PRESEK LETNIK 015) ŠTEVILKA 4 SIROKOKOTNI OBJEKTIVI IN DEFORMACIJE TELES POSASNA CELISNA KONVEKCIJA, 2. DEL DELNI SONSEV MRK, 20. MAREC 2015 ALGORITEM ZA REŠEVANJE RUBIKOVE KOCKE ISSN 0351-6652 9770351665241 9770351665241 MATEMATIČNI TRENUTKI KOLOFON Vrnitev na začetek ••• 2 -> V nasprotju z večino ljudi, ki so praviloma usmerjeni naprej, veliko fizikov računa za nazaj; tako bi želeli doumeti, kako se je razvilo vesolje. Ker od takrat nimamo prič, je še najboljša metoda reševanje enačb iz splošne relativnosti in kvantne mehanike v nasprotni smeri, kot teče čas. S pomočjo matematiC-nih modelov in numericnih metod so znanstveniki iz teh enačb rekonstruirali, kaj se je zgodilo pred več milijardami let. Dokler pa nam ne bo uspelo združiti teorij splošne relativnosti in kvantne mehanike, ne bomo vedeli, kaj se je zgodilo v prvih trenutkih nastanka vesolja. Splošna relativnost, ki opisuje gravitačijo, in kvantna mehanika, ki opisuje obnašanje zelo majhnih delčev, si trenutno nasprotujeta; različne teorije ju skušajo uskladiti. Ena od teh teorij je teorija strun, ki predvideva, da je vesolje sestavljeno iz enajstih dimenzij. Pomemben del teorije izhaja iz kompleksne analize in iz teorije modularnih form. V pravilnost teorije strun verjetno še zelo dolgo ne bomo prepričani; potrditi pa jo bo potrebno bodisi na Zemlji s še hitrejšimi pospeševalniki bodisi svetlobna leta stran z ogromnimi črnimi luknjami bodisi s pomočjo odmevov prvih trenutkov velikega poka. Za več informačij si lahko preberete članek The Blačk Hole at the Beginning of Time, ki so ga napisali N. Afshordi, R. B. Mann in R. Pourhasan v reviji Scientific American avgusta 2014. _ XXX PRESEK 42 (2014/2015) 4 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 42, šolsko leto 2014/2015, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2014/2015 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56031001000018787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2015 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1955 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Vrnitev na začetek 4-8 9-12 13-19 20-22 23-29 MATEMATIKA Širokokotni objektivi in deformacije teles (Peter Legiša) Kitajske naloge (Marjan Jerman) FIZIKA Počasna celična konvekcija, 2. del -Razlaga pojavov v posodici s tekocim milom (Jože Rakovec) ASTRONOMIJA Delni Soncev mrk - 20. marec 2015 (Andrej Guštin) RAČUNALNI ČTVO Algoritem za reševanje Rubikove kocke (Natalija Špur) P P 8 12, 22,29 16-17 3301 31 P I priloga priloga priloga priloga RAZVEDRILO Barvni sudoku Križne vsote Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 42/3 (Marko Bokalič) Naravoslovna fotografija - Nevidna senca (Aleš Mohorič) TEKMOVANJA 50. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje -podrocno tekmovanje 50. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje -državno tekmovanje 34. tekmovanje iz fizike za bronasto Štefanovo priznanje -šolsko tekmovanje 34. tekmovanje iz fizike za srebrno Štefanovo priznanje -regijsko tekmovanje Slika na naslovnici: Širokokotni objektivi deformirajo tri-razsežne objekte na robu vidnega polja. Avtor clanka (str. 4-8) je na levi v sredini slike, na desni na skrajnem desnem robu. Fotoaparat je bil na obeh slikah v istem položaju. Dvo-razsežni vzorec na zidu se ni deformiral. Širokokotni objektivi in deformacije teles Peter Legiša -> Ko je moja prateta praznovala stoletnico, so sorodniki priredili slovesnost z velikim številom povabljenih. Na koncu je bilo treba seveda narediti »gasilsko« sliko ob vhodu na borjaC, saj je bilo znotraj ograjenega dvorišCa premalo prostora. Tudi zunaj borjaCa se v kraški vasi fotografi nismo mogli kaj dosti odmakniti od množice. Ljubiteljski fotografi navadno nimamo dovolj avtoritete, da bi lahko optimalno razporedili ljudi. Tako so se prisotni razporedili nekoliko po svoje. S širokokotnim objektivom jih ni bilo težko zajeti, a ob pregledu na raCunalniku se je pokazala težava. Dve osebi, ki sta se postavili povsem zase na robu slike, sta bili grdo raztegnjeni v vodoravni smeri, tako da nad sliko ne bi bili ravno navdušeni. Stavbe v ozadju pa so bile upodobljene praktiCno brezhibno - okna tudi na robu niso bila raztegnjena. V resnici