 2;: liho. Ker pa nobeno od njiju ne ust.reza dodatnima neenakostrna, naloga za taka števila n nima rešitve. Kot. vsoto dveh ali več zaporednih naravnih št.evillahko torej zapišemo natanko tista naravna števila, ki niso pot.enca števila 2. Omenimo, da nam zgornja izbira št.evila k za lih n da zapis n = n2"1 + ~, ki je bil omenjen v besedilu naloge. Za konec si oglejmo še vse zapise št evila 180 = 22.32 .5 v iskani obliki . Vsi lihi delitelji števila 180 so 1, 3, 5, 9, 15 in 45. Možne izbire za k so torej ti delitelji in njihovi osemkratniki. Med temi št.evili pa dodat.nima zahtevama k > 1 in k(k + 1) :s 360 zadoščajo le 3, 5, 8, 9 in 15. Tako dobimo zapise 180 =59 + 60 +61 = =34 + 35 +36 +37 + 38 = = 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = = 5 + 6 + 7 +8 +9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19. Martin Juvan Matematika I VIŠINSKA TOČKA TRIKOTNIKA IN STOŽNICE Že v starih časih so nekateri ljudje poznali in znali izkoristi ti gibanje po- sameznih točk pri raznih napravah , na primer vodnih črpal kah , parnih st roj ih , ur ah itd. Takšn a opazovanja so lahko zanimiva še danes . Zani- mi vo je vedeti , kakšno krivuljo opisuje na primer vent il ali določena točka na obodu kolesa , ko se brez dr senja peljem o po vodoravni cesti. Te kri vu- lje zlahka tudi narišem o; zadost ujet a svinčnik in papir . Svinčn ik pril epimo na obo d krožne plošče , ki jo kotalimo ob ravn ilu , in kri vulj a se zariše na papirju . Nekater i računalniški programi omogočajo opazova nje različnih gibanj . Ed en izm ed njih j e Cabri-g čometrc , ki so ga izdelali na un iverzi v Greno blu v Franciji in ga že im aj o tudi pri nas na nekaterih šo lah . Tudi novi žepni računalnik T I92 ga že ima vgraj enega v svoji spom inski enoti (poleg njega pa še pr ogr am DERIVE, o katerem je bilo v Preseku že nekaj napisano) . S prog ramom Cabri-geometre bomo odgovorili na naslednje zanimivo geomet rijs ko vp rašanje: Kakšno krivuljo opiše višinska točka V trikotnika 6ABC z negibno stranica A B , ko oglišče C premikamo po izbrani premi ci p? Če imamo na voljo ome nje ni program , pot em najprej narišemo po- lj uben trikotnik 6 A BC in poljubno premi co p . V trikotniku 6ABC konstruiramo višin sko točko V . Dogovorimo se, da bo im ela st. ranica A B kons tantno dolžino in bo negibna (ne bom o je premikali) . Program omogoča, da ogl išče C pripeljemo na premi co p in ga nanj o nekako pri- lepimo, kar pomeni , da se nato točka C lahko pr emika le po pr emi ci p . Op azuj em o, kako se pri tem giblj e točka V . Izkaže se, da j e oblika krivu- lj e odvisna od lege premi ce. Ločimo tri bist veno raz l i čne primere: ko je pr emica p vzporedna st ranici A B , ko je na stran ico A B pr avokotna in ko jo seka (ali pa nj eno nosilka) pod kotom , ki ni enak 900 . Premica p j e v zpor edna stranici AB Če pr em ikamo oglišče C po premi ci p , ki j e vzp oredna stranici A B , se višinska točka V giblje po krivulji , za katero bi z risb e, nari san e s pro - gramo m Cabri-geomet re, lahko skl epali , da j e par ab ola , ki pot.eka skozi oglišči A in B . Preverimo našo domnevo z računom . Naj prej si izb erimo pravokotni koordinatni sistem . Koordinatno iz- hodišče postavimo v ogl išče A , os x naj bo nosi lka strani ce AB. Oglišče C naj leži na pr emi ci p, ki j e za Idi > Ooddaljena od osi x . Naš trikotnik im a torej oglišča A(O,O), B(b , O) in C(t, d). Pri t.em je b realna konstanta in t parameter , ki se spreminj a , če sprem inj amo lego točke C . P remica p ima enačbo y = d. A1atematika Poiščimo koordinate točke V, ki je prese či š č e nosilke višine na stranico A B in nosilke višine na strani co C B . Prva je premica x = t, druga pa je premica, ki gre skozi koordin atno izhodišče in j e pravokotna na strani ce CB . Zato je njena enačba b-t u> - d- x , Sledi, da ima trikotnik ABC višinsko točko V (t , ~t (b - t) ). Ko se točka C giblje po premi ci p , višinska točka V potuj e po krivulji z en ačbo 1 y = -;y(b -x) . Enačbo prepišemo v obliko (1) iz ka tere razb eremo, da je krivulj a parab ola s tem enom v točki T( ~ , ~:) . Para bo la seka os x v točkah z abscisama X l = Oin X2 = b, torej v to č kah A in B . Kot je znano iz anal i tične geornetrije, pomeni absolut na vrednost koeficient a d v enačbi (1) 4-kratno goriščno razdaljo par ab ole. Vemo tudi , da tem e leži na sredini med premico vodnico in goriščem . Prepr ost račun b 2 2 pokaže, da je gorišče parab ole v točk i G( 2 ' b ::j ), vodnica pa im a enačbo b2 ±d2 y = 4d Dokler sta notranj a kota 1: CA B in 1: A BC oba ostra , opisuje višinska točka del parabole, ki j e nad osnovnico, sicer pa pr eost ali del par ab ole (slika 1) . Slika 1. Y A I P remica p je pravokotna n a stranica AB V tem primeru je premica p no- silka ene od višin. Če premikamo oglišče C po p, se po njej giblj e tudi točka V (slika 2) . Poseben primer dobimo, če gre premica p skozi oglišče A (ali pa B) . V teh dveh primerih j e tri- kot nik t::.ABC ves čas pravokoten (s pravim kotom v A oziroma v B) in točka V se ne giblje, ostane kar v A oziroma v B. Slika 2. Matematika I Premica p seka nosilka stranice AB pod kot om a i 900 Vzemimo, da ima premica p , po kateri potuje točka C, enačbo ax + f3y- - 6 = O, pri čemer sta koeficient a a in f3 oba različna od nič . (Primera , ko je bo disi a = Oali f3 = O, smo že obravnavali. Če sta oba koeficienta hkrati nič, to ni enačba premice.) Če izb eremo koordinatni sistem tako kot v prvem primeru , ima oglišče C koordinati t in y = (6 - at)/f3. Višinska točka V leži na premicah z enačbama x = t In f3(b-t)y= x . 6 - at Od tod sledi : Ko se točka C giblje po premici p , točka V opisuj e krivuljo z enačbo oziroma f3x(b - x ) y = '-::--'----_.:... 6 - ax f3x 2 - axy - f3 bx + 6y = O. (2) (3) Enačba (3) pove, da je iskana krivulja stožnica . Iz enačbe (2) razberemo, da ima krivulja navpično asirnptoto 6 x= -. a I Matematika - Rešitve nalog 771 x <, '- ..... P,: p C ' : '1 I I I I I Slika 3. y IJ (J (JJ - a(Jb y = - x + 2 . a a vidimo, da ima krivulja še eno <, asimptoto z enačbo Če J =j:. O in ab =j:.J, je iska- na krivulja hiperbola. Ena asirn- ptota je pravokotna na nosilka stranice AB, druga pa na premi- co p . Središče hiperbole je točka S(! 2(30 - (3 ab) ki J' e presečišče Q" 0 2 , obeh asimptot (glej sliko 3). Če je J = O, je premica p no- silka stranice AG, če paje ab = J, pa nosi lka stranice BG. Točka V se tedaj giblje po premici, ki je pravokotna na premico p , to je po nosilki višine. Pri tem seveda ne smemo pozabiti , da je v primeru , ko pade G v oglišče B oziroma v A, trikotnik izrojen in o višin ski točki V ne moremo govoriti (glej sliko 4). Slika 4. Posebej zanimive so lahko tudi krivulje, ki jih opisuje višinska točka V, ko oglišče G premikamo po drugačnih krivuljah. Vendar je tedaj ana- liza naloge težja. Če ena čbo (2) zapišemo v obliki (J (JJ - a(Jb a(JJb - (JJ2 Y = - x+ 2 + 2( ) ,a a a J - ax Nada Razpet SKRIT RAČUN - Rešitev s st r . 53 Naloga ima eno samo rešitev ~ _ 927 = O. 6 1854 Marija Vencelj Računalništvo I NARIŠIMO MREŽO KOCKE Radi bi naredili model kocke. Zanj pot rebuj em o mr ežo kocke. Seveda bi jo zlahka narisali s pomočjo ravnila in svinčn i ka . Vend ar zakaj prepr osto , če gre t ežje. In ker smo ravno postali ponosni lastnik računalnika , j e rešitev kot na dlani : up orab ili bomo računaln ik . Čeprav bi nalogo lahko opravili enost avnej e s posebn im risarskim program, kot sta na prime r CorelDraw ali pa AutoCAD , poskusimo zad evo rešiti kar z risarskim programom, ki ga vsebuje že samo okolj e W indows - s programom PaintBrush . Mimo- grede se bomo naučili up orabljati še nekaj njegovih morda malo manj znanih last nost i , pa še naša denarnica nam bo hvaležna. Zgoraj omenjena posebna risarska programa namreč nista ravno poceni. Torej - lotimo se dela. Na papir skicirajmo mrežo kocke, da bomo vedeli , kaj pr avzaprav ri- šemo. Višek lepote naša skica (slika 1) res ni , a se bomo pri pravem risanju toliko bolj potrudili. Zaženimo program PaintBrush . Ker bi radi ri- sali natančno, bi nam zelo prav prišel koordina- Slika l. Ski ca mreže kock e. t ni sistem . Prikazovanje položaja grafične točke (točke risanja) vključimo t ako, da v izbiri View izberemo Curs or Po- s i tion. V desn em zgornjem kotu okna se pojavi okence, kjer se kažejo koordinate točke , ki jo z miško premikamo po risalni površini. Če ponovno izberemo View, vidimo, da je pred to izbiro sedaj klj ukica (slika 2) . !'h."\. 1", - 1 51~· _~~~~~~~~~ o o Slika 2. Vkl op p rika za polož a j a grafi čnega ka za lca . Računalništvo Najprej narišimo vzdolžne štiri kvadrate. Naj bo stranica naš e kocke dolga 50 enot . Zato najprej na rišimo pravokotnik, širok 50 in dolg 200 enot. Ustrezno ris arsko orodj e izbrem o tako , da kliknemo na nepobarvan kvadrat O na levi strani okna programa PaintBrush . ~ . I I _J~ Slika 3. Nastajanje mrež e . =- Da smo naredili pr av , vidimo po tem , da je po lje sedaj črno . V programu PaintBrush je namreč orodje, s katerim rišemo ali popravljamo risbo, vedno obarvano črno . Miško postavimo na položaj (40,150) in pritisnemo na levi gumb. S pritisnjenim gumbom vlečemo, dokler ne odčitamo , da sm o na po ložaju (240 ,200). Takrat gumb sp ustimo. Na začetku se bomo verjetno precej trudili , da bomo miško pripeljali res točno na željene mesto , a z malo vaje ~~~~~~~~~~~~~if~ nam bo zagotovo usp elo. Če naš P;~'~ ,•. ". pravokotnik ni prave velikosti , ker nam roke ni uspelo voditi ustrezno mirno, si pomagamo tako, da v iz- biri Edit izberemo Undo . S tem prekličemo zadnji korak in lahko postopek ponovimo. Nato se po- stavimo na položaj (90 , 100) in na- redimo pravokotnik do (130 ,250) (slika 3) . Slika 4 . Mreža j e narisana . . , r... t .. l e .. ;:""" ...... 0. . .... tk .. 111 l'I!l ~:~ ~~ ' ol>, ~t ,p~ CjFJ ~l "c;'~ ,o . tO~ ~I~ ~ ~;.- ~ , .- - ..- Manjka nam le še navpi čna črta od (190,150) do (190, 200) . Izberemo si orodje za ravne črte in se postavimo na (190,150). Spet pritisnerno na levi gumb miške in vlečemo miško do (190 ,200) . Da nam bo lažje, držimo pritisnjen še gumb SHI FT. S tem programu PaintBrush povemo, da želimo risati le navpične oz. vo- doravne črte , ne pa poševnih (no , lahko narišemo tudi take pod ko- tom 45 stopinj) . Zato nam na prvo koordinato ni potrebno gledati in poskrbimo le, da j e druga 200. Spustimo miškin gumb in šele po- tem spustimo tudi SHIFT, da ne bo črta na koncu poševna. Tako, končali smo. Naša mreža je nari- sana (slika 4). Ponovimo , kaj sm o pri risanju uporabili: • v izbiri View smo s Curs or Position vklopili prikazovanje koordinat , • uporabili smo orodji za risanje kvadratov in ravnih črt , 180 Računalništvo I Slika 6. Pomnožena mreža kocke. • izbira EditjUndo razveljavi zadnjo storjeno akcijo: uporabimo jo, če kaj storimo narobe, • če pri risanju ravne črte držimo pritisnjeno t ipko SHIFT, narišemo le vodoravno oziroma navpično črto ali pa črto pod kotom 45 stopinj . Ko natisnemo našo mrežo na papir, ugotovimo, da smo izbrali pre- majhno enoto. Stranica naše kocke bi morala biti nekoliko večja. Kaj pa sedaj? Ponoviti postopek od začetka z večj imi stranicami? Gre tudi hitreje . PaintBrush nam namreč omogoča, da del slike povečamo . Izberimo orodje za pravokotne iz- [:ij,.,;, reze dti . Označiti moramo pra- vokotno območje, ki bo zajemalo celotno narisano mrežo. Posta- vimo se levo zgoraj od mreže in s stisnjenim miškinim gumbom za- jamemo mrežo v črtkast okvir (slika 5). Slika 5. Označimo del risbe. Sedaj izberimo Pick in tam izbiro Sh r i nk + Gr ow. Znova narišemo črtkast pravokotnik (izbrano orodje so še vedno škarje). Ko ga narišemo, se v njem pojavi nova kopija mrež e kocke. Ce je označeni pravokotnik večji od začetnega, bo nova slika mreže večja, če pa je manjši, bo manjša. Ko narišemo več pravoko- tnikov, ugotovimo, da tako zlahka razmnožimo mrežo v poljubno šte- vilo kopij. Paziti moramo le, da pri določanju pravokotnikov drži - mo pritisnjeno tipko SHI FT, saj si- cer lahko spremenimo ra zmerje med dolžino in višino slike. Aha, pa le ni bilo odveč , da smo se mučili z računalnikom. Poskusite povečati in razmnožiti risbo, ki ste j o narisali z ravnilom in svinčnikom (uporaba fotokopirnega stroja ne velja)! Za konec pa našo mrežo še po- ,r' 0:- barvaj mo. To storimo z valj čkom - orodjem ~." (P leskarji mu rečejo maček.). Z miškinim kazalcem pokažemo nanj in pritisnemo levi gumb. Kako pa izberemo barvo? Zelo enostavno. Z miško pokaž emo na želeno barvo v pal et i na spodnjem delu okna in pritisnemo na levi gumb. Iz- brano barvo vidimo kot notranji pravokotnik na začetku seznama barv. IRačunalništvo - Re šitve nalog Povejmo še to, da je okoli nje bar- va ozadja, ki jo sprem inj amo s pri- t iskom desnega gumba. Ko sm o izbr ali pr avo bar vo, se postavimo znotraj izbran ega kvadrata in pri- t isnemo levi gumb . Zarn enj am o barvo in postopek pon avlj arn o, dokler ne dobimo res pisan e mr eže kocke. Za kon ec pa še nekaj nalog: Slika 7. Barvamo mrežo . l. Nariši mrežo kvadra. 