sem Cudne deformacije oseb na robu vidnega polja širokokotnega objektiva srecal že prej, a temu nisem posveCal pozornosti. Literatura ([1], str. 220-221) in zapisi na internetu [2] povedo, daje problem v tem, da ljudje nismo plošCati. Podobno ali še bolj bi se na robu raztegnile slike, denimo, navpiCnih stebrov. Privzemimo, da je naša kamera vodoravno poravnana. Na sliki 1 si lahko ogledamo, kako objektiv v horizontalni ravnini skozi središCe O objektiva »vidi« steber v obliki valja s polmerom r, katerega os stoji v ravnini Ф. Ta navpiCna ravnina je vzporedna ravnini senzorja aparata in oddaljena za a od optiCnega središCa O objektiva. Na sliki 1 se ta ravnina projiCira v premiCo skozi M in toCko S, ki leži v osi stebra. Sam steber je na sliki 1 viden kot kro-žniCa s središCem S in s polmerom r. Objektiv vidi in upodobi steber kot navpiCni pas (v ravnini Ф), ki sega od toCke A do toCke B. Že |AS| je veCji od r, še toliko bolj pa |SB |. To je paC ta neprijetni uCinek, ki ga imenujejo tudi deformacija teles (angleško volume deformation). IzraCunajmo razdaljo |AB| in jo primerjajmo z 2r. Na sliki 1 smo s ф oznaCili kot ASOM in z 2ш kot, pod katerim vidimo vodoravni prerez stebra iz toCke O. V nadaljevanju nam bosta prišli prav dve približni formuli. Trdimo, da je za število h, ki je blizu 0, 1 1h 1 + h. (1) Res, (1 - h)(1 + h) = 1 - h2 « 1. Če je namreC h blizu 0, je h2 = hh še toliko bliže 0. Fiziki bi rekli, da je h2 zanemarljiv (v primerjavi s h). Npr., Ce je h = 0,1, je h2 = 0,01. Manjša je razdalja števila h od 0, bolj toCna je ta približna enakost. Vsekakor približna formula daje malenkost premajhne rezultate, saj produkt ni ena, ampak nekaj manj, npr. 1 : 0,98 « 1,02. ToCni rezultat je 1,0204... Podobno vidimo, da je za h blizu 0: vr+h « 1 + h. Res, h \2 h2 1 + h = 1 + h + h « 1 + h. 24 (2) (3) Vidimo, da približna formula (2) daje make prevelik rezultat, saj je v (3) leva stran natanCno koren srednjega izraza, ta izraz pa je nekoliko veCji od 1 + h, npr. VOT « 1,015. ToCni rezultat je 1,014889... Če še ne poznate kotnih funkCj sinus, kosinus, tangens, lahko veCino naslednjih formul preskoCite in vsaj nekatere številske rezultate preverite s koto-merom in ravnilom. Iz pravokotnega trikotnika OMS na sliki 1 vidimo, da je |OS| cos ф = a, iz pravokotnega trikotnika OT1S pa, da je |OS| sin ш = r. Od tod je sin ш = r cos ф, cos ш = V1 - sin2 ш. a OznaCimo r2 4 = 022 = pa je r 2 2 — in y = cos2 ф, a cos ш = J1 - qy. (4) Seveda je 0 < y < 1. Privzeli bomo tudi, da je r < a, torej 0 < q < 1. Velja, daje ZAST1 = ф-ш in |AS| cos^-ш) = r in podobno ZBST2 = ф + ш, zato |BS| cos(ф + ш) = r. Tako je ir ir ■ |AB | = cos(ф - ш) cos^ + ш)' Če je ш majhen v primerjavi s ф, je torej 2r |AB | Če je ф blizu 0, je cos ф blizu 1 in je razteg majhen. Za ф = 45° je 1/cos ф = л/2 in se na sliki steber raztegne za vec kot 40 odstotkov v primerjavi z ozadjem. Veliki senzor »full frame« fotoaparata - ti so zdaj postali cenovno dostopni tudi navdušenim amaterjem - meri približno toliko kot nekdaj slicica na 35 milimetrskem filmu, se pravi približno u = 36 mm x v = 24 mm. Za objektiv z gorišcno razdaljo ION| = f = 16 mm lahko maksimalni ф dolocimo s slike 2: tg ф = (u/2) : f = u/2f = I UN |/|NO| = 18 : 16, od tod ф = arctg(9/8) « 48°. Iz 2 81 1 ■ 1 + tg2 ф = 1 + — =-2— 64 cos2 ф je 1 VT45 cos ф 12 = 150. (Mimogrede, z (2) lahko brez racunala izracunamo V145 precej natancno: cos ф V^ = V122 + 1 = 1^1 +122 12 f1 + 2 ■ = 12 + 24 « 12,04- SLIKA 1. O 8 —^ Za naše namene taka natančnost seveda ni potrebna.) Deformacije valjev na robu so res hude - razteg v vodoravni smeri za kakih 50 odstotkov. Po drugi strani lahko s takim objektivom iz vogala sobe zajamemo celoten prostor: 48 stopinj desno in 48 stopinj levo, skupaj 96 stopinj v vodoravni smeri. Za profesionalce obstajajo dragi fiksni in tudi zoom objektivi s še nekoliko manjšo gorišCno razdaljo. Za zrcalno refleksne aparate znamk Canon, Nikon z velikim senzorjem je minimum pri originalnih objektivih trenutno 14 mm in temu odgovarja kot vodoravnega zajema ф1 = arctg(9/7) « 52° desno od osi aparata (in ravno toliko levo). Tu moramo ra-cunati s še vecjimi deformacijami prostorskih objektov - za vajo faktor raztega na robu izracunajte sami. (Mimogrede, krožijo govorice, da se bo pojavil objektiv z minimalno gorišmo razdaljo 11 mm!) Ti objektivi, še posebno tisti s fiksno gorišmo razdaljo, pa vseeno ravne crte upodobijo bolj ali manj kot ravne crte. Ne smemo jih mešati z objektivi tipa ribje oko, ki momo ukrivijo ravne crte ob robu, da bi na sliko spravili, kar se da veliko obmocje. Na koncu izracunajmo še razteg za »normalni« objektiv, ki ima (pri senzorju velikosti 36 x 24 mm) gorišmo razdaljo f = 50 mm. Tu za maksimalni ф velja tg ф = 18 : 50 = 0,36 in 1 + tg2 ф = 1,1296, od tod po (2) 1 cos ф = д/1,1296 « 1,06. Povsem zanemarljiv tudi ta razteg na robu ni. Opozarjam, da vidni kot fotografskega objektiva sicer navadno merimo na diagonali slike, se pravi, vzamemo kot, pod katerim objektiv gleda v ravnini skozi diagonalo tipala. Ta za senzor velikosti 24 x 36 mm meri d = л/242 + 362 mm « 43 mm. Vidni kot je enak a = 2 arctg(d/2f ). Tako je vidni kot za 14 milimetrski objektiv enak približno 114°. V vodoravni smeri, ki je v praksi pomembnejša, ta objektiv vidi »le« 104 stopinje, kar pa vseeno zagotavlja precej nenavadno perspektivo. Sam premorem star širokokotni zoom objektiv, ki ima deklarirano najmanjšo gorišmo razdaljo 20 mm. Za maksimalni ф je tg ф = 18 : 20 = 0,9. Torej je 1/cos ф = V 1,81 « 1,35. S tem objektivom sta bili posneti tudi fotografiji v clanku: obe z istega mesta, ob nespremenjeni legi aparata. Na slikah in obeh izrezih razen popravkov osvetlitve niso bile narejene nikakršne spremembe. Kot lahko preverite, se na robu opeke v zidu niso raztegnile, oseba (moja malenkost) pa kar opazno, še posebej glava. Za bolj zahtevne bralce izracunajmo zdaj razteg natanmo: I AB | = r = r cos^ - со) cos^ + со) cos^ + со) + cos^ - со) cos^ + со) cos^ - со) ' Z znanimi formulami za pretvorbo vsote v produkt in obratno vidimo, da je števec enak 2r cos ф cos со, imenovalec pa ■ 1 (^(2ф) + cos(2w)) = = 1 (2cos2ф - 1 + 1 - 2sin2со) 22 = cos2ф - sin2со. Upoštevajmo izračun za cos c (4), pa je 2r cos co 2r ■ I AB | = kjer je cos ф(1 - q) cos ф P, P = л/1 - qy 1 - q ' kjer smo oznacili y = cos2 ф in q = ^. Lahko zapišemo . p = 1 f13 qy 2 = 1 - q + q - qy P (1 - q)2 1q 1 q 1 - q ' (1 - q)2 1 - q (1 - q) 2 sin ф (1 - y) хф ф/ O /ф f = 16 / N П N U K- U SENZOR U =i« V 2 2 18 —-Ж-2->1 SLIKA 2. vidimo, da bo pri danem q izraz P najvecji, ko bo ф najvecji, saj funkcija sinus strogo narašca na intervalu [0,90°]. Najvecje P torej lahko pricakujemo pri maksimalnem ф. To tudi pomeni pri minimalni gorišcni razdalji. Fiksirajmo zdaj y, torej fiksirajmo ф. Iz y - qy + 1 - y y 1 - y P2 л/1 - q V 1 - q Prvi kolicnik je vecji od ena in v velikem korenu je števec vecji od imenovalca (zakaj?). Torej je P > 1. Če je q blizu 0, je po naših približnih formulah P blizu 1: ■ P « (1 - !qy) (1 + q) = 1 + q -1qy -1q2y « 1 + q - 2 qy = 1 + q (1 - | y Tudi sicer se v praksi faktor P ne bo kaj dosti razlikoval od 1. Privzeli smo, da je q < 1. Izraz P bo najvecji, ko bo P2 najvecji. Fiksirajmo q. Iz (1 - q)2 1 - q (1 - q)2 vidimo, da bo P maksimalen, ko bo q maksimalen. (No, stvari so v resnici bolj zapletene, saj pri dani gorišcni razdalji z vecanjem kvocienta q = a zmanjšujemo najvecji mogoci ф - slika 3.) Vzemimo torej 14 mm objektiv na velikem senzorju, tako da na sliki 3 velja |OM| : |MB| = 14 : 18. Naj bo recimo a = IO MI = 7, I MB I = 9. Narisali smo primer, ko je r in s tem q tako velik, da valj zavzame veČc kot cetrtino slike. (Kaj vec zame težko pride v poštev -širokokotni objektivi niso ravno primerni za slikanje posameznih oseb ali debelih teles. O tem kasneje. Poleg tega z vecanjem spremenljivke r zmanjšujemo ф in s tem P. Rekli smo tudi, da nas zanimajo le razširitve teles na robu vidnega polja, kjer q ni prevelik.) Na sliki 3 je IMBI = 9, ISBI = 3. Od tod izracunamo c = I OB I = V130. Dve plošcini pravokotnega trikotnika OMB sta enaki ab = cvc. Zato je IEMI = vc = 63/c. Iz podobnih trikotnikov MEB in ST2B izracunamo r = IST2I « 1,8. Iz tgф = | dobimo cos2 ф = 49/85 in koncno P « 1,05. M vc c a7 \ \ / c / / / / / / / V E SLIKA 3. O —^ Sam težave z raztegnjenima osebama takrat nisem znal hitro odpraviti in sem ju zato enostavno odrezal. Pred