2. Nariši še druge možne mreže kocke. 3. Nariši mrežo valj a (potreboval boš še orodje za risanj e krogov - sp o- m ni se na trik s tipko SHIFT) . Matija Lokar TRI NALOGE IZ GEOMETRIJE - Rešitev s str. 52 r~ 2r 2. naloga. Osnovn a ideja rešitve je v pr avokotnem trikotniku : kjer je r polmer kroga, ki ga lahko dobimo v šest ilo, ker imamo označeno središče kroga. Postopamo t akole: • Izb erem o si katerokoli točko na krožnici K in jo označimo z A. • Konstruiramo točko C tako, da trikrat nanesemo polmer po krožnici. Tako smo dobili razdaljo 2r med točkama Ain C . • Načrtamo krožni ci KA in K e t er t rikrat nanesemo polmer , da dobimo točki E in F . 1. naloga. Primer za t ako sobo je naslednji tl oris: Obstaja pa še dosti drugih možnosti. R ešitv e nalog I • Razd alj o r J5lahko dobimo tudi v spo dnjem pr avokotn em trikot niku, ki ga lahko načrtamo tako, da vza memo v šest ilo 3r (kar j e razdalj a med točkama E in C ) in nari šem o dve krožnici }CE in }CF . Njun pr esek je točka G . Razdalj a med G in O je točno rJ5. • Vzamem o v šestilo rJ5 in iz točke Enačrtamo krožnico. Tam , kjer ta krožni ca seka krožnico }C, st a točki B in D . 3. naloga. Najprej pr emi slimo, kako bi rešili podobno nalogo za t rikot nik. Če v trikotniku ABC razpolovima stranica A B in potegnemo premico skozi točki C in T , pot em im at a trikotnika AT C in AT B enako dolgi osnovnici in isto višino, kar pom eni , da im at a enaki ploščini . V primeru , ko je dani lik št irikot nik ABCD , moramo najprej konstru- irati t rikot nik, ki im a enako ploščino kot št irikot nik, in tega pot em razd eliti na pol. To pot eka na naslednji način : • Potegn em o dalj ico AC . Predp ostavimo lahko, da so og l i š ča postavlje- na tako, da im a trikotnik ABC manjšo ploščino kot t rikot nik ACD. • Pod aljšamo st ranica C D. • Skozi točko B potegnemo vzpo rednico k strani ci AC in tako dobimo točko E . • Ker imata trikotnika ABC in AEC isto stranica AC in enako višino, imata enaki ploščini . Zato ima trikotnik AED enako ploščino kot št irikot nik ABC D. • Razpolovima dalji co ED in dobimo točko T. Tedaj im at a trikotnik ATD in štirikotnik ABCT enaki ploščini . R ešitve nalog - N aloge B P- ."c ~---_PD B orut Zal ar KVADRATI PRAŠTEVIL 1. Dokaži , da vsot a kvadratov dveh oziroma t reh , ne nujno različnih praštevil, ni kvadrat praštevila. 2. Poišči štiri pr aštevila, ki jih lahko razdelim o v dve skupini z enako vsoto kvadratov njunih elementov, pri čemer nobeno praštevilo ni v obeh skupinah hkrati . 3. Pet ne nujno različnih prašt evil razdelim o v dve skupini . Dokaži, da sta vsoti kvad ratov števil iz obeh skupin razl ični . 4 . Dokaži , da za vsako na ravno štev ilo n > 5 obstaja taka skupina n- tih ne nujno različnih praštevil, da jo lahko razdelim o na dve skupini z enako vsot o kvadratov njunih elementov, pri čemer nobeno praštevilo ni v obeh skupina h hkrati. B oris Lavrič VSE MANJ JE DOBRIH GOSTILN Ob ist em času so Mar tina in Lojzet a vrgli iz gostilne; Mar tin a iz gost ilne Pri Micki , Lojzet a iz bifeja Pri pošti . Še vedno žejni Martin se je odpravil proti bifeju Pri pošti , Lojze se je namenil pogledati , kako je Pr i Micki . Na pot sta krenila ob istem času in hodila z enakomerno hitrostjo . Ko sta se srečala , j e Martin t akole mimo- grede pripomnil, da je naredil 100 m več poti kot Lojze. Ta je prip om bo vzel kot osebno žalitev in planil v Martina. Sledil j e neizogibni pre te p. Po končanem ravsu sta se pobotala , se v solzah obje la in nad alj evala pot vsak v svoji pr votni smeri. Ker sta bil a nekoliko zdelana, je vsak od njiju zmogel le po lovično prejšnjo hitrost . Tako je Martin priš el do bifeja Pri pošti v 4 mi nutah , Lojz e pa je do gost ilne Pri Micki pot reboval 9 minut. Kako daleč narazen ležit a gost ilna Pri Micki in bife Pri pošti? Marija Vencelj Novice I GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) Letos j e ena najpomembnejših ma- tematičnih obletnic nedvomno 350- letnica rojstva nemškega filozofa in matem atika Got tfrieda W ilhelma Leibniza . Bil j e eden izmed naj- odli čnej ših um ov vseh časov, nje- govo delo pa je zaznamovalo mar- sikatero področje znanosti . V se- stavku se bomo omej ili pr edvsem na njegovo matematično delo , na- tančnej e na njegov najpom embnej- ši dosežek - izum diferencialnega in integralnega računa . Leibniz se je rodil let a 1646 v Leipzigu, umrl pa v Hannovru 70 let kasn eje. Oče Friedri ck je bil profesor moralne filozofije na leip- ziški univerzi in tudi m at i Kata- rina Schmuck je bila iz akademske družine. Že kot otroka so ga spodbujali, da je brskal po veliki očetovi knji žnici, kar j e iz malega Leibniza kmalu naredil o nenasitnega bralca. Ko je bil star 15 let, j e začel študij filozofije in prava na leipziški univerzi. Pri 20 letih je napisal pomembno razpravo o moralni filozofiji , za katero so mu na Univerzi v Altdorfu podelili doktorat (in to pot em , ko so mu ga v Leipzigu zavrnili z izgovorom, daje premlad) . V obdobje št udij a v Leipzigu sodi tudi prvo Leibni zovo resno srečanje z mat em atiko: med poletnim obiskom v J eni let a 1663 je izrabil priložnost, da je študiral Evklidove Elem ent e, delo, ki je im elo takrat že dvatisočletni sloves modela matematičnega aksiomatičnega sklepanja. Pomanjkanj e formalne matematične izobrazbe je zaznamovalo vse Leibnizovo ukvar- janje z matematiko. Čeprav j e bil pr avi vrelec daljnosežnih idej in dejan- ski začetnik mnogih matematičnih področij , od kombinatorike in mate- matične logike do topologije, j e v njegovem delu večina teh zamisli ostala le v p ovojih - b ile so n ezado stno dodelane , d a bi lahko zb u dile pozor nost sodo bnikov. Let a 1666 je izšlo Leibnizovo prv o matematično delo Dis- serta tio de arte combinatoria, v katerem je skušal razviti ' račun logičnih resnic' , predhodnika sod obne matematične logike. Kot je sam napisal , j e '. . . želel podati metodo, v kat eri bi bile razumske resnice prevedene v neko vrst računa. Ta bi bil hkrati nekakšen j ezik ali univerzalna pisava, vend ar bi se zelo razlikoval od vseh dozdaj zasnovanih, ker bi v njem črke in celo besede vodile razum , napake pa bi bile samo računske '. Novice Po doktorat u je Leibniz dobil službo pri volilnem knezu v Mainzu. Ta mu je med ostalim omogočala , da je prebil veliko časa v Parizu , kjer je spoznal Christiana Huygensa (članek o njem je bil objavljen v 6. številki XXII. let nika Preseka), enega najbolj znani h astronomov in m atem at ikov t istega časa. Prijateljstvo s Huygensom je bilo odločilno za Leibn izov na- daljnji matematični razvoj . V leti h od 1672 do 1676 je nastal največj i del Leibnizovih matematičnih rezultatov iz teorije nealgebrajskih enačb, številskih vrst, diferenčnegaračuna in interpolacije fun kcij. Najpomemb- nejše od vsega pa je , da se je takrat oblikoval tudi njegov diferencialni in integralni račun ali, kot so ga takrat imenovali, infinitez imalni račun. q P / / / / / / / / / r / 1 C D 1 1 / 1 / / A 1 ° l d(A, B ) = d(p, B) pllq in r .ip d(C, T) = d(T, D) V sedemnajstem stoletju je beseda infin itezimalni račun označevala metode za računanje ploščin , prostornin in težiš č, torej t isto, čemur danes običajno pravimo in- tegralni račun. Vemo , da ravninskemu liku , ornejenernu z daljicami, lah ko določimo ploščino tako, da ga razrežemo na trikotnike. Če pa lik ok lepajo bolj zapletene krivulje , se ta prijem seveda n e obnese . Že stari Grki (Arh im ed , Evdoks in drugi) so poznali metodo izčrpavanja, pri kateri so v krivočrtni lik v r isovali vedno manjše trikotnike, in znali sešt eti ploščine teh neskončnomnogih trikotnikov ter tako izračunati željene ploščino . Pri tem je bilo potrebno veliko računske in geometrične spretnosti . M a t e- matiki šestnajstega in sedemnajstega stoletja (Cavalieri, Roberval , ToricelIi, Fe rmat , Pasca l in drugi) so te metode še izostrili : praviloma so lik ali telo rezali na 'neskočno' majhne kose - im en ovan e infin itezimale - in potem ploščine in prostornine dobili s seš t evanjern , Eden ključnih korakov, ki so omogočili , da posamezne metode dobijo sistematičnoobliko, j e naredil D escartes (članek o njem je b il objavlj en v 6. š tevilki lanskega let n ika Preseka)' ko je začel krivulje upodabljati v (po njem poimenovanih) kartezičnih koordina t a h. S tem j e bil poudarek p renešen z geometričnega objekta - krivulje n a a lgebrajski objekt - funkcijo , p od an o s formulo, katere graf je obravnavana krivulja. Za končnikorak, določanj e ploščine pod krivuljo s pomočjo operacije na funk- cij i , ki to k rivuljo podaja, je bilo potrebno odkriti še, da je ta naloga tesno povezana z določanjem tangente na dano kr ivulj o . Problem določanja tangent d a n es rešujemo z diferencialnim računom , t. j. z odva- janjem. Do se demnajstegastoletja pa so matematiki za konstrukcijo tangent v glavnem uporabljali geometrične metode. Oglejmo si dva primera. Vsi znamo konstruirati tan- gento n a krožnico: v izbr ani točki krožn ice potegnemo premico pravokotno na polmer. Kako pa bi dobili tangento na parabolo v kaki izbr ani točki? N aj bo recimo parabola podana ge- ometrično, t. j. kot množica točk rav- nine, ki so enako oddaljene od dane toč­ ke A in dane premice p. Naj bo T točka na paraboli , skozi katero želimo pote- gniti tangento . Vpeljimo še naslednje oznake: B n aj bo razpoloviščen a jk ra j še dalj ice med A in Pi q naj bo premica skozi B, vzporedna s Pi r naj bo pre- mica skozi T, pravokotna na Pi C naj bo presečiščeq in ri D naj bo točka zrcalna točki C glede na T. Potem je tangenta na parabolo skozi točko T vzp or ed n a s premico skozi B in D . Do kaz, da j e kon- strukcija pravilna, prepuščamobralcem. Novice I (Namig: verj etno je najlažj e op isa no konst rukcij o preves t i v koordina t n i zap is in p o- ka zati , da se premica do t ika parabole v točki T .) O bs tajaj o p odobne konstrukcij e za določanje tangent tudi za druge krivulje , težava j e le , d a nam n e dajo sistematičnega post op ka, ki b i vedno pripelj al d o rešit ve. Vprašanj e j e pomembno , kajti veliko matematičnih p roblemov lahko prev ed emo na iskanj e t angente z določenimi lastnostmi . Na primer, če j e krivulj a n arisana v koor- dinatnem sistemu kot graf neke funkcij e, potem j e v t očkah , kj er zavzam e funkcij a svoj o največjo in najmanjšo vrednost , t angenta na krivulj o vzporedna z a bsciso. Če bi p oznali p os t opek za isk anje t angente n a poljubno krivulj o , bi nam t o ola jšalo pro b lem iskanja največjih in najmanjših vrednos t i funkcij. Tako sistematično rešitev nam daj e od vo d funkcij e, ki j e osnovn i pojem d ifere ncialne ga računa . A ng leš ka m a t ematika J ohn Wallis in Isaac Barrow (Newtonov učitelj in zaščit nik) s t a b rž da prva opazila, da j e za določanje ploščine pod krivulj o dovolj , če znamo d o- l očiti krivulj o , ko so p odane njene tangente . To d ejstvo sta upor ablj al a v geome t r ični ob liki. Vidimo torej , da so se mnogi znamen it i m atema tiki zelo pribl ižal i d an ašn ji ob liki in finitezimalnega računa. Za dokončno sintezo t eh dvatisočletnih geometričnih in n ekol iko sod obnej ših a lge b ra jsk ih poskusov st a p osk rb ela Ne wton in Leibniz . Oba sta ob ravn av ala krivulj e kot grafe funkcij , zn ala sta kon struirati tangen t o s pomočj o odvod ov in izračunati plo š č ino p od krivulj o s pomočj o integriranja funkcij e . Ob a sta tudi u gotovila, da j e v t ej a lgebrajski formulaciji računanj e ploščine z integra cij o funk- cije obratn a op erac ija k od va j a nj u , t orej določanju t a n gente na krivulj o. Te m u d ejstvu d anes pravimo N ew t on-Leibnizov izr ek oz iro m a kar os no vn i izr ek matemat ične a nalize. Kljub izjemnim znanstvenim dosežkom Leibni zu ni uspelo dobi ti pro- fesorskega mesta ne v Parizu ne v Lond onu , čeprav je to nekajkrat po- skušal, zato se j e preselil v Hannover , kjer j e stopil v službo mogočnega grofa Brunswick - Liineberga kot svetovalec, knjižn ičar in nad zornik del. Ko je let a 1679 grof umrl , so njegovi nasledniki naročili Leibnizu , da sest avi podrobno genealogijo njihove plemiške družine z nam enom , da utem elj i njihove številne dinastične zahteve. Te biza rne naloge se je lo- til z neverjetnim žarom, ki ga lahko vsaj delno razumemo , če vemo, da mu je omogoč i l a pop otovanj a po celi Evropi , obiske knjižnic in srečanje z mnogimi umnimi ljudmi. Pol eg brskanj a po zaprašenih listinah je Leibniz namreč našel čas tudi za druge dejavnost i. Ukvarjal se je s filozofijo , pred- vse m z et iko in teo logijo; ust anovil in podpiral je giba nje , ki j e posku šalo zd ruž it i rimsko cerkev z novon ast alimi pr otest an tskimi ločinami ; ustan o- vil j e nekaj znan st venih akadem ij , najpom embnejši, berl inski Akad emiji znanos t i pa je dolga let a t udi predsedoval. V tem času j e nj egova matematična dejavn ost zamrla , klj ub temu pa je let a 1682 sodeloval v nastaj anju znanstv ene revij e Acta Erudito- rum , v kateri j e po tem objavil svoj i najslavnejši matematičn i deli Nova m eth odis pro m aximus et minimus (Nova met oda za rnaksimume in rni- nimurne, 1684) in De geometria recondita et enelysi indivisibi1ium a tque infin it orurn (O skriti geomet rij i in ana lizi nedelj ivih in n eskončno majhnih količin , 1686) . V prvem je izpeljal osnovna pravil a odvajanja in vpelj al INovice oznako '*, ki jo še danes up orablj amo . V drugem pa je vpeljal oznako f za integral in dokazal osnovni izrek matematične analize, ki j e verj etno najpomembnejši izrek višj e matematike nasploh . Poudariti moramo pa , da Leibniz ni bil prvi, ki j e poznal te rezultate. Ker gre za eno najbolj zanimivih in kontroverznih epizod v zgodovini matematike, jo bomo na kr atk o povz eli. Koreni diferencialnega in integralnega računa sežejo zelo daleč , vse tja do starih Grkov , ki so že poznali met ode za določanje tangent na krivu- lje in računanj e ploščin likov . Njihove metod e so bile izrazito geom etrične in zato niso bile primern e za formalno računanje. Šele simbolični račun , ki ga je pr vi razvil Fran cois Viet e (danes bi temu rekli računanj e s splošnimi šte vili), in vp eljava opisovanja geometričnih obj ektov s pomočjo koordinat sta odprla po t rojstv u integraln ega in diferencialn ega računa . V obdobju med 155"0 in 1660 so mnogi matem atiki s pridom uporablj ali nove prij em e za lažj e reševanj e starih problemov in spop ad anj e z novimi, ki so bili do takrat nerešljivi. Vendar pa so se skoraj vsi t eh problemov lotevali bo- disi geometrično bodisi algebr ajsko. Kot smo že omenili , st a Newton in Leibniz prva nar edil a odločilni preboj in zdru žila dotedanj e prij em e v novo vejo matematike - v diferencialni in integr alni račun . Prvemu je to uspelo, sodeč po ohranjenih zapi sk ih in pismih, v let ih 1665-1666, drugemu pa v času bivanj a v Parizu , 1673-1676. Čeprav Newton svoj ih rezultatov ni objavil, j e bil Leibniz z njimi delno seznanjen v dveh pismih , ki jih je leta 1676 dob il od Newtona ob posredovanju Nem ca Henr yja Old enburga , t akratnega tajnika Kraljeve družbe. To ga je spodbudilo, da je svojim dosežkom dal dokončno obliko in jih v obdo bju 1684-16 93 tudi objavil. Njegove metode so se takoj razširil e med m atem atiki in imele za posl edico spektakularne rezultate, še najbolj v delih br atov Bernoulli . Ta bliskovit napredek dobro ponazarja dejstvo , da so skoraj vsi rezul tati matematične analize, ki se jih dan es učimo na osnovni stopnji , vklj učno s prvim letni- kom fakul tete, nast ali že pred letom 1700. Prvi učbenik, ki je vseboval Leibnizove rezul t ate, j e let a 1696 objavil fran coski matem atik L'Hospi t al. Šele kasneje, v letih 1704-1736, je tudi Newt on obj avil svoje rezultat e, čeprav j e že iz njegovih zgodnejših del , predvsem iz njegovega najpom emb- nejšega dela Pbilosopbie Naturalis Principia Mathernatica (M atematične osnove naravne filozofije, 1687) razvidno , da je za izpeljevanj e rezultatov že uporablj al odvajanje in integriranje. Tr eba je še povedati , da je New- ton svoje dosežke leta 1669 in 1671 ponudil Kraljevi družbi in Univerzi v Cambridgu v obj avo, vend ar so mu jih , kakor se to dan es neverjetno sliši , zavrnili , ker so menili , da so nezanimivi . Tako se j e zgodilo , da so prve obj ave teh osnovnih rezul t at ov današnj e mat ematike bile Leibnizove. Ko so njegovi članki povzročili prav i plaz novih matematičnih rezul t atov , 188 No vice - R ešitve nalog I se je med Newtonom in Leibnizom te r njunimi učenci in pr istaši razvil a ogorčena in občasno zelo groba razprava o prvens tvu , ki j e obema, vendar predvsem Leibnizu , zag renila zadnja leta življenja. Danes, ko im am o na razpolago ne le objavlj ena dela temveč t udi zapi ske in pism a, j e nedvo- mno, da je do osnov nih rezul t atov vendarle prej prišel Newton , večj i vp liv na razvoj matem atike pa je im el Leibniz . Do svoj ih rezult atov je pri šel sa m , neod visno od Newtona, bili so v matematično bolj zreli ob liki , nj egov zap is, oznake in te rminologija so prevladali in jih še danes up or ablj amo . Zadnja leta Leibnizovega življenja niso bil a preveč srečna. Poleg pre- rekanj a z Newtonom in njegovim i privrženci j e nad aljeval še s preuče­ vanjem dinastičnih zvez Brunswickovih , ki pa t akrat družine niti niso več zanimale. Ko je let a 1716 Leibniz umrl , je bil na pogr ebu pr isot en le nj e- gov osebni tajnik. Genealogijo Brunswickovih so obj avili šele let a 1843 . Petar Paue ši č PODALJŠANA LANGFORDOVA ZAPOREDJA R eši tev s st r . 53 Iščemo najmanjše nar avno število n , za kat ero obstaja zap oredje 3n šte vil, v katerem vsako od števil med 1 in n nastopa natanko t rikrat, pri čemer j e med vsakima zap orednima poj avitvama števila inatanko i drugih členov zap oredja. Taka zaporedj a srno im enovali pod alj šan a Lan gford ova zapo- redj a . Kr aj ši premi slek in nekaj poskušanj a nas pou či ta , da zelo kr atka zapo redja t ake oblike ne obstajajo. Zato se iskanja lotimo z računalnikom . Navedeni pr ogram zapo redo ma pos kuša zgradi ti vedn o daljša zapo redja zahtevane oblike in se ust avi , ko uspe naj ti pr vo pod aljšano Lan gford ovo zaporedje. Pri tem up orablj a metodo sestopanja. Zap oredj e gradi t ako, da vanj postopno dod aj a nova števila in sprot i skrbi, da ima že določeni del zaporedj a željeno lastnost. Najprej v zaporedje postavi vse tri poj avi- tve števila n , in sicer tako, da je med zaporedn im a poj avi tvam a prostora še za natanko TI drugih členov . Nato pri že postavljenih številih n na pro- sta mest a postavi tri šte vila n - 1, zopet z ustreznim razmikom . Potem sledi postavlj anje št evil n - 2, itn . Če se postavlj anje zapl ete, se vrne nivo nazaj in pos kuša z novo postavitvijo trojke prej šnj ih šte vil. Tako siste- matično pregleduje možnosti, dok ler ne na jde iskan ega zap oredja ali pa ne pr egleda vseh možnost i in ugotovi , da iskano zap oredje izbrane dolžine ne obstaja. Rešitev j e seveda sprog ramirana rekurzivno. IRešitve nalog { Iščemo do zaporedij dolžine 3*MaxN. } { tabela s členi zaporedja } { Zaporedje ima 3*n členov. } { Ko najdemo zaporedje, postavimo konec=true. } program PodaljsaniLangford; { S sestopanjem poišče najkraj.še p odaljšano Langfordovo zaporedje. } const MaxN = 20; var t: arraY[1..3*MaxN] of integer; n: integer; konec: boolean; procedure Postavi{k: integer); { Uporablja globalne spremenljivke t, n in konec. } va r i: integer; begin if kFi ·~ 1 · · : · ·· · · :· · _ :_ · - · Slika l . Ta ko le s po- močjo ozvezdj a Orion najd emo zvez do Alde - baran (Ol Bika) in ob nj em Hij ade . S pros tim očesom zasled imo pet ·r zvezd , že z daljnog le- d om m anjše povečave pa p oleg t eh še veliko števi lo šibkej ših zvezd. Kopica je dobil a im e Hij ade - Deževnice najbrž zato, ker so pr ed tisočletj i t e zvezde vzhajale t ik pred zoro ob spomladansk ih deževj ih. Deževen sloves Hij ad posku ša poj asniti grški mit . Po njem so bil e Hijad e hčerke velikan a Atl asa (Atl an ta) in boginj e oblakov Nefele. Ker je bil njihov oče kruto obsoje n, da mora za vse večne čase na svojih usločenih in raz bolelih ramah nositi celot en nebesni svod, so tako žalostno in dolg o jokale, da so ganile vr hovnega boga Zevsa, ki jih je spremenil v zvezde . Nj ihovo žalovanje se nad aljuj e na zvezdn em nebu , saj ji m solze kar lij ejo v spomladanski dež. Astronomija ....-': • 7--~ ~ .,..,. .It' ~---./' Ale ebaran . ./ ~~~.r: ........ ........, -:::.---, ,- ---./ ~ ......... ---/-::::- ~~--- -;;';;;eusg -- - - ...1- -1 - ..... ---.