kakim letom se je na trgu pojavila rešitev, ki pa ni ravno poceni. Razvil jo je francoski laboratorij, ki tudi sicer ponuja programe za izboljšave digitalno zajetih slik. Orodje popravi razteg oseb, a bolj ali manj popaCi ozadje - kar pa praktiCno ne moti. Kot smo videli, je razteg valja malce odvisen tudi od polmera in zato ustrezen popravek širšega valja malce prevec skrci ožje valje, tako da popolnih popravkov ni mogoce pricakovati. Demonstracijo si lahko ogledate na [2]. Ostane pa nenavadna perspektiva: zelo širokoko-tni objektivi bližnje predmete upodobijo nesorazmerno velike, oddaljene nesorazmerno majhne (za naš pogled, ki se bolj ali manj pokriva s pogledom »normalnega« objektiva). Tako je na slikah modela, ki sedi postrani, glava videti nekoliko premajhna glede na telo v ospredju. Širokokotni objektivi so neprimerni za portrete posameznih oseb! Ce s takim objektivom, recimo, frontalno, z razdalje nekaj decimetrov, slikamo obraz, bo nos velikanski, ušesa minimalna in obraz povsem deformiran. Prav to pa se pogosto dogaja pri tako imenovanih »selfijih«, se pravi pri avtoportretih, pri katerih pametni telefon ali fotoaparat držimo v roki. Kakorkoli že, ce vam je videz pomemben, se na skupinski sliki postavite bolj v sredino. Ko sami fotografirate, se odmaknite od skupine. Kadar to ni mogoce, razporedite ljudi kot poklicni fotografi. Skrbno nacrtovane kompozicije starih »gasilskih« slik, na katerih so nekateri sedeli, drugi stali in tretji ležali, so poskrbele, da skupina ni bila preširoka in da je tako fotoaparat zajel vse pod majhnim kotom. Nihce se ni mogel pritoževati, da se je na sliki nemarno razširil. Literatura [1] S. F. Ray, Applied photographic optics, Second ed., Focal Press, Oxford 1995. [2] Correcting volume deformation with DxO ViewPoint, http ://www.dxo.com/intl/photograp hy/tutori als/correcti ng-volume-deforma tion-dxo-viewpoint, ogled: 8. 1. 2015. Barvni sudoku V 8 X 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh 8 števil. O v O □ O (Л > a < co > ш * £ a 8 3 5 4 6 3 7 2 2 7 8 3 2 4 8 1 1 6 7 7 E 6 Z 1 S 17 8 1 8 S 4 E Z L 9 S L 2 L 9 3 8 17 E 17 8 9 7 L 2 S 8 L 17 S 2 7 9 3 Z 6 E L 8 4 S L 9 5 L 3 17 8 L Z 17 Z L 8 S 9 E L XXX XXX Kitajske naloge Ф •i' Ф Marjan Jerman Zaradi geografske izoliranosti, večtisočletne samosvoje kulture in številčne populacije se je kitajska matematika zelo dolgo razvijala skoraj popolnoma neodvisno od drugih civilizacij. Prve zametke matematike najdemo že v mitih, ki izvirajo iz predzgodovinskega obdobja. Najbolj znana je legenda o cesarju Yuju, ki se je ohranila tudi preko tradicije feng shuija. Cesar je z darovi želel pomiriti boga reke Lou, ki je pogosto povzroCala katastrofalne poplave. Po eni izmed inaCic zgodbe ni pomagalo prav nobeno darovanje, dokler ni iz reke prilezla želva. Na oklepu je imela zapisano naslednjo nenavadno tabelo s števili od 1 do 9: 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Cesar je opazil, da je vsota vsake vrstice in vsota vsakega stolpca v tabeli enaka 15. Potem, ko je reki ponudil 15 darov, se je reka umirila. To je verjetno prva omemba magimih kvadratov. Zanimivo je, da je to edini magicni kvadrat velikosti 3 x 3. Vecji del našega védenja o kitajski matematiki izvira iz približno desetih knjig, ki povzemajo dotedanje znanje matematike. Najstarejša je bila napisana približno 180 let pred našim štetjem. Verjetno najpomembnejša med njimi je knjiga z naslovom Devet poglavij matematične umetnosti. Knjigo so skozi stoletja spreminjali in dopolnjevali. Njena zadnja verzija je iz leta 200 našega štetja, vsebuje pa odkritja iz približno 1200-letne preteklosti. Za razliko od današnjega razumevanja matematike, ki izvira iz starogrške tradicije in ga je prvi do-koncno izoblikoval Evklid v svojih Elementih približno 300 let pred našim štetjem, je bila kitajska matematika predstavljena kot zbirka konkretnih problemov. Številski podatki v problemih so skrbno izbrani, tako da rešitve problemov delujejo tudi z dru-gacnimi podatki in se v bistvu obnašajo kot današnje spremenljivke. Tako lahko s pomocjo analogije na- loge posplošimo in dobimo nekaj takšnega, kot so naši izreki. Kako razlicna od naše je bila starokitajska kultura, pokaže tudi