· s DE C'L. +Z S- +10 Slika 2. G ibanje zvezd v Hijadah, Zv ezde Hijad, vidne v obliki črke V , hitijo proti točki , ki leži na nebu n ekoliko vzhodno od zvezde Bet elgeze v Ori onu. Dolžine puščic p redst avljajo lastno gibanje zvezd kopice v časovnem presledku 50000 let . Druga različica mita pa pripoveduj e, da so nimfe Hijade, sestre Plejad (glej članek Sedem sester, Presek 22, 62), silno žalovale za svojim bratom Hijasom , ki se je smrtno ponesrečil na lovu. Zevs ni mogel prenaša ti njihove zemeljske žalosti in jih je pos tavil na nebo in ovekovečil v zvezdah. Hijade so vidne s prostim očesom . To je slikovita, z dvogledom izre- dno lepo vidna odprta zvezdn a kopica. Resnično smo na graj eni za pogled, če jih pogledamo vsaj skozi lovski daljn ogled. Na žalost zvezde t e skupine zasenči svet loba ora nžnega Aldebarana , ki leži pred kopico in torej ni čl an skupine. Ald ebaran nam je dosti bližji (oddaljenost 70 svetlobnih let) kot kopic a (135 svetl obnih let) in po naključju leži v isti smeri. Oddalj enost Hijad od nas so ugot ovili z meritvami gibanja zvezd v kopici. Ker je kopica razmeroma blizu , zaznavamo njeno gibanje glede na bolj oddalj ene zvezde (zvezdno ozadje) . Zdi se, da smeri zvezdnih gibanj kažejo proti določeni točki v vesolju . Vzporedne poti zvezd v kaki kopici so usm erjene pro ti taki točki v prostoru takrat , če kopica drvi stran od nas. Gr e za učinek persp ektive, ki je posebn o opazen v lastnem gib anju zvezd v Hijadah , ki so tako blizu nas , da pokri vajo kar velik kos neba (približno v premeru 20°) . Hijade vključuj ej o med seboj sorodne, z gravitacijsko silo povezane zvezde (razen Aldebarana, ki ima neodvisno gibanje in ni prikazan na sliki) . V kopici je najmanj 150 zvezd , gost ejši del ima premer okoli 30 svetlobnih let, njegovo težišče pa je oddaljeno okoli 135 svetlobnih let od Sonc a . V prostoru se zvezde Hijad gibljejo proti vzhodu in stran od Sonca. Točka , prot i kat eri se premikajo , pa leži nekoliko vzhodno od zvezde Betelgeze v Or ionu. Astronomija - Rešitve nalog I -. ne o A' Slika 3. Lastno gibanje zvezde. Če se v prostoru zvezda premakne iz lege A v lego B, njeno lastno gibanje predstavlja kot AOB, oziroma lok A'B' na nebu. La- stno gibanje zvezde je večje, če je zvezda bliže in se hitreje giblje. Slika 4. Gibanje Hijad . Najbližje Soncu so bile pred 800 000 leti na oddaljenosti okoli 65 svetlobnih let. Hijade zelo lahko najdemo na temnem in jasnem nebu. Zato predla- gamo, da jih res opazujete. Izberite jasno noč brez mesečine . Počakate vsaj četrt ure, da se oko prilagodi temi. Najprej jih opazujete s prostim očesom, nato pa še z dvogledom ali daljnogledom pri različnih povečavah. Na koncu poskusite še narisati, kar opazujete. Vendar ne ostanite samo pri tem opazovanju. S prostim očesom in z daljnogledom se sprehodite še po ostalih ozvezdjih in objektih čudovito lepega zimskega neba. Marijan Prosen ZAPELJIVI RADIOLAR - Rešitev s str. 26 Kot vemo že iz teksta samega, se je matematik pri dokazovanju, da polie- der s samimi šestkotnimi ploskvami (o pravilnih šetkotnikih v tem primeru seveda sploh ne more biti govora!) ne obstaja, oprl na Eulerjevo polieder- sko formulo : o+p = 1'+2. Ta opisuje povezavo med številom oglišč (o), ploskev (p) in robov (1') poljubnega poliedra. Pa denimo , da bi omenjeni polieder obstajal , pri čemer bi imel n stranskih ploskev. Ker bi vsaki ploskvi pripadalo po 6 robov, vsak od njih pa bi hkrati mejil dve ploskvi, bi imel tak polieder vsega skupaj r = = 6; = 3n robov. Podobno izračunamo še število oglišč , Ker bi vsaki stranski ploskvi pripadalo po 6 oglišč poliedra, v vsakem oglišču pa bi se, v skladu z biologovo trditvijo, stikali po trije robovi, bi imel polieder vsega skupaj o = 6; = 2n oglišč . Rešitve nalog Če vstavimo izračunane količine v Eulerjevo formulo: 2n + 3n = 6n + 2, dobimo enačbo, ki nima rešitve v množici naravnih števil, kar bi bilo z ozirom na naravo št evila n pač edino smiselno . Zaradi tega sm o prisiljeni zavreči obstoj poliedra z opisanimi lastnostmi. Po podobni po ti zavrnemo t udi obstoj sploh kakr šnegakoli poli edr a, ki bi imel zgolj šestkotne ploskve. V zgornj em dokazu namreč nismo obravnavali tis tih t ovrstnih t eles, pri kat erih se samo v nekaterih ogliščih stikajo po t rije rob ovi , v vseh ost alih pa po več . Posku site torej dokazati, da ne obst aja poli eder , omejen s samimi šestkotniki , v ogliščih katerih bi se st ikali , denimo, zgolj po trij e ali št irje robovi . Vilko Domajnko NEKAJ ZANIMIVIH NALOG ZA NAJMLAJŠE BRALCE - Rešitev s str. 24 Bankovci Maja je imela 2800 tolarjev. Navod ilo: Z dvema bankovcemaje lahko plačala zneske 400, 700 ali 1000 tolarj ev. Za darilo je plačala trikrat več kot za hrano (zakaj ?) , od koder sklepamo , da je dala zanj 1200, 2100 ali 3000 to larjev, itd . Kroglice v škatli a) 16. b) 4. c) 29. Mojstrova domislica Mojster je vsako kocko razžag al na osem kock. S tem površino vsake kocke zmanjšal na četrtino, število kock pa je postalo osemkrat večj e. Torej se je skupna površin a kock podvojila. Peščena ura in rokometna tekma Na začetku tekme je Jure pustil , da je pesek začel istočasno teči v ob eh ur ah . Takoj , ko je izt ekel ves pesek iz prve (dvanajstminutne) ure, jo j e obrn il. V naslednjih 4 minutah je iztekel ves pesek iz druge ure. V trenutku , ko se je to zgodilo, je ponovno obrnil prvo uro . Pesek je tekel še štiri minute , to rej je zadnj e zrno steklo 20 minut po začetku merjenj a časa . Enako je Jure ravnal v drug i polovici tekm e. Dragoljub M. Miloševi'; - prev. in prir. Barbara Japelj Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "PRESEKOVI UREDNIKI" -.....0__._ of:,) @ ~no:_ OBOONAV. RAZlIČICA, PRITOK NElA~KO ROlAAN ~~lA ORAVEPRI STEKLAR. ALOJZ CLJ, Iillr .','-POLANSKI VARIANTA LENZU lAESTO KODRE NAlAEN~J; \":' ~ ~l.- 1- '. ~I ' I~ ~~. ~..~< • ••~:..~ ~ TVNOvtlARi;"I ' (JANEZ)r:::=: ~ ~- I,; .~ ~ ' r ~ ODG. UR,UlBlNlCA~rf~'- . ~ ZAlAATElA.ALTAJSKI',f '1 VAPITI::i j _ ~ DREVO S OTOKSEV.• _" ,'J;fr,?; TRDLESOlA OD~ ~_.~'4r,,? ~'3?; GIBANJE DOLGEGAh. _~ \t H I "' \ ~ '~ I U ~ II~ AJ PLANKTONA OTOKA lAESTOV ~AVTOR ZVEZDO-~lAARKO BOKALi Č SLOVJE ~8~~ZA RENAUlT. lAODEL ITAL. KVARNER. IZDELO- PRlPo- ~ VALCI PE~~r.g"O ZAJEDAVEC GODAL NALISTIH ~~ ~ELAVEC VELEZARNI POMLADNI JEO IZ RASTLINAZ lAESEC ~VOTLIlA ~~ STEBLOlA \j?,LE SKEPSA RlMO KO~ČEK "lOPARSKI' ~O;~~ IGRALEC ~ BAN lAORJE SREBRO DESNI ~ PRITOK ZORAN KAMNINA Z SENEPRJ PREDIN AVALE PARIZU DES. PRITOK VISOKA NURSUl.TAN ~ PLANOTAV NAZAR- I ~U:BAJEV ~~ - ROžA ANDREJ UREDNlKZA s~~t~ ~ ASTRONOlA. NATRIJEV FR.PISA- KARBONAT TELJ(B,lI..E) SLOV. GL lAESTO EI..AlAA AMER. PESNIK ~ PISATELJ(JOSIP) (GEORGE) JEZA TEHNiČNI VRSTA I UREDNIK VRBE NICK NOLTE TOPOLZ KOT, KIllAANAVZGOR OBRNJEN. LOKENAK VEJAMI POlMERU ČASO PISNI lAESTOV OGLAS TOSKANI IZanimivosti - Razvedrilo DUSEVNI PRETRES STAROJUG. DESETNIK ViNSKA PLESEN ~K TANEK SKUPEK VlAKEN SL PESNlK (JANEZ) PRlIAORSKI HRJBOVCI čESKI PISATELJ (KAREl) NEKO. Ali VlADAR. NASlOV ANCONA MAGMAT. TElO V OBllKJ GOBE FR.MATEM. (BL.AlSE) TURSKO JEZERO KRAJ.Alt ODBlOK ~T. TABOR UREDNlK ZA FIZIKO SKOTSKJ PISATElJ (WAlTER) 3. OSEBA SR. SPOLA VINOZ OTOKA ViSA VRSTA HRASTA ,. SOlMlZ ZlOG PRIBOR ZA REZANJE BOJAN STU'1CA DL.AlKANA GlAVi ~€fN~ SVETLKO LJUBLJANA ORGAN VIlA TJik IGRE 1. OSEBA EONlIE ODMEV IGRAlKA GARDNER KOlIČNK POTIIN tfTROSTI R ešitve nalog I RAZPIS NA TEMO 1997 - Rešitev s str. 18 Šlo j e hitreje, kot srno pričakovali! Ti skarsko črn i lo na Presekovih st raneh se je kom aj posušilo, že je v uredn ištvo prispel prvi sezna m števil, zapisanih s šte vkami 1, 9, 9, 7. In to kar popoln! Nastal je v dru žinski izvedbi in ga v celoti objavljamo s pisemcem njegovih avtorjev vred . Opom be. Precejkr at sta sest avljalca uporabil a funk cijo n! = =n (n - 1) (n - 2) . .. 3 . 2 . 1, za šest števil v zadnji petini sezna ma pa tudi 7!! , to je dvojno fakulteto. Za ti st e, ki te funk cije ne pozn ate, povejmo, da ni! dobimo, če v produktu za n! opust imo vsak drugi fak tor , začenši z n - 1. Tako je npr . ID!! = 10 ·8· 6·4·2 =1920 in 7!! =7·5 · 3 ·1 =105. Dve od šest ih števil , zapi san ih z dvojno fakulteto, 108 in 109 sta reševalca zapisala tudi drugače , z uporab o binomskega simbola . Za št evili 111 in 115 tudi v uredništvu ne poznamo zapi sov brez dvojne fakultete. Števili 114 in 123 pa lahko zapi šemo tudi drugače . Poskusit e! Ker v ur edni štvo še prihaj aj o rešitve, smo se odločili , da bomo poča­ kali na vse zapise, ki jih bomo prejeli do izida tel e št evilke, ki jo držite v rokah . O nj ih in njihovih avtorj ih bomo poročali v t retj i številki. Marija Vencelj Pogl ejmo , kaj sta nam na pisala naša najhitrejša reševalca : Razpis "1997" Ko sva prelist avala novi Presek, naju j e takoj prit egnila zam isel o razpisu na temo letni ce 1997. Malo sva poskušala in rešitve so se hitro začele nabirati. Najprej sva šla p o vrst i, potem pa sva ugotovila, da je bolje, če si narediva spisek vseh števil in vanj vstavljava rešitve, kakor nastajajo. Po celem pop oldnevu imenitne zabave namaje preostalo še 25 praznin . Naslednji dan sva jih zapolnila do zadnje. Za priloženi spisek sva od večkratnih rešitev praviloma izbrala naj- preprost ejšo, razen, če j e bil vmes "cukrček", ki vsebuj e zanimivo idejo. Vse re šitve so doblj ene "na pamet" , brez računalnika. Jurij in A lojz Kadre 0= 1+ V9 +V9 -7 1 = 1 + (9 - 9f = 1997 2 = 1 + (9 : 9)7 3 =VI + 9 : 9 + 7 4 = (19 + 9) : 7 5 = - 1 - 9:9 + 7 6 = - 1 +9 -9 + 7 7 = 1 . (9 - 9 ) +7 8 = 1 +9 -9 + 7 9 = 1 +9:9 + 7 I Rešitve nalog 10 = -1 +9 +9-7 11=1 ·9 +9 -7 12=-1+ V9+ V9+ 7 13 = 1 . (VS + VS) + 7 14 =( -1 +99):7 15=-19+ 9+ 7 16 = (1 + vS)9 -7 17=1 9 + 9+ 7 18= -1 +9+vS + 7 19= I ' vS + 9+ 7 20 = 1 + 9 + v9 + 7 21 = 19 ·vS ·7 22 = 19 +VS . 7 23 = - 1 +VS +v9 . 7 24 = (-1 + vS)9-7 ! 25 = 1 + VS + VS . 7 26 = 1+ 9+ 9+ 7= (1+ v9)!+ 9- 7 27 = 1 . VS! + v9 . 7 28 = (1 9 +v9) . 7 29 = (1 + V9) · 9 - 7 30 = 1 . 9 +vS·7 31 = 1 + 9 + v9 · 7 32 = (-1 +v9) . (9 + 7) 33 = -1 . 9 + V9! . 7 34 = (1 + v9)! + V9+ 7 35 =(-1 +v9 +V9) · 7 36 = 1 . 9 . (- V9 + 7) 37 = (1 + 9) . v9 + 7 38 = -1 - v9 + v9! . 7 39 = - (1 + V9) ! + 9 . 7 40 = (1 + v9) . (v9 + 7) 41 = - 1 + (v9 +v9) . 7 42 = (1 . VS + VS) ·7 43 = (1 + V9) · 9 + 7 44 = - 19 + 9 ·7 45 = (1 + VS)! + v9. 7 46 = 1 + v9 + V9! . 7 47 = -1 +v9 .(9 +7) 48 = 1 . v9 . (9 + 7) 49 = 1 + VS . (9 + 7) 50 = 19 . v9 - 7 51=1 .9 +V9!.7 52 = 1 + 9 +VS! . 7 53 =-1 -9 +9 ·7 54 =-1·9 +9 ·7 55 = 1 - 9 + 9 ·7 56 = (1 + VS) ! : v9 . 7 57 = (- 1 + vSl)!- 9. 7 58 = 1 - VS! + 9 · 7 59 = - 1 - v9 + 9 ·7 60 = -1 . v9+ 9 . 7 61 = 1 - VS + 9·7 62 = _ 19 +9 ·7 63 = 19 . 9 . 7 64 =19 · v9 + 7 65 =( -1 +9) .9 -7 66 = 1 . v9 + 9 . 7 67 = 1 + v9 + 9 . 7 68 = - 1 + v9! + 9 . 7 69 = 1 . v9! + 9 . 7 70=~·7 71 = - 1 +9 +9 · 7 72=1 ·9 +9·7 73 = -1 + 9 . 9 - 7 74 = 1 ·9·9 - 7 75 = 1 + 9 ·9 - 7 76 =19 .( - v9 +7) 77 = (- 1 + v9! + v9!) . 7 78 = - 19 +97 79 = (- 1 + 9) · 9+ 7 80 = (- 1 + 9) . (v9 + 7) 81 = 1 . 99- 7 82 = 19 + 9·7 83 = (1 +9) · 9 - 7 84 = (1 + v9) . v9 ' 7 85 = 1 + (v9! + v9!) . 7 86 = - 1 + (v9!)! : 9 + 7 87 = - 1 + 9 · 9 + 7 88 = 1· 9 · 9 + 7 89 = 1 + 9 ·9 + 7 90 = 1 · 9· (v9 + 7) 91 = - 1 + 99 - 7 92 = 1 ·99 - 7 93 = 1 + 99 - 7 94 = - 1 . v9 + 97 95 = 1 - v9 + 97 96 = _ 19 + 97 97 = (1 + 9) · 9 + 7 98 = 19 + 97 99 = - 1 +v9 +97 100 = (1 + 9)9 -7 101 = 1+ v9+ 97 102 = -1 + v9! + 97 R ešit ve nalog - N aloge I 103 = 1 ' v9!+ 97 104 = (- 1 +v9!) ! -9 -7 105 = - 1 + 99 + 7 106 = 1 · 99 + 7 107 = 1 + 99 + 7 108 = l · v9 · m = 19 'v9+7!! 109 = 1 + v9 ' m = 19 + v9 + 7!! 110 = (- 1 + v9!)! - v9 - 7 111 = 1 . v9 + v9 + 7!! 112 = (1 + 9 + v9!) . 7 113= (-1 + V9 + v9)! - 7 114 = 19.9+7!! 115=19 +9 + 7!! 116 = 19 + 97 117 = 1 . 9 . (v9! + 7) 118 = (- 1 +V9!)! -9 +7 119 =(- 1 +9 +9) ·7 120 = (- 1 - 9 : 9 + 7)! 121= (1+ v9) !+ 97 122 = (- 1 + V9!) !+ 9- 7 123= 1 · 9+ 9+7!! 124 = (-1 + V9!)! - v9 + 7 125=-1+ (9+ 9) . 7 126=1 . (9+ 9) . 7 127 = 1 + (9 + 9) . 