njihov sistem izobraževanja. Cesarska akademija je med nižjimi sloji izbrala 30 študentov, med katerimi jih je 15 študiralo abstraktno, 15 pa uporabno matematiko. Po sedmih letih študija so na zelo strogih izpitih za državne uradnike morali rešiti nekaj nalog iz obravnavanih knjig. Študentje abstraktne matematike so morali dodatno še pravilno dopolniti vsaj šest od desetih nakljumih stavkov iz knjige Devet poglavij matematične umetnosti. Za ilustracijo tedanjega poznavanja matematike si poglejmo nekatere izmed znacilnih nalog. Polnjenje ribnika V šestem poglavju je zapisana še danes zelo popularna naloga s polnjenjem ribnika. Ribnik napaja pet kanalov. Prvi kanal napolni ribnik v tretjini dneva, drugi v enem dnevu, tretji v dveh dneh in pol, četrti v treh dneh in peti v petih dneh. Hkrati odpremo vse kanale. Kdaj bo poln ribnik? Naj bo X število dni, potrebnih za napolnitev ribnika. Potem je o 2 1 1 ■ 3x + x + 5 X + 3 X + 5 X = 1. Tako je x = ^^ kar je približno 4 ure, 51 minut in 54 sekund. Kovanci V sedmem poglavju so naloge, ki so povezane z reševanjem sistemov linearnih enacb. Na prvem kupu je devet zlatih, na drugem pa enajst srebrnih kovancev. Oba kupa tehtata enako. Iz vsakega kupa vzamemo po en kovanec in ga damo na drugi kup. Kup, kije v glavnem sestavljen iz zlatih kovancev, sedaj tehta 13 utežnih enot manj kot kup, ki vsebuje večino srebrnih kovancev. Poišči teži zlatega in srebrnega kovanca. —^ Če z 5 označimo težo srebrnega in z z težo zlatega kovanca, dobimo sistem enačb ■ 9z = 115 8z + 5 + 13 = 105 + z. Sistem ima enolično določeni rešitvi - 5 = 29 1, z = 35|. 20 V У X S / 2x / J 14 P 1775 O SLIKA 1. Kvadratno mesto z rešitvama X = -17 ±267 2 Kvadratno mesto V zadnjem, devetem poglavju, so naloge, ki so povezane z znanjem o pravokotnih trikotnikih. Med bolj zanimivimi je naslednja: Mesto je obdano s kvadratnim obzidjem. Na vsaki stranici zidu so na sredini vrata. Dvajset korakov pred severnimi vrati je drevo. Ce mesto zapustimo pri južnih vratih, naredimo 14 korakov proti jugu in nato 1775 korakov proti zahodu, prvic zagledamo drevo. Kako veliko je mesto? D Za širino mesta moramo vzeti pozitivno rešitev 2x = 250 korakov. Oddaljeni otok Liu Hui je leta 263 med komentarji knjige zapisal naslednjo nalogo o merjenju oddaljenega otoka: Palici velikosti pet pujev sta postavljeni 1000 pujev narazen (en pu ustreza približno dvema metroma). Če se postavimo med palici 123 pujev za prvo palico, kije bližje otoku, sta vrh prve palice in vrh otoka poravnana. Če pa se postavimo 127 pujev za drugo palico, sta poravnana vrh otoka in vrh druge palice. Kolikšna je višina otoka in koliko je otok oddaljen od prve palice? Naloga bo bolj jasna, če dodamo, da z obale vidimo visok klif nad morjem, ki je hkrati najvišja točka otoka. Povedati je treba tudi, da je obala sičer položna in da vrhova obeh palič ter vrh otoka vidimo s točk na tleh. Situačija je ilustrirana in skičirana na sliki 2. Naj bo v višina klifa in d oddaljenost prve paliče od otoka. Trikotnika BP1Q1 in BOV sta si podobna, zato je 5 123 123 d Prav tako sta si podobna tudi trikotnika AP2Q2 in AOV, zato je 5_ v 127 d+ 1000 + 127' Od tod dobimo sistem enačb v Skičirajmo mesto in uporabljajmo oznake s slike 1. Naj bo 2x njegova širina. Ker sta trikotnika POD in V SD podobna, je 20 _ 34 + 2x " X = 1775 ' Razmerje je ekvivalentno kvadratni enačbi ■ X2 + 17x — 17750 = 0 ■ 615 + 5d = 123v 5635 + 5d = 127v z rešitvama ■ v = 1255 in d = 30750' Otok je visok 1255 pujev in je 30750 pujev oddaljen od prve paliče. O Pi 123 B P2 127 Л SLIKA 2. Merjenje otoka z obale Košara z jajci Sun Zi je v petem stoletju med komentarji knjige zapisal naslednjo nalogo: Če iz košare jemljemo po tri jajca, v košari ostaneta dve jajci. Če jemljemo po pet jajc, ostanejo tri. Če pa jih jemljemo po sedem, ostaneta dve. Koliko jajc je v košari? Naj bo X število jajc v košari. Besedilo pravi, da je ostanek pri deljenju x s 3 enak 2, ostanek pri deljenju X s 5 enak 3 in ostanek pri deljenju x s 7 enak 2. Danes to krajše zapišemo kot sistem kongruenc: ■ x = 2 (mod 3) X = 3 (mod 5) X = 2 (mod 7) Izkaže se, daje takšen sistem zagotovo rešljiv, Ce so moduli paroma tuji. Danes ta rezultat imenujemo Kitajski