7 128 = (1 + 9: 9f KATERI SLAVNI MATEMATIK JE TO? Malo j e bilo v našem št etju letnic, ki so popolni kubi . Mož, po kat erem sprašujemo, je umrl a let pred letnico, ki je kub št evila a. Kateri slavni matematik je bil to? Ma rija Vencelj IR ešit ve nalog PISANI KROGI - Rešitev s str. 19 V progr amskem jeziku logo želimo sestaviti ukaz krogi :n : r , ki nariše :n koncentričnih krogov s polrneri od : r do : r . : n in doblj ene krožne kolob arj e po barva z naključnimi barvami. Rešit ev bom o sprogramirali v MSWLogu , različi ci Berkeley loga za Okna. Ta različica loga je v pr ostem raz širj anj u , dobite pa jo lahko prek Intern et a na naslovu http ://vlado.mat.uni-lj.si/ftps .htm#logo . V tej različici loga krog po lme ra : r na rišemo z ukazom ARC 360 : r . Pri t em j e središče kroga na mestu, kjer se pri klicu ukaza nahaj a želva . Pred klicem mora biti pero spuščeno. Om ejeno območj e pobarvam o z ukazom FILL. Tudi barvanj e se začne v točki , v kateri se nah aj a želva . Bar vo , s katero bar varno, določimo z uka zom SETFLOODCOLOR. V Berkeley logu opis barve pod amo v obliki RGB , torej kot seznam t reh števil med O in 255. Prvo števi lo pom eni j akost rdeče , drugo zelene in tretj e j akost modre bar ve. Tako na primer sezna m [O O oJ določa črno , sezna m [o 255 oJ zeleno in seznam [255 255 255J belo ba rvo . Naključno št evilo med O in 255 do bimo s klicem RANDOM 256. Naključno barvo zapolnjevanja tako nast avimo s klicem SETFLOODCOLOR (LIST RANDOM 256 RANDOM 256 RANDOM 256) Zapišimo še celot ni ukaz. TO krogi :n : r REPEAT :n [ ARC 360 REPCDUNT* :r ;narišemo krog PU FD REPCOUNT*:r - :r/2 ;pomi k na sredo novega kolobarja SETFLOODCOLOR (LIST RANDOM 256 RANDOM 256 RANDOM 256 ) FILL ; barvanje BK REPCOUNT*:r - :r/2 ;vr ni t ev na zač etn i položaj PD ] END V ukazu 'smo uporabili še eno posebnost Berkeley loga , vgraje ni ukaz REPCOUNT . Ta ukaz lahko up orabimo znot raj zank e REPEAT. Vrne nam št evilo , ki pove , v kat eri ponovitvi zan ke se nah aj amo. Tako v prvi po- novit vi dobimo 1, v drugi 2, itn . S pomočj o tega ukaza izračunamo , kam moramo postavi ti želvo pred klicem ukaza FILL, da po ba rva mo novo na- st ali kolob ar. Seveda bi nam esto tega ukaz a lahk o uporabili tudi pom ožno spr em enlj ivko. Omenimo še, da del vrstice za znakom; logo razume kot koment ar . Mart in Juvan Fizika I SPREHOD PO MEGLI Pred dvem a letoma je bilo v Preseku (Presek 21/6) , lani pa v angleški popularni reviji Weath er , opisano , da sm o od spredaj enako mokri , če neko razdaljo po dežju hitro pretečemo ali če jo prehodimo počasneje . Seveda pa "od zgor aj " dobimo več moče , če hodimo počasi in smo torej dalj časa na dežju. Pri hoji po megli pa ni t ako. Če hodimo, smo spredaj skoraj suhi. Razl og za to je, da se kapljice, ki lebdij o v zraku , pri razmeroma počasnem premikanju lahko skupaj z zrakom pred nami razmak nejo. Zakaj ? Najprej povejmo, da dežne kaplje padajo, meglene kaplji ce pa sko- raj mi rno lebdijo v zraku. Sila teže Ft jih sicer sili navzd ol in nekoliko res pad ajo - to da le tako hitro , da je sila upora Fu enaka teži (vzgon v zraku lahko zan em arimo). Za majhno kroglico je sila upora pr emo so- razmerna hitrosti padanja v in polm eru kroglice r; tedaj velja S tokesov linearni zakon up ora Fu = Fs = 61rf.l rv (tu je f.l viskoznost zraka, okrog 1.72 .105 kgm- 1s- 1) . Teža kap ljice pa je F, = mg = Pvode 4,,; 39 (tu je Pvode gostot a vode , 9 pa te žnostni pospešek). Torej iz ravnotežj a 41rr3 - 3-Pvodeg = 61rf.lrv dobimo za hit rost enakome rnega padanj a skozi zrak 2 Pvodeg 2 v = ----r . 9 f.l (1) (2) (3) Za tipično megleno kaplji co, ki im a polmer r = 10 mikrom etrov , je torej hitrost pad anj a skozi zra k le približno 1 cent ime ter na sekundo, kar je res zelo malo. To pom eni , da meglene kapljice lebdijo v zra ku. Zato bomo obrav nava li le hi tr ost vodorav ne hoje skozi meglo. P ri hoji se nam zrak "umika" s poti približno tako, kot to ponaz arja slika 1. V skladu s sliko privzemimo, da je naše telo približno valj ast e oblike in da nas zra k obteka podobno, kot obteka dolg valj . Iz slike ugotov imo, da je v naši bližini hitrost odmikanja zraka vstran V z le malo manjša od hit rosti hoj e; zar adi prepr ostos ti vzamemo , da je kar enaka hitrosti hoje. Vodne kaplji ce imajo tisočkrat večj o gost oto kot zrak in zato tudi večj o vzt rajnost . Zato se nekaj časa njih ova hitrost v k prilagaja hitrost i zraka . Vsaj v z ačetku sta hitrosti razl ičn i in zrak poti ska kap ljico vst ran . Sp et up oštevamo Stokesov linearni zakon up ora : Kom ponent a sile upora (4) (5) I Fizika (b) Slika 1. To kov nice za t ok zraka okrog do lgega valja za d ve hi t rosti oz. za dve Reynold- sovi števili : R e == 1 in R e == 20; h itrost okrog ena ko veli kega va lja j e v p rim eru b) dvajsetkrat večja kot v p r imeru a ). Številke ob tok ovnicah p oved o , za kolikšen del p ol- m era j e bila kaka tokovnica oddaljena od os i skoz i valj , pred en se j e pričela od m ika t i vstran. zar adi razlike hitrosti Fs = 671'J-l 1'(Vz - Vk) kaplji co pospešuje vstran s posp eškam a = ~t: ma = Fs, 471'1'3 !::.. Vk - 3-Pvode !::..t = 671'J-l1'(vz - Vk) . Ko preteče nekaj časa, se njena hitrost že pr ecej pril agodi hitrosti zraka . Iz gornje enačbe dobimo (6) Če hočemo ugotovi ti, kako narašča hitrost kapljice, moramo enačbo integrirati . S te m dobimo enačbo , ki pove, kako hitro se hi t rost kapljice pril agaj a hitrosti umikajočega se zraka : Vk(t ) = vz(l - eth ), (7) kjer je 7"1 karakteristični čas prilagajanja hitrosti: 7"1 = (2/9)(Pvode / J-l )1'2. Za meg leno kapljico s po lmerom 10 mikrom etrov znaša ta čas le nekaj več kot tisočinko sekunde . (Za dežno kaplj a s po lmerom 1 mi limeter bi bil t a čas dobrih 10 sekund . Torej se dežne kaplj e zelo slabo umikajo; zato se ob hoji ali teku zaletima vanj e in smo spredaj mokri. ) Kako hitro se torej hitrost meglene kapljice pril agodi hi tr osti zraka vstran , recim o na 99 % hitrosti zraka? Vstavimo nam est o Vk (t) = 0.99vz, pa dobimo 0.99vz = vz (1 - et / TI ), 0.01 = et/TI (8) (9) Fizika I in od tod po logaritmiranju enačbe t 9 9% = -ln(O .01)rI ~ 4,671. (10) Torej se hitrost meglene kapljice praktično v hipu (v nekaj tisočinkah sekunde) prilagodi hitrosti zraka. Denimo, da se mora zrak umakniti vstran za pol premera našega telesa, torej za kakih 30 cm. To se pri počasnem sprehajanju , ko je npr. hitrost 'Vz = 0.3 mis, zgodi veni sekundi . Ker je trajalo le nekaj tisočink sekunde, da se je hitost kapljice prilagodila hitrosti zraka, pri tem kapljice za zrakom skoraj nič ne zaostanejo (račun pokaže, da le za kak centimeter) . Torej se skoraj tako hitro kot zrak, skupaj z njim, pred nami odmikajo tudi drobne kapljice . Slika 2. Povečanje upora 6.Fu zaradi tur- bulentnega gibanja zraka okrog vodne ka- pljice, glede na Stokesov upor Fs , ki velja za laminarno gibanje. Mera za turbulentnost je Reynoldsovo število Re. 100001000100 R, 1001 / l/ / -: / / 0,1 0,01 1000 10000 100 ~ ~ ~ 10 Kaj pa, če se vozimo skozi meglo s kolesom, npr . s hitrostjo 10 mis, in je tudi hitrost vstran približno taka? Ali hitrost odmikanja vstran kaj vpliva na trke? Najprej moramo oceniti, za koliko se pri večj i hitrosti poveča sila upora. Pri tem se žal podrobna obravnava zaplete, ker pri večji hitrosti tok zraka kaj hitro postane turbulenten, kar pomeni, da se v toku pojavijo najrazličnejše vijuge, sunki hitrosti, vrtinci . Mera za tovrstno lastnost toka je brezdimenzijsko Reynoldsovo število Re = -ss- :Čim J.1.1 Pzraka večje je to število, tem bolj gotovo je tok turbulenten . Ker je viskoznost zraka J-l majhna, se tok zraka kaj hitro sprevrže v neurejeno gibanje. Trdemu orehu preračuna- vanj tega, kakšen je v resnici tok zraka, ki ga povzročamo s svojim premikanjem, in tega, kaj se v tem toku dogaja s ka- pljicami, se izognemo tako, da se za približno oceno zadovo- ljimo s sliko 2. Ta nam pove, daje pri Re ~ 10 (za 10 mikro- metrsko kroglico in za hitrost 10 rrr/s je namreč Re ~ 10) sila upora na kroglico približno dvakrat tolikšna kot pri počas­ nem gibanju, ko linearn i, Sto - kesov zakon upora dobro velja: F; = 2Fs . Zato je za polovico I Fizika 1051 krajši t ud i karakteristični čas T2 = Tl/ 2 . Ker pa spreme mba ni zelo, zelo velika, sklepamo, da vsaj približno še velja linearni zakon upo ra in da se nam tudi pri t ej hi trosti večina kapljic umakne s poti (glej sliki 3 in 4). I ......... ...... ..... ... ... .... .-' .. .... .... . rl . .. -- t+--!.. I;-T- 1-. I r.:?[~ ;/~l-· ·- ~·~ f------ .. I1_./ ..--r - - - ~ ->~ I IA I::...... 0,25 0.00 0.000 0,005 0.010 0.D15 0.020 0.025 0.030 eas (s) 0,10 0.05 0.20 0.30 g 0,15 ii 0,0100.008OXIl)4 0.006 eas (s) 0.002 o 0.000 10 Slika 3. Primerjava m ed p rila ga j a nje m hitrosti kapljice, ko se zrak umika vstran s hi trostj o 10 m]« . Go rn ja kri vulj a velja za linearni , za faktor dva povečani St o- kesov u p or , spod nj a pa za p rimer, če bi računali po kvadratnem zako nu u pora. Slika 4 . Primerjava m ed potj o kaplj ice vstran p o lin arnem , za faktor d va p ove- čanem Stoksove m up oru , in m ed potjo, ko jo v is t em času op ravi kapl j ica , če bi upoštevali kvadratni upor. Črtkano j e narisana p ot , ki j o vstra n opravi zrak. Včasih pa smo t udi v megli mo kr i . Pr edvsem tedaj , ko so kapl j ice večje in se zaradi večje vzt raj nosti to rej m anj odmikajo. In še en vzrok je t reba ome nit i: Čim večja j e hi trost in čim večj i j e preme r telesa, okrog kat erega teče zrak , te m večj e j e Reyn old sovo šte vilo in tem bolj gotovo je tok t ur bulente n. Okrog nas j e tok soraz me rno glad ek le pri res počasnem sprehaj anju , Pri m alo večj i hitrosti pa j e že pr ecej t ur bulenten in tedaj j e računanj e posp eševanj a vstran , kot smo ga naredili , vse manj upravičeno. Pri večj ih hitrostih bi zagotovo m orali up orabi ti kvadratni zakon up or a . Da ugotovimo, kako se glede posp eševanj a kapljic vst ran sp re- mene razmere, ko post an e upor sora zme ren kvadratu hit rost i , si ponovno oglej mo sliki 3 in 4. Slika 3 pove, da se ob up ošt evanju lineranega za kona up or a in ob karakterističnem času T2 hi trost kaplji ce prilagodi hit rosti zraka spet v nekaj tisočinkah sekund e (gornja kri vulj a ). Če pa bi računal i po kvadratnem up oru , bi prilagaj anj e t ra jalo pr ecej dlj e, nekaj stotink sekunde (spo dnj a, črtkana kri vulj a). Ustrezno velja za pot vst ran (slika 4) : Zrak se umika tako, da v 3 sto t inkah sekunde napravi pot 0.3 m vstran (premica lin earne sorazmernost i - narisana s pikami) . Račun po linearnern zakonu pove, da bi se kaplji ce umaknile skoraj enako hi tro (le v prvih tisočinkah sekunde j e ta krivulj a malo drugačna , sicer pa sta vzpo- redni) . Pri up oštevanju kvad ratnega up ora pa bi ugotovili nekolik o večji zaostanek za zrakom (spo dnja, bolj položna črtkana krivulj a) . 106 Fizika I Kadar je t reba upoštevati kvadratni upor , j e umikanje kapljic torej nekoliko počasnejše . Z besedami matematike bi to razložili takole: Za majhne pozitivne x j e x 2 < x . Za razlago , kaj se dogaja s kapljico, v katero trčimo , bi pa bilo morda najbolje reči takole: Okoli nas je v turbulentnem toku zraka veliko slučajnih motenj in neurejenih gibanj na vse strani. Kakšen od teh slučajnih sunkov v t oku morda zan ese kaplj ice prav v nas. Ponavadi pri počasni hoj i skozi meglo nismo nič mokri. Le če so ka- plj ice megle večj e od običajnih , nas močijo (podobno kot dež). Nekoliko vpliva tudi hitrost prem ikanj a skozi meglo: Pri večj i hitrosti j e večj a ver- jetnost, da se zaradi manj urejenega toka okrog nas v nas zaletijo nekatere kapljice. Torej če nikakor nočemo biti mokri , potem skozi meglo ne tecimo in se ne vozimo s kolesom , temveč se lepo počasi spr ehajajmo (kad ar im am o seveda za to dovolj časa). Če so v megli kapljice večj e kot navadno, je ta nasvet še toliko bolj vredno upošt evati. Trki s kap ljicami in snežinkami pa niso pomembni samo za to , ali bomo lj udje v megli ali dežju mokri. Ta pojav ima še nekatere zanimive in pomembne posl edice. Trki in zlivanje oziroma sprijem anj e so eden od dveh glavnih načinov rasti oblačn i h kap ljic in kristalčkov do take velikosti , da potem kot dež ali sneg padejo do tal. Sodra in toča , ki lahko zrasteta tudi toliko , da povzročita znatno škodo, pridobivata vedno večjo maso prav s trki in pr imrzovanjem podhlaj enih oblačnih kapljic. Žled nas taja podobno, ko kaplj e dežja zad evaj o ob mrzle veje, st ebr e in žice daljnovo- dov. Če j e žleda dosti , lahko povzroči tudi zlom e zar adi pr evelike teže. Manj škodlj ivo, pa zato lepše je ivje. Nastane tako, da lahna sapa nosi s seboj podhlaj ene meg lene kapljice. Kar oglejte si kdaj ivje , ko se zjutraj po megleni noči zdani . Ponavadi se ga večina nabere po eni strani vejic ali bilk . Tako lahko ugotovimo, da je ponoči iz ti st e sm eri na lahno vleklo in prin ašalo vedn o nove in nove kaplj ice. In morda še en primer: Zaledenitv e na nosu in krilih letala tudi nastajajo s trki in primrzovanj em podhlaj e- nih oblačn ih in dežnih kap elj . Ker ogrožajo varnost letenj a , morajo imeti let ala posebne naprave za odstranjevanje ledu med letom . Jože Rakovec HAL O - ČUDOVITI NARAVNI P OJAV. V prejšnj i številki smo za to številko napovedali opis laboratorijskega prikaza poj ava hala. Vendar smo moral i zaradi majhnega števila barvnih st rani v Preseku pri sp evek odložiti na kasn eje. Iz uredništv a I Tekmovanja MEDNARODNA MATEMATIČNA OLIMPIADA 1997 V šolskem letu 1996/97 bo Društvo matem atikov, fizikov in astrono- mov Slovenije organizira lo celolet ne pri pr ave na mednarodn o matematično olimpiado , ki bo j ulij a 1997 v Argent ini. Na pr ipr avah , ki bodo potekale enkrat mesečno, bod o kandidat i ob reševanju nalog olim pijskega tipa ob- delali t udi pripadaj očo teorijo. Olimpijska ekipa bo v letu 1997 izbrana na podlagi rezultatov dveh izb irn ih testov, dr žavnega tekmovanja in medn arodnega te kmovanj a mest . Vsak od izbirnih testov in dr žavn o tekm ovanj e prinesejo po 30% točk , j esenski in pomladanski del tekmovanja mest pa po 5%. Prvi izbirni t est bo 24. j anu arj a 1997, dr ugi izbirni test bo 25. apri- la 1997, dr žavno tekmovanj e bo predvidoma 17. in 18. maj a 1997, datumi tekmovanj a mest (predvidoma v oktobru 1996 in mar cu 1997) pa še niso določen i. Dijaki lahko dobijo podr obnejše info rm acije pri svojem mentorju oz. profesorju mat em atike ali po elekt ronski poš t i na naslovu : math. comp il1fmf . un i -l j . s i , koledar akti vnosti (z ažuriranimi datum i) 1 cl je ob vsa kem času dostop en po Intern etu : URL : www .fmf . un i - l j .si/mathcomp/koledar .html . Infor macije lahko do bite t ud i pri spodaj podpisanem na Fakul teti za ma- tematiko in fiziko, J adranska 19, Ljublj an a , te l. (061) 1766- 551. Ma tja ž Že ljko 11. DRŽAV NO TEKMOVA N JE V RAČUNAL­ N IŠTVU ZA OSNOVNOŠOLCE - 1. del Učenci so reševali naloge v program skem jeziku LOGO (do 5. razreda) in v pascalu, oziroma v basicu (od 6. do 8. razr eda) . V tej št evilki objavlja- mo naloge za prve t ri sku pin e, naloge za ost ale sku pine bom o objavili v naslednj i šte vilki Preseka . N aloge za 1. sk upino - L O G O (učenci do 3. r a zreda) 1 . naloga: Sestavi pr ogram, ki bo risal like iz kvad ratov, kot jih vidiš na sliki. Ukaz LI K : n : d naj ima dva par am etr a: prvi določa št evilo "kvad ratov", drugi pa določa dolžino čr t . 1108 Tekmovanja I LIK 3 50 nariše levi lik , LIK 4 50 nariše križ , LIK 6 50 nariše znak, kot ga vidiš na avtomobilih prve pomoči itd. 2. naloga: Program VECKRAT : n naj izpiše na zaslon prvih 20 večkratnikov da- nega števila : n . 3. naloga: Program SKOKI : n : v naj riše pot , ki jo žogica-skokica opiše, ko jo vrže - mo na tla. Žogica se zaustavi po toliko skokih, kot jih določa spremenljivka : n . Spremenljivka : v določa velikost prvega polkroga, ostali "skoki" pa se enakomerno manjšajo. Primer: Ukaz SKOKI 510 naj izriše 5 polkrogov, ki se enakomerno manj- šajo: I Tekmovanja 4. naloga: Računalnik naj izriše t la , pokrita s parke- tom v takem vzorcu , kot ga vidi š na sliki. V vsakem kvadratu naj bodo 4 "deščice" , dolg e 20 in široke 5 pik. Ukaz PARKET : d : v naj izriše sliko z :d kvadrati po dolžini in : v kvadrati po višini . Nalogo rešuj samo za sod a (parna) št evila :d in :v. Po risanju naj bo želvica v levem sp odnj em kotu slike. Priporočilo : pripravi ukaze PRAVOKOTNIK , KVADRAT, DVAKVADRATA, VR- STA , DVEVRSTI in PARKET . N aloge za 2. skupino - LOGO (učenci 4 . razreda) Vpisi svoje ime: r0 ' / .- ,', ", . ",. CommlInder 1. n aloga : Sestavi ukaz POZDRAV, ki bo opravil nas lednje naloge: a) zbrisal bo besedilo na tekstnem zaslonu; b) zapisal bo nav odi lo: "Vpiši svoje im e!" ; c) s t ipkovnice bo odčital vtipkano ime (npr. Janez); č) zapisal bo navodilo: "Vpiši svoj pr iimek!" ; d) s tipkovnice bo odčital vtipkani priim ek (npr . Novak) ; e) izpisal bo pozdrav Vpisi svoj priimek: (npr. Pozdravljen , Ja- nez Nova k !). sheriff 2. n aloga : Tvoj program naj izriše zvezdo , kot jo na prsih nosi slavni šerif Hit roroki J anez. Program naj omogoča risanje različno velikih zvezd, napis pa lahko prilagodiš velikosti , pri kateri pre izkušaš delovanje ukazov. Na spodnji sliki so ravne črte dolge 50 pik. Opombe: Z a napis na zvezdi uporabi ukaz : LABEL "Sheriff . Sm er in lega napisa je odvisna od lege želvi- ce in od sm eri, v katero je želvica obrnjena. Velikost črk na sliki je 34, pisava pa je Arial. Velikost črk in pisavo izberi preko menija (izbira: SET/FONT). luD Tekmo vanja I cve t ~ 8 penup righ t 90 fnrw"'d 170 left 90 pendown cv et 15 10 3. naloga: Program TRIKOT :n naj nari- še enakostranični t rikot nik s tako veliko st ranico , kot j e vrednost sp remenljivke :n; vanj naj vri še t rikotnik s pol m anjšo stranico, v tega po- novno t rikot nik s še pol manj- šo stranico itd. V programu uporabi rekurzi- jo. Post opek naj se konča , ko progr am ugotovi , da bi bila naslednj a velikost st ranice manj kot 5 pik . 4 . naloga: Sestavi ukaz LOK : d , ki naj predstavlja šest ino krožnice. Iz dveh lokov sestavi list ek. Ukaz CVET : n : d naj izriše cvet iz :n listkov (pri bližno take oblike, kot je na sliki). Listki naj bodo razporejeni t ako, da skr ajna dva oklepata kot 120 stopinj . Naloge za 3. skupino - LOGO (učenci 5. razreda) 1. naloga: Na pročeljih rom anskih cerkva lahko ob- č udujerno čudovite rozete - okrogla okna z okraski. Poskusi s pomočjo želvice nari- sati rozeto , kot jo vidiš na sliki . Dolžin a ravnih črt na sliki j e 20 pik , uporablj en pa j e del kro žnice, ki ustreza petim šestinam celot ne krožnice. Nasvet : za risanje krožnih lokov uporabi ukaz ARC . 2. naloga: Kavboj Jimmy rad igra poker. Dan es im a s seboj 300 $. Odločil se je, da bo igral toliko časa, dokl er bo im el več kot 100 $. Pr vo igro dobi , drugo izgubi , t retj o dobi , četrto izgubi itd . Žal pa vsakič nekoliko več izgub i, ) I dobitek: 111 , izgubil: 153 stanje: 258 dobitek: 39 izgubil: 77 stanje: 220 dobitek: 116 izgube: 130 stIlnje; ~ rl ... ... · , vnasej visine ucencev, koncejz O 150 160 165 158 O Povpracna viaine ucence" je 158.25 kot pa v predhodni igri dobi. Zneski, ki jih Jimmy dobi, znašajo največ 150 $, tisti , ki jih izgubi, pa so do 50 $ večji od ravnokar pridobljenega zneska. Zapiši program, ki naključno izbira dobitke in izgubo Jimmyja ter izpisuje stanje v Jimmyjevem žepu. Namig: uporabi rekurzijo! 3. naloga: Zapiši program, ki izračuna in na zaslon izpiše povprečno višino učencev. Podatke vna- šaš preko tipkovnice, z vna- šanjern pa končaš tako, da vtipkaš za višino vrednost O (glej primer). 4. naloga: Na sliki je soba z dvema zvočnikoma,loki pa nakazujejo smer zvoka. Zapiši program, ki izriše tako skico. Program naj povpraša po kotu alfa (med O° in 90°), nato pa postavi zvočnike in "zvok" v izbrano smer. Pri tem naj bo alfa velikost kota med levo steno in smerjo zvoka iz levega zvočnika, na desni strani pa je slika simetrična. Loki, ki predstavljajo zvok, naj pripadajo središčnemu kotu 45°. I Tekmovanja Commander IV p isi smer, v ketari se siri zv o k (od O:d o 90 ) ! Tihomil Šlenc la Tekmovanja I 31. PODROČNO TEKMOVANJE ZA SREBRNO VEGOVO PRIZNANJE 20. aprila 1996 se je 1863 šestošolcev , 1706 sedmošolcev in 1790 osmošolcev na področnem tekmovanju potegovalo za srebrno Vegovo priznanje. Osvo- jilo ga je 534 učencev 6. razreda, 519 učencev 7. razreda in 568 učencev 8. razreda. Tudi letos so učenci reševali naloge v dveh sklopih. Prvih osem nalog je bilo izbirnega tipa z obkrožanjem ustreznega odgovora, nato pa še tri "klasične" naloge. Poglejmo nal oge: 6. razred Al Darilo je v kvadrasti škatli, ki je dolga 20 cm, široka 10 cm in visoka 5 cm . Škatla je povezana s trakom, kot kaže slika . Kako dolg t rak potrebuj emo, če bomo pentljo iz- delali iz 40 cm traku? (A) 60 cm (B) 80 cm (C) 100 cm (Č) 120 cm (D) 140 cm A2 Janez in Tone sta reševala naloge. V času, ko je Janez rešil tri naloge, je Tone rešil le dve nalogi . V štirih urah sta skupaj rešila 60 nalog. Koliko nalog je Janez rešil v štirih urah? (A) 40 (B) 36 (C) 30 (Č) 24 (D) 12 A K ·' d 1 k 1 2 2 3 3 ' . . • . ?3 aten o u om ov "4' 5"' 7' 10' 11 Je najmanjsu (A) t (B) ~ (C) ~ (Č) 130 (D) 131 A4 S koliko ničlami se končuje produkt 25 ·25·25 ·25·25·25·25·8 ·8· 8? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (Č) 10 (D) 12 A5 Kolikšen del ploščine največjega trikotnika je ploščina črnega trikotnika? (A) ~ (B) i (C) 110 (Č) /2 (D) /6 I Tekmovanja A 6 V slovenski nogometni ligi igra 10 moštev za naslov državnega prvaka. V jesenskem in pomladanskem delu tekmovanja igra vsako moš tvo z vsakim v domačem kraju in v gosteh. Nobena tekma se ne ponov i. Koliko tekem odigrajo vsa moštva veni sezoni? (A) 180 (B) 120 (C) 100 (Č) 90 (D) 45 A 7 V kvadratu ABCD j e na risan enakos t.ra- nični trikotnik 6.ABE, kot kaže slika. Ko- likaje velikost kota <}:CED? (A) 500 (B) 750 (C) 1200 (Č) 1500 (D) 3000 A 8 Od nekega zneska odštejemo desetino tega zneska. Novi znesek zmanj - šamo za njegovo devetino. Doblj eni znesek razdelimo štirim osebam, vsaka dobi 1800 SIT. Kolikšen je bil znesek na začetku? (A) 6480 SIT (B) 7200 SIT (C) 8000 SIT (Č) 8800 SIT (D) 9000 SIT Bl Izračunaj vrednost izraza (1+ ~ .2~) .~ - (1~ -2~ .i.) .~4 3 2 4 8 21 5 · B 2 Oče j e na začetku kurilne sezone napolnil prazno cisterno s kurilnim oljem . Ko so porabili ~ olja iz ciste rne, je oče ciste rno ponovno napolnil. Do konca kurilne sezone so nato porabi li še ~ ciste rne olja, 2000 litrov o lja pa jim j e ost alo. a) Koliko litrov kurilnega olja so kupili v tej sezoni? b) Koliko litrov olja so porabili? B 3 V ravnini trikotnika 6.ABC s podatki: a=5 cm, tb=5 cm, I = 700 poiš či vse t iste točke , ki so od nosilke stranice c oddaljene 1,5 cm, od oglišča B pa toliko kot od oglišča C. Tekmovanja I 7. r azred A l Otroci so stari šest, osem in deset let. Skupaj dobijo 1200 to larjev žepnine tedensko, razdelijo pa jo premosorazmerno s svojo starostjo. Koliko dobi naj starejši? (A) 300 SIT (B) 400 SIT (C) 500 SIT (Č) 600 SIT (D) 1000 SIT A2 Iz belih kock z robom 1 cm sestavimo večjo kocko z robom 3 cm. Površje te kocke rdeče pobarvamo. Koliko kock z robom 1 cm im a rdeče po barvani natanko dve ploskvi? (A) O (B) 4 (C) 6 (Č) 8 (D) 12 A3 Na km et iji pora bij o za vsako kravo in pol povprečno 15 kg krme v dn evu in pol. Koliko kilogramov krme por abijo za tri krave v petih dn eh? (A) 30 kg (B) 60 kg (C) 75 kg (Č ) 100 kg (D) 150 kg A4 Koliko odstotkov ploščine kvadrataje ploš- čina osenčenega lika? (A) 80% (B) 50% (c) 45% ( Č) 30% (D) 25% A5 Izr az JX-';l nima pomena, če je (A) x = 7 (B) x = O (C) x = - 2 (Č) x = ~ (D) x = -~. A6 Kolik o dvomestnih naravnih števil se poveča za 11, če št evki med seb oj zamenjamo? (A) nobeno (B) 4 (c) 3 ( Č) 2 (D) 1 A 7 Kolikšen kot oklepata ur ina kazalca , ko je ura dvaj set minut čez osem? (A) 1200 (B) 1250 (c) 1300 (Č ) 1350 (D) 1400 AS Pravokotnik z osnovnico a ima obseg 2a + 4. Ploščina tega pravoko- tnika je: (A) 4a (B) 2a (C) 4a2 (Č) a2 + 4a (D) a2 + 2a. [ Tekmovanja 15 Bl Izračunaj vredn ost izraza 1 1- 1_ _ '_ ~ 1 - ( _ lj 2 B2 Za oštev i lčenje st ra ni v knjigi potrebujem o 1134 šte vk (cifer) . Koliko st ra ni im a ta knji ga? B3 Točki A(-2, -3) in B(3, - 3) sta oglišč i kvadr ata , ki j e poz it ivno ori- ent iran . a) Nariši kvadrat z oglišči A , B , C , D v koordinatni sistem . b) Kvadratu včrtaj krog, središče kroga označi z 8 . c) Zapiši koordinate točk C , D in 8. č ) I zračunaj ploščino včrtanega kroga . d) Koliko odst otkov ploščine kvadrata je ploščina kroga? 