izrek o ostankih Kitajci so vedeli, da morajo v tem primeru rešitev iskati v obliki ■ X = 3 ■ 5 ■ a + 3 ■ 7 ■ b + 5 ■ 7 ■ c. Zaradi tujosti modulov bi se dalo pokazati, da je prav vsaka rešitev te oblike. Vsak od seštevancev je premeteno nastavljen tako, da preostala dva data ostanek 0 po drugih dveh modulih. To pomeni, da mora hkrati veljati: ■ 15a = 2 (mod 7) 21b = 3 (mod 5) 35c = 2 (mod 3) Ker je 15a = 2 ■ 7a + a, 21b = 4 ■ 5b + b in 35c = 11 ■ 3c + 2c, dobimo a = 7a' + 2, b = 5br + 3, 2c = 3c ' + 2. Če preverimo vse možne ostanke pri deljenju s tri, vidimo, da mora biti c oblike c = 3c'' + 1. Ko rešitve vstavimo v nastavek za x, dobimo ■ X = 3 ■ 5 ■ 7(a + b + c'') + 128 = 105n + 128. Najmanjšo smiselno naravno rešitev dobimo v primeru n = -1. Takrat je x = 23. Naslednja je že 128. Vse ostale rešitve dobimo s prištevanjem veckratni-kov števila 105. Perutnina Yang Hui je v trinajstem stoletju pazljivo predelal Devet poglavij matematime umetnosti in med komentarji zapisal zanimivo nalogo, ki je povezana z reševanjem linearnih diofantskih enacb: Petelin stane pet Čienov, kokoš tri Čiene in trije piščanci en Čien. 100 glav perutnine kupimo za 100 Čienov. Koliko petelinov, koliko kokoši in koliko piščancev smo kupili? Naj bo X število petelinov, y število kokoši in z število pišcancev, ki smo jih kupili. Potem je 5x + 3y + 1 z = 100 , X + y + z = 100 . v d Ce odpravimo spremenljivko z, dobimo enacbo ■ 7x + 4y = 100. To je enacba premice v ravnini, na kateri leži neskončno točk s koordinatama (x,y). Za rešitev naloge bodo zanimive le točke, ki imajo za koordinate nenegativna cela števila. Kitajci so, enako kot Grki in Indijci, že znali reševati t. i. diofantske enačbe. Najprej je treba v celih številih rešiti diofantsko enacbo ■ 7x + 4y = D(7,4), kjer D(7,4) = 1 pomeni najvecji skupni delitelj števil 7 in 4. Zelo lahko je uganiti eno od celih rešitev, recimo x0 = -1 in y0 = 2. Indijski matematik Brahma-gupta je v sedmem stoletju pokazal, da so vse ostale celoštevilske rešitve enacbe 7x + 4y = 1 oblike ■ x = x0 + 4k = 4k - 1 , y = y0 - 7k = 2 - 7k . Poskušajte opaziti idejo, da sta rešitvi nastavljeni tako, da se dodana 4k in 7k odštejeta. Iskani rešitvi originalne enacbe 7x + 4y = 100 pa sta 100 krat vecji: ■ x = 100x0 + 4k = 4k - 100 , y = 100y0 - 7k = 200 - 7k . Da bosta rešitvi smiselni, mora seveda veljati x > 0 in y > 0. To pomeni, da mora biti ■ 25 < k < 28. Za smiselne k dobimo kar štiri ustrezne rešitve: k x y z 25 0 25 75 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84 Prva rešitev odpade, ce vemo, da smo kupili vsaj enega petelina. Naloge Če nam je uspelo z nalogami navdušiti katerega od bralcev, se lahko loti še naslednjih kitajskih nalog. 1. Hitri tekac pretece 100 korakov v enakem casu kot pocasni 60 korakov. Hitri tekac da pocasne-mu 100 korakov prednosti, nato starta tudi on. Čez koliko korakov bo ujel pocasnega? 2. Kubicni kun žada tehta sedem liangov, kubicni kun peska pa šest liangov. V kocki s stranico tri kune je mešanica žada in peska, ki tehta 11 jinov. Kolikšni sta teži žada in peska v kocki? (1 jin=16 liangov) 3. Okroglo mesto z neznanim premerom ima na vsaki od strani neba vrata. Oseba A starta pri zahodnih vratih in naredi 480 pujev proti jugu. Oseba B pa starta pri vzhodnih vratih. Ko naredi 16 pu-jev proti vzhodu, zagleda osebo A. Poišci premer mesta. 4. Če neznano število kroglic postavimo v sedem enako dolgih vrst, nam ostane ena; ce jih postavimo v osem vrst, ostaneta dve; ce jih postavimo v devet vrst, ostaneta tri. Koliko je vseh kroglic? 5. V isto kletko damo fazane in zajce. Naštejemo 35 glav in 94 nog. Koliko fazanov in koliko zajcev je v kletki? _ XXX Križne vsote -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. 