8. razred Al Na te m tekmovanju lahko rešuješ naloge 120 minut . Koli ko časa ti bo ostalo za tri daljše naloge, če porabi š za vsako nalogo izbirnega t ipa (Al ,.. . , A8) 6 m inu t? (A) 72 minut (B) pol ur e (C) 24 mi nut (Č) 24 sekund (D) 15 minut A2 Zidar po trebuje za gradnjo 10000 zidakov. Iz izkušenj ve, da se j ih pri prevozu razbije naj več 7%. Zidake prodaj ajo v svežnj ih po 100. Naj manj koliko zid akov mora naročiti , dajih bo imel zagot ovo dovolj? (A) 10500 (B) 10600 (c) 10700 (Č) 10800 (D) 10900 A3 Krožni diagram prikazuj e, na kakšne nači­ ne prihaj a 180 otrok v šolo. Koliko otrok prih aj a v šolo peš? (A) 45 (B) 60 (C) 75 (Č) 90 (D) 120 A4 Ka tero izmed zapi sanih št evil j e najboljši približek vredn osti izraza 487 · 12027 + 9621 . 487? 1 9~{6 7 . 0, 05 . (A) deset (B) sto (C) t isoč (Č) deset tisoč (D) sto tisoč Tekmovanja I A5 Naj bo a2 = a + 2. Tedaj je a3 enako (A) a+4 (B) 2a+8 (C) 3a+2 (Č) 4a+8 (D) 27a+8. A6 Smrkljaje obsedena s hujšanjem. Na začetku letošnjega leta je tehtala 60 kg . V januarju je shujšala za 10% svoje mase. V februarju se je zredila za 10% nove mase. V marcu je spet shujšala za 10% svoje februarske mase, na začetku aprila pa se je spet zredila za 10% svoje marčeve mase. Koliko tehta smrklja aprila letos? (A) 60 kg (B) toliko kot v februarju (C) 54 kg (Č) 53 kg 460 g (D) 58 kg 806 g A 7 Iz 27 kock z robom a smo sestavili večjo kocko. Nato smo iz sredine te kocke vzeli tri kocke z robom a in jih postavili, kot kaže slika. Za koliko je površina telesa na sliki večja od površine večje kocke? (A) za 20a2 (B) za 18a2 (C) za 16a2 (Č) za 12a2 (D) površini sta enaki AS Vrednost izraza (ffi-~~~+vT3) je (A) /5 (B) 210 (C) 310 (Č) 3~ (D) 410' Bl Dve različni trimestni števili sta zapisani z enakimi števkami (ci- frami). Vemo: manjše število ima 7 enic, večje pa 7 stotic in drugi dve števki v takem zaporedju kot manjše število. Če večje število de- limo z manjšim, dobimo količnik2 in ostanek 40. Izračunaj trimestni števili. B2 Osnovnici trapeza ABeD merita 25 cm in 15 cm, krak pa 8 cm. Vsota notranjih kotov ob daljši osnovnici je 90°. Izračunaj obseg in ploščino trapeza. B3 Diagonalni presek kvadra je kvadrat. Stranici osnovne ploskve sta v razmerju 3 : 4, njen obseg pa meri 56 cm . Izračunaj prostornino kvadra. Aleksander Potočnik I Tekmovanja 16. PODROČNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE Naloge za 7. razred 1. Kocka tehta na zraku 20 N, če jo hočemo povsem potopiti pod vodo , pa jo moramo tiščati navzdol s silo 5 N. Kolikšna je specifična t.eža snovi, iz katere je kocka? 2.* V toplotno izolirano posodo , ki ima temperaturo DoC, vržemo 100 gra- mov zdrobljenega ledu in prilijemo 2 dl vode s temperaturo DoC. V posodo potopimo grelec , ki odda vsako sekundo 500 J toplot e. Ko grel ec vključimo , začnemo meriti temperaturo vode. Koliko pokaže termometer po eni minuti? Kol iko pokaže termometer po dveh minu- t ah? Skiciraj potek temperature, ki jo kaže te rmometer, v odvisnosti od časa ! Diag ram opr emi z enotami in merilom! 3. Po gasilsk i cevi s presekom 40 cm 2 preteče med gašenjem vsako mi- nut o 1000 1 vode. Kolikšna j e hitrost vode v cevi? Za gašenje 15 m visokih hiš, mora biti hitrost vod e, ki izsto pa iz cevi, vsaj 30 mis. Kolikšen sm e biti največji presek šobr ki jo gasilec natakne na cev? 4.* V mrzlem zimskem dnevu , ko je tem peratura -20°C, pade v 1 cm široko režo med 15 m dolgimajeklenima železniškima tračnicama ste- klena frnikula s premerom 6 mm . Koliko se lahko segrej eta tračnici, preden zdrobita frnikulo? Raztezanje frnikule lahko zanem ariš. 5. V visoko posodo , katere dno ima obliko kvadrata s stranico 10 cm, natočimo 1 lit er vode in 1 liter olja, ki ima enako specifično težo kot alkohol , vendar se z vodo ne meša . V merilu nariši, kaj dobimo! Kolikšen je tlak 3 cm nad dnom posode? Zunanji zračni tlak je 100 kPa. Če se ti zdi , da pri kateri od nalog manjka kakšen podatek , ga poi š či v učbeniku! Učencem nalog, označenih z z vezdi co , n i bilo treba reševati! Naloge za 8. r azred 1. Žogica za golf pril eti navpično navzdol s hit rostjo 15 mi s na beton- sko po dlago in se odbije s hit rostj o 10 mis. Kolikšen je povprečni pospeše k, ki ga čut i žogica, če j e bila v st iku s podlago stotinko se- kunde? 1118 Tekmovanja I .. odmik čas Slika 1 kaže oddalj enost avtomobilov od neke izhodiščne točke v od- visnost i od časa . Od govori na naslednja vprašanj a: (a) Kate ri avtomo bili se gibljejo naprej s stalno hitrostj o (se odda- ljuj ejo od izhod išča) ? (b) Kateri avto mo bili se gibljejo nazaj s st aln o hit rostj o (se PrI- bli žujejo izhodišču) ? (c) Kateri avto ima največjo stalno hitrost (naprej ali nazaj) ? (d) Kateri avto im a naj večjo stalno hitrost v sm eri naprej? (e) Kateri avto ima največjo stalno hitrost v sme ri na- zaj ? (f) Kateri avtomobili imajo enako hitrost? (g) Kateri avto se spl oh ne pr emika? (h) Kateri avto je najprej mi- roval , potem pa se je po- spešil do stalne hitrosti? (i) Ka teri avto se je gib al na- pr ej , pot em pa se ustavil? (j) Kateri avto se je gib al na- zaj , potem pa se ustavil? 2. Slika l . 3. Družina se je v to rek popold an ob šest ih odpeljala na počitnice . Vr- nila se j e čez štirinajs t dni ob isti uri. Najmlajš i ot rok je pozabil v svoj i sobi pri žgan o žarnico z močjo 40 W . Za koliko to la rjev je bil račun za elektriko večji zaradi te pozabljivosti ? Kilovatna ura elek- t rične energije, por ablj ene v nedeljo , vsak delavnik med dru go in peto uro popoldne te r enajsto uro zvečer in sedmo uro zjutraj , stane 7,282 to larja, medtem ko v preostalem času stane kilovatn a ur a električne energije 12,375 tolarjev. 4. Na sliki je elektri čno vezje, ki je sest avljeno iz štirih up or- nikov. Kolikšna je up ornost vezj a? Kako moramo pove- zati peti upornik z upornostjo 10 n, da bos t a tokova v obeh vejah enaka? Slika 2. IT ekmo vanja 5. V naselju vrstnih hiš stoji med sosednjima hišama visok zid . Ker so otroci radovedni, so si naredili opazovalno napravo , ki jo vidiš na sliki 3a, s katero lahko gledajo okoli zidu. Otrok op azuj e z mest a (označenega s piko na sliki 3a) sosedova vra t a , na katerih j e napisan priimek stanovalcev (slika 3b). Nari ši vr ata, kot jih vidi otrok skozi napravo! Odgovor preveri z načrtovanjem! SOS~:lol·a hi ša ogl~edal'~ zid o vratl' ~--_... --- .~ . ~ ogledalo I domača I L~j ~a Slika 3a . I[]lJI I ~~A~I L~ Slika 3b. Mojca Čepič MED NARODNO MATEMATIČNOTEKMOVANJE MEST - 1. del Ob koncu šolskega leta nas j e mednarodna tekmovalna komisija prij etno presenetila z rezultati 16. t ekmovanja m est . Za uspešno reševanje nalog je pr ejelo pohvale naslednj ih devet dijakov: Andrej Vodopiv ec z Gim- nazij e Celje, Sašo Živanovič s Srednješolskega centra Celje - Gimnazije Lava, Mitj a Pirc z Gimnazije in ekon omske srednje šole Brežice, Martin Klanjšek , Mitja Šlenc, Anže Slosar, Gorazd Bizj ak in Miha Vuk z Gimna- zije Bežigrad in Jernej Barbič z Gimnazij e Tolmin . Naši dijaki dosegajo na te kmovanj u mest res odlične rezultate. V začetku avgusta so bili Matija Mazi z Gimnazije Bežigrad, Igor Klep z Gimnazije Ptuj in Andrej Vodopivec z Gimnazij e Celje vabljeni na kon- ferenco tekmovanja mest , ki j e bila letos v Ugliču , mestu ob Volgi, ki leži 250 krn severno od Moskve. Podrobno poročilo s konference bomo obj a- vili veni prihodnjih številk Preseka . V tej in naslednji številki Preseka objavljamo rešitve izbranih nalog iz pomladanskega kroga 17. tekmovanja mest . Tekmovanja I Rešitve nalog prvega dela: Prva skupina 1. Označimo najmanjši kot s ep . Potem je 5ep < 90°, oziroma ep < 18°. Ker meri največji kot 5ep, najmanjši pa ep, meri tretji kot največ 5ep in je zato 11ep > 180°. Tor ej je ep > 16°, od koder sledi ep = 17°, druga kota pa merita 85° in 78°. 2. (a) Za praštevilo n = 101 sta tudi števila n - 96 = 5 in n + 96 = 197 praštevili . (b) Tako naravno število n ne obstaja. Ker je n - 1996 == n - 1 (mod 3) in n + 1996 == n + 1 (mod 3), je med števili n - 1996, n in n + 1996 natanko eno deljivo s 3. Torej mora biti n - 1996 = 3, vendar tedaj število n + 1996 = 3995 ni praštevilo. 3. Označimo središče včrtane krožnice trikotnika z J. Spomnimo se, da ležijo točke , iz katerih vidimo dano krožnico pod fi- ksnim zornim kotom, na krožnici, katere središče se ujema z dano krožnico. Torej ležijo točke, iz katerih vidimo včrtano krožnico pod pravim kotom , na krožnici s središčem J. Označimo to krožnico s K. Ker je pri oglišču C pravi kot in sta točki P in Q dobljeni kot pravokotni projekciji včrtane krožni ce na hipotenuzo, ležijo tudi točke C, P in Q na krožnici K. Očitno je , da ležijo oglišča kvadrata PQQ'P' s stranico PQ , ki je očrtan včrtani krožnici, na krožnici K (glej sliko) . Potem pa je 1-. P C Q = 1-. P PIQ = ;r. C p I /~ " O' " rf'~ :7<---\~Rr / ' -, \ \/' -. \ 1"/ li r ~ """- '1 '/ 1\ <, \ 1 -: II " ,v\ ',,-.: ~~----~ il P Q B 4 . (a) Kot bomo dokazali v točki (b), ima krivu- lja iz množice C največ 7 samopresečišč . Primer take krivulje je na sliki. (b) Izberimo in fiksirajmo šestkotnik (tj . kri- vuljo) iz C in si oglejmo njegovo poljubno stra- nico f. Če ležijo druga štiri oglišča na isti polrav- nini glede na f, krivulj a nima samopresečišč na f. Če leži eno oglišče na eni strani, tri pa na drugi I Tekm ovanj a strani st ra nice l, im a lah ko kri vulja največ dve samopresečišči na l . Če pa ležit a po dve og lišči na vsaki stra ni stranice l, ima lahko kr ivulj a naj- več tri samopresečišča na E, saj mo ra bit i vsaj eno izm ed teh štirih oglišč povezan o s kr aj išč i stra nice l. Opazim o še, da lahko obstajajo največ t ri str ani ce, pri katerih ležij o preost ala og lišča po dve na vsaki st rani. Torej ima lah ko krivulj a največ 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 15 samopresečišč. Ker smo vsako samopresečišče šte li dvakrat, je 7 res maksimaln o število samopresečišč . 5. (a) P rvi igra lec lahko vedno igra neodločeno , če označi po lje, ki leži s imetrično polju , ki ga je označi l drugi igralec glede na premico, ki razdeli t abelo na dve tabeli dimenzij 10 x 5. Pri prvi pot ezi ali pa če j e simetrično polj e že označeno , označi prvi igralec po ljubno polje. Na koncu je tab ela označena simetrično , kar pom eni a = b. (b) Če uporabi drugi igra lec gornjo st rat egijo , igrata neodločeno , kar pomeni, da zm agovita st ra tegija za prvega igr alca ne obs taja. Druga skupina 1. Iz enakosti a + b + c = 100 Jn a + b/2 = 40 izrazimo a - e = = 2(a + b/ 2) - (a + b+ c) = - 20. 2 . Vpelji mo oznako: xyz naj ozn ačuj e trimestno št evilo s št evkami x , y in z. Naj bo sedaj (a , b,c, d, e,j,g, h ,i) polj ubna permutacija št evil 1,2 , .. . , 9. Potem je abe + bed + .. . + gh i = lOD a + 110b+ 111(c + d + e + j + g) + 10h + i in to število je lah ko n ajveč 100 · 3 + 110 · 4 + 111(9 + 8 + 7 + 6 + 5) + 10·2 + 1 =4606. Ta vrednost je tu di dosežena , kar kaže primer 3,4 , 9, 8,7 ,6 ,5 ,2 ,1. 