7 6 10 14 10 3 4 6 XXX PoCasna celična konvekcija 2. del Razlaga pojavov v posodici s tekočim milom Jože Rakovec -> V prejšnji številki Preseka smo pokazali nekaj slik pojava, ko se v dveh milih, ki sta v začetku eno pod drugim, začnejo počasi pojavljati dokaj nenavadni prsti belega mila navzgor skozi prozorno milo. Da osvežimo spomin, prikažimo še eno sliko tudi v tem drugem delu prispevka o počasni celični konvekčiji. Konvekcija zaradi različnih gostot Prvi je o urejenih oblikah v tekočini s konvekcijo poročal E. H. Weber (1855), ki je opazil celice spuščanja v mešanici alkohola in vode. Trideset let kasneje je James Thomson (1882) opazoval mozaime strukture v topli milnici v cebru na dvorišcu neke gostilne. Zares se je pojava lotil Henri Bénard,1 ki je 1900 in 1901 o tem objavil vec clankov in po katerem se imenujejo tudi »Bénardove celice«. Vidimo jih lahko v ponvi, v kateri segrejemo tanko plast olja. V sredini teh celic se olje dviga, na njihovih robovih pa se olje za izravnavo spušca. Za Bénardom se je pojava lotil lord Rayleigh (1916), ki je doloal kriterij za to, kdaj se konvekcija sproži. Ker jo pospešuje razlika med vzgonom in težo (cemur se vcasih rece tudi »cisti vzgon«), zavira pa trenje, nastopata oba ta vzroka v njegovem kriteriju za proženje konvekcije. V našem primeru se stebri belega mila pocasi, v nekako dveh dneh, dvignejo skoraj do vrha tekoane, kar pomeni, da je vzgon zelo majhen - da se gostota dvigajocega se mila le zelo malo razlikuje od gostote mila, ki se spušca. Merjenje zelo majhnih razlik gostot pa utegne biti z obicajnimi tehtnicami zelo težko. Nam je obe gostoti uspelo izmeriti s pi-knometrom.2 Piknometer je steklena bucka s stož-castim steklenim zamaškom s podaljškom s prevr- SLIKA1. Prsti belega mila navzgor skozi prozorno milo 1Pri Bénardu je iz konvekcije v Parizu leta 1939 doktoriral tudi Dušan Avsec (za podrobnosti glej COBISS). 2Zahvaljujem se prof. Igorju Poberaju, ki je v kemijskem laboratoriju FMF izmeril obe gostoti. Pri tem je bilo treba pocakati dovolj dolgo (pri prvem merjenju dan ali dva, pri drugem še vec dni), da so iz obeh mil izšli vsi mehurcki zraka, ki so nastali v milih ob natakanju v piknometer (primerjaj sliko 6 v prvem delu tega prispevka v prejšnjem Preseku). tano kapilaro (slika 2). V piknometer nalijemo te-koCino skoraj do vrha in potisnemo v vrat zamašek. Del tekoCine se dvigne skozi zamašek in skozi kapilaro. Tisto, ki izteCe na vrhu kapilare, obrišemo s krpo. Tako imamo pri vsakem natakanju v piknome-tru toCno enak volumen tekoCine. Uporabili smo piknometer za 25 ml tekoCine, torej za okrog 25 g mila. Po skrbni pripravi obeh vzorcev se je pri prvem tehtanju pokazalo, da je gostota belega mila veCja.3 To pa je zelo Cudno - saj se vendar beli deli dvigajo, prozorni pa tonejo in na konCu se na dnu posode nabere prozorno milo. Torej mora biti vseeno prozorno milo nekoliko gostejše! Ali je kje ostal ujet kak mehurCek zraka? Meritve smo ponovili in Cakali še dlje za morebitno izloCanje me-hurCkov zraka. Poskrbeli smo tudi za kolikor le mo-goCe enake temperaturne razmere pri obeh tehtanjih. Pri drugem tehtanju je bil rezultat za belo in za prozorno milo skoraj enak - povpreCje gostote za belo milo je 1,03563 g/ml, gostote prozornega mila pa - 1,02771 g/ml. Zakaj se dviga belo milo, ki je gostejše? Če je res belo milo gostejše in se zaCne dvigati, prozorno pa spušCati, se je moralo nekaj dogoditi z obema gostotama potem, ko sta bili obe mili že nekaj Casa (pol dneva ali en dan) v posodiCi za milo. Da torej belo milo postane redkejše, prozorno milo pa postane gostejše - kaj bi to lahko bilo? V jezerih je velikokrat topla samo vrhnja plast vode in Ce plavamo, hitro zaCutimo, da je spodaj voda hladnejša. Toplejša voda je na vrhu, ker je njena gostota zaradi temperaturne razteznosti manjša. Pri slani vodi pa na gostoto vpliva tudi primes soli. Zato velikokrat sladka voda (npr. po padavinah) plava na slani, pa Ceprav je morda tudi hladnejša. Pojav »prstov slane vode«, ki je v naravi menda najizrazitejši v Karibskem morju (glej http://en. wi ki pedi a .org/wi ki /Sal t_fi ngeri ng), pa je dru-gaCen. Gre za toplo slano in za hladno sladko vodo. Čuden je ta pojav zato, ker je na vrhu topla slana voda, pod njo pa hladna sladka voda. Topla slana 3PovpreCne vrednosti: masa piknometra 24,4258 g, masa pi-knometra, napolnjenega s prozornim milom 50,8004 g, napolnjenega z belim milom pa 51,0072 g. Volumen piknometra je 25,667 ml. 1 f £ << SLIKA 2. Piknometer voda se v obliki »prstov« spušCa navzdol skozi mrzlo sladko vodo. Da je slana voda gostejša od sladke vode, pri tem pojavu prevlada nad razlikami zaradi temperature. S tem pa