3. Računaj mo: 1! . 2! . 3! . 4! . 5! · · · 100! = (2!)2 ·3 · (4!)2 · 5 · · · (98!)2 ·99· IDO! = = (.. V (3 ·5 · · · 99)2 . 2 . 4 .. · 100 = = (. . .)2 250 50! = (. .. )2 50!. Če torej IZ pr od uk t a izpusti mo fak tor 50!, bo dobljena število popolni kvadr at. Tekmovanja I 4. Iz oktaedra ABDH FG in t etraedrov AFH E ter BCDG lahko sesta- vimo enakorobi paralelepiped ABCDEFGH j s takimi paralelepipedi pa lahko brez vrzeli zapolnimo prostor. H-"C""" --",.,. E C A B 5. Zadošča rešiti točko (b). Vpeljimo običajne oznake v t rikot niku ABC (glej sliko) . Po kosinusnem izreku v trikotniku ABC je po kosinusnem izreku v trikotniku AQN pa /~ / "~ Q ,..---\ Y ( /I--~ \ T <. Ul / . / ' \ I \ ~ l al ,c '<, b ~/ \ ... "",~/ A () "y<; ~~X c -, ---- " alv \ / J{ ~ / B / / ~ I 1\f' f(n), če je m > n, • f(mn) = f (m) f(n) za vsa naravna števila m in n in • f(2) = 2. Dokaži, da je f(n) = n za vsa narav na števila n. 4. Stranica pokončnega stožca, katerega osnovna ploskev je krog s pol - me rom r , meri 5 enot (5 > 2r ). Naj bo P poljubna točka na robu osnovne ploskve . I zračunaj razdaljo od vrha stožca do najkrajše poti skozi točko P, ki objame plašč stožca. M aljaž Željko - ---- -- --- NALOGE S PREDTEKMOVANJA IZ SREDNJE - ŠOLSKE FI ZIKE V ŠOLSKEM LETU 1995 /96 Tekmovanje je bilo izvede no 30. marca 1996 po regijah . Sodelovalo je okrog 800 dijakov iz 52 srednjih šol, po 30 najboljših iz vsake skupine pa se je potem udeležilo državnega tekmovanja. V skupini A sta bili na predtekmovanju dve verziji nalog, ki pa sta se razlikovali samo v t ret ji nalogi. Tekmovalec je tako reševa l samo eno nalogo - ~)a ali 3b . 1 '1\/ ~. I \\' ! 30cm l ~::,5 111 / 1.6 m \ +---- 4 / ' \ 11 '\ I Tekmovanja Skupina A 1. Na strop pritrdimo 2,4 m dolgo Iehko elast iko in nanjo obesimo majhno telo s težo 20 N tako , da te lo leži na tleh in je elastika navpična, vendar nenapeta. Pr ožnostni koeficient elast ike je 30 N/m. Telo odmaknemo v vod or avni sme ri. a) Največ kolikšen je lahko vodoravni odmik klade, da le-t a ne bo poskočila, ko jo spu st imo? b) Najmanj kolikšen je koeficient lep enja med podlago in tlemi , da telo obmiruje, ko ga v vodoravni smeri odmaknemo za 1,0 m? 2. Posoda z višino 1,0 m in ploščino osnovne ploskve 1,0 m 2 je napol- nj ena z vodo do treh četrtin višine . Vanjo položimo manjšo posodo s ploščino osnovne ploskve 0,50 m 2 in težo 50 N tako , da posoda plava. Nato začnemo v plavajočo posodo počasi enakomerno natakati vodo, tako da vsako sekundo priteče v posodo 1,0 dl vode. Najmanj kako visoka mora biti manjša plavajoča posoda, da se ne potopi, preden začne teči voda preko roba večje posode? Koliko časa po začetku natakanja sega voda v veliki posodi 10 cm do roba? Specifična teža vode je 1,0.104 N/m3 . 3a . Lahka aluminijasta lestev v obliki črke "A" je visoka 2,5 m in j e na sredini pove- zana z dvema vodoravnima vrvema dolžine 1,6 m. Do ka- terega klina se lahko povzpne človek s t ežo 1000 N, če lestev postavimo na ledeno ploskev, klini pa so v navpični smeri v razmiku 30 cm? Posamezna vrvica lahko zdrži največjo silo 200 N. ;1b . Avtomobil dolžine 3,5 m vozi za 6,0 m do lgim tovornjakom. Na začetku imata obe vozili enako hitrost 50 km/h, med nj ima pa je varnostna razdalja 14 m. S kolikšnim konstantnim pospeškom naj avtomobil pospešuje pri prehitevanju , da bo varno prehitel tovornjak na poti 150 m, če je maksimalna dovoljena hitrost vožnj e 80 km/h? Prehitevanje je končano, ko je avtomobil v varnostni ra zdalji pred t ovornj akom , tovornjak pa vozi ves čas s konstantno hit rostj o . Tekmovanja I Skupina B 1. Jerry hoče prestrašiti Toma tako, da pod njim odpre močan curek vode, ki vzdigne Toma - sedečega na lahki ravni plošči - v zrak. Iz odprtine brizga vsako sekundo 20 litrov vode navpično navzgor s hitrostjo 5,0 mjs . Kako visoko se dvigne 8,0 kg težak Tom? Gostota vode je 1000 kg/rn". 2. Na strop je pritrjena dolga lahka vzmet dolžine 2,0 m. Nanjo obesimo utež z maso 0,50 kg in vzmet se podaljša za 50 cm . Nato sunemo ut ež v tangetni smeri tako, da kroži v vodoravni ravnini . a) Kolikšna je najmanjša kotna hitrost, pri kateri telo kroži? b) S kolikšno obodno hitrostjo moramo suniti utež, da bo krožila pod kotom 300 (kot med navpičnico in vzmetjo)? 3. Na tleh stoji klada z maso 2,0 kg, nanjo pa je pritrjena navpična vijačna vzmet s prožnostnim koeficientom 3,0 N/cm, ki nosi lahko skodelico. S kolikšne največje višine smemo spustiti kepo ilovice z maso 2,0 kg, da se klada še ne bo odlepila s podlage? Trk ilovice s skodelico je popolnoma neprožen , ilovica pa se sprime sskodelico. 4. Kroglico z maso 100 g spustirno z višine 3,0 m. Ko prepotuje razdaljo 1,0 m , prileti vanjo v vodoravni smeri kos plastelina z maso 50 g in hitrostjo 3,0 mis ter se pril epi na kroglico. Kje pade zlepek na tla? Skupina C 1. Prijatelj je meril gonilno napetost in notranji upor baterij e. Z am- permetrom z neznanim notranjim uporom in upornikom za 30 nje naredil tri meritve pri treh možnih vezavah elementov. Sporočil ti je vrednosti za tokove 0,10 A, 0,18 A in 0,20 A, ni pa povedal , ka- teri vezavi ustreza katera meritev. Lahko kljub temu določiš merj ene količine? 2. Z domačimi pripomočki si mladi fizik sestavi naslednje vezje: Jekleno palčko z maso 1,0 g položi na dve enaki lahki navpično stoječi vzmeti, razmaknjeni za 10 cm , da palčka leži vodoravno. Vsaka vzmet se skrči za 2,0 mm. Med vzmeti veže izvir enosmerne napetosti in vse skupaj postavi v vodoravno magnetno polje z gostoto 0,10 T , ki je pravokotne na jekleno palčko. Skupni upor sestavljenega vezja je 1,0 n. Na začetku izvir napetosti ni vključen. Izračunaj, na k1l.tf , .) napetost mora biti nastavljen izvir , ko ga vključi, da bo palčka skočila do višine 25 cm nad mizo? Dolžina neraztegnjenih vzmeti je 5,0 cm . Skiciraj vezje in na skici označi smer magnetnega polja in polariteto priključene napetosti! I ·Tekmovanja 3. Upornik R = 1,0 MS1 , kondenzatorja Cl = 1,0 J..!F in C2 =3,0 J..!F ter stikalo so povezani v električni krog, kot kaže slika. Na kondenzatorju Cl je nab oj 5,0 J..!As , na kondenzatorju C2 pa 10 J..!As. a) Kolikšen tok steče skozi upornik takoj po skleni- C " Il t vi stikala? ~ b) Koliko toplote se sprost i . .. o na uporniku po dalj šem času po sklen it vi stikala? 0-- -----' Skupina D 1. V magnetnem polj u z gostoto 1,0.10- 5 T je izvir elektronov. Elek- troni izhajajo s hitrostjo 1,0 . 105 mis, vendar curek elektronov ni vzporeden, ampak rahlo div ergenten . Divergenca je taka, da elek- troni izstopajo iz izvira pod različnimi koti , največji kot izstopa pa je 1,00 glede na smer magnetnega polja. Na kolikšni razdalji se bo curek znova fokusiral in kolikšna j e naj večj a širina curka? Masa elekt rona je 9,1.10 - 3 1 kg, naboj pa 1,6. 10- 19 As. Up oštevaj , da so koti majhni! 2. Dva enaka satelita, povezan a z lahko vrvico, krož ita okoli Zemlj e po krožnih orbitah z enako kotno hitrostjo. Prvi je na višini 300 km nad površino Zemlj e, drugi pa na višini 320 km . V nekem trenutku se vrvica pretrga. Kolikšno največj o višino doseže drugi satelit ? Radij Zemlje je 6400 km , težnostni pospešek na površini Zemlj e pa 10 m/s2 . Potencialna energij a telesa z maso m v okolici okroglega homogenega telesa z maso M je v razdalji r od središča enaka Wp = - t.: c = J g>. j{21r ). Ciril Domink o PRESEK list za mlade matematike, fizike, astroname in računalnikarje 24. letnik, šolsko le t o 1996/97, številka 2 , strani 65 - 128 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregl ed) , Dušica Bob en (oblikovanje t ek st a) , Vilko Dornajnko, Roman Drnovšek (novice) , Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Boštjan Jaklič (tehničniurednik), Martin Juvan (računalništvo) , Sandi Klavžar , Bo ris Lavrič, Andrej Likar (fizika), Matija Lok ar, Bojan Magajna (glavni urednik) , Franci Obl ak, Peter Petek , Mari- j an P rosen (astronomij a) , Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo) , Miha Št al ec , Marija Ven celj (matematika, odgovorn a urednica). Dopi si in naročnine : Društvo matematikov , fizikov in astronomov Slovenije - Po- družnica Ljubljana - Komisija za tisk , Presek, Jadranska c. 19 , 1001 Ljubljana, p .p . 2964, tel. (061) 1232-460 , št. ŽR 50106-678-47233 . Naročnina za šolsko leto 1996/97 je za posamezne naročnike 1.500 S IT , za skupinska naročilašol 1.200 SIT, p osam ezna št evilka 300 SIT, za tujino 30.000 LIT, devizna nakazila SKB banka d.d. Ljubljana, val -27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana. List sofinancirata MZT in MŠŠ Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana Po m nenju MZT št. 41 5-52/92 z dne 5.2 .1992 šteje revija med proizvode iz 13 . točke tarifne št. 3 zakona o prometnem davku , za katere se plačuje 5% davek od prometa proizvodo v. © 1996 Društvo matematikov , fizikov in astronom ov Slovenije - 1295 I N aloge PRIŠTEVAN KA ZA DVA Nasl ednja igr a za dvaj e tako st ara , dajo najdemo celo v knjigi Zanimivi in zabavni problemi, ki jih lahko zastavim o s števi1i iz leta 1612 (avtor je francoski matem atik Bachet de Meziriac]. Prvi igralec prične igro s poljubnim številom, kije manj še od 100. Nato igralca izm enoma navajata čedalj e večj a (nar avn a) št evila , vend ar nobeden ne sme št evila , ki ga je soigralec povedal pred tem , povečati za več kot za 10. Zmaga ti sti , ki lahko pr vi navede število 100 (in seveda tega ne spreg leda). Izkaže se, da v tej igri vedno zmaga t ist i, ki prvi uspe navesti eno od št evil 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 in tudi kasn eje navaj a le števila iz tega zaporedja . Pr emislit e, zakaj ! Če igralec, ki to strategijo pozna , začenj a igro kot prvi, je zmaga njegova . Če začenj a igro kot drugi, j o bo izgubil , če bo njegov soigra lec navaj al le št evila iz zgornj ega niza. Igro pa bo do bil, kakor hitro bo drugi igralec navedel št evilo , ki ga ni m ed nav edenimi. Tedaj bo lahko prvi igralec navedel število iz zgornjega niza (zakaj?) in dobi l možnost , da zm aga . In še n aloga: Naj poljubni nar avni števili a in A, a < A , v igri nadom esti ta števili 10 in 100. Poišči te zmagovito st rategijo za tak splošnejši primer . Mari ja Vencelj Slika 1. Znans t ven iki p roj ekta M E TA zasled uj ej o 37 nen avadnih signalov , ki so na sliki narisani v ekva tor ia lnem koordina tnem sist em u . Njegovi koordinati s t a d ekl inacija in rekt a scen zij a in ust r eza t a zemeljs kim a zem ljep isn i šir ini in dolžin i . Mo de r pas nep raviln e ob like p r ika zuj e Rimsk o cest o . Označeno j e sred išče ga la ks ije . Sign a li so označen i z rdečimi in rum enimi p ika m i; barvi označujeta dve razl ični va lovn i d olžini , pri katerih so opazova li s 26-m et rs ko ra d ijs ko a nt en p na Harvardu , ZDA. Največje pike označujejo najmočnejše sign al e . Slika 3 . Oranž no obarvane m in eralne globu le , ki so prikazane na t ej fotografij i , so našli v meteoritu A LH84001. Zn a nstven ik i m eni j o, d a so t e glob ul e nas t al e ob prisot nost i prim it ivn ih , ba kt erijam podob n ih or ga n izmov. Slika 2. Anten a avs t r a lskega radij ske ga teleskopa Parkes, ki je n eka j m esecev v letu 1995 iskal a signale zu naj zemeljs kih civilizacij . Anten a im a prem er 64 m et rov in t eh t a 300 to n . Sprva j e bila izd ela na za opazova nj a p r i val ovnih d olžinah 10 , 21 in 75 centim et rov , kasn ej e pa so j o dopolni li tako , d a d eluj e t ud i p ri kr a jših val ov nih d olžinah.