nenavadnosti še ni koneC. Ker je izguba toplote z difuzijo hitrejša od difuzije soli v okoliCo, se slana voda hitro hladi, postaja vse gostejša in se še naprej spušCa. Sladka voda, ki je bila v zaCetku hladna, pa dobiva toploto od slane, zato se greje in temperaturno razteza - pri tem pa dobiva le malo soli (kar bi ji poveCevalo gostoto) in SLIKA 3. Spuščajoči se »prsti« slane vode. http://www.ualberta.ca/ ~bsuther/eif1/teaching/sa1tfingers/image2.jpg. Avtor poskusa s slanimi prsti je Paul F. Choboter, sept. 98, slika pa je povzeta s strani prof. Brucea R. Sutherlanda z Univerze v Alberti. zato postaja vse redkejša. Ta »Cudni« pojav je 1960 razložil prof. Melvin Stern s Floridske državne univerze (1960). Glavni vzrok za ta nenavadni pojav je, da je izguba toplote hitrejša od izgube soli: koeficient molekularne temperaturne difuzivnosti v vodi je 1,5 X 10-7 m2/s, za sol v vodi pa (pri obiCajni slanost morske vode) za dva velikostna reda manjši: 1,3 X 10-9 m2/s (Stern, 1960). Pojav je dokaj hiter: prvi »prsti« se lahko pojavijo že po nekaj deset sekundah ali v kaki minuti ali dveh (odvisno od razlik temperatur in slanosti). Kako se naredi ta poskus v laboratoriju, si lahko ogledamo npr. na http:// www.ualberta.ca/~bsuther/ei fl/teachi ng/sal tfingers/image2.jpg, odliCen je tudi filmCek BBC na http://www.bbc.co.uk/nature/1583 5017. V našem primeru sta temperaturi obeh mil izena-Ceni. Torej se morda gostoti spreminjata drugaCe - npr. tako, da iz enega mila gostejša snov difun-dira v drugo milo in neka redkejša snov iz drugega mila v prvo.4 Naredili so preCej poskusov te vrste, med drugim tudi s sladko in slano vodo (glej npr. v Yoshida in Nagasmima, 2003). Molska masa soli 4Prof. Alojz Kodre me je še pred tehtanjem obeh mil opozoril na možnost, da so razlike v gostotah obeh mil poslediCa osmoze in difuzije različnih sestavin v milih. NaCl je 58 g/mol, sladkorja (saharoze) C12H22O11 pa je skoraj šestkrat veCja: 342,30 g/mol. Difuzivnost majhnih ionov Na+ in Cl- v vodi je okrog 30-krat veCja od difuzivnosti velikih molekul sladkorja v vodi (odvisno od konCentraCij in od temperature). Se pa pojavi še osmoza: voda difundira tja, kjer je konCentraCija topljenCa veCja. Zato so tudi pri plasteh slane in sladke vode opazili »prste«: »vlogo temperature« po Sternovi razlagi tu opravlja konCentraCija soli, »vlogo soli« pa konCentraCija sladkorja (glej npr. Sorkin in sod., 2002). Nekaj podobnega se morda dogaja tudi v našem primeru, ko se gostota sprva težjega belega mila zmanjšuje in se zato zaCne dvigati, gostota lažjega prozornega mila pa povečuje in zato to zaCne toniti proti dnu. SpeCifikaCiji obeh mil na vreCkah sta siCer brez podrobnih navedb deležev posameznih sestavin, toda obe mili imata veCino sestavin enakih. Že te snovi ob razliCnih konCentraCijah lahko difundirajo iz enega mila v drugo. Prozorno milo pa vsebuje še tekoCi gliCerol za pospeševanje miljenja in natrijev laktat, ki kožo vlaži. Belo milo pa vsebuje nekatere druge tekoCe sestavine: npr. za dezinfekCijski uCi-nek mu je dodan tekoCi fenol-metanol.5 Molekule teh sestavin so razliCno velike, imajo razliCne mol-ske mase in njihove difuzivnosti v vodi so tudi nekoliko razliCne: za natrijev laktat, fenol in metanol6 okrog 1 X 10-9 m2/s (odvisno od konCentraCije, pa tudi temperature), za gliCerol pa lahko tudi do desetkrat manj7 (spet odvisno od konCentraCije in temperature). To bi lahko pomenilo, da nekatere snovi difundirajo hitreje, druge pa poCasneje. Seli se pa tudi voda - tja, kjer je topljenCev veC; temu reCemo osmoza. Na ta naCin bi se lahko gostoti poCasi toliko spreminjali, da bi sprva »težje« milo postalo »lažje« in se priCelo dvigati; sprva »lažje« pa gostejše in bi priCelo toniti proti dnu posode. 5S šibko vodikovo vezjo se v raztopini povežeta obe sestavini preko obeh OH - tistega iz metanola CH3OH in tistega na aromatskem fenolnem obroCu C6H5OH. 6http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/j p1107075, www.researchgate.net/...sodi um_lactate... /00b7d52a71fd5847a3000000, pdf/10.1021/j100270a039 http://pubs.acs.org/doi/ 7http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/je049917u 18 ra__ > s= .01 тз U1 га га PRESEK 42 (2014/2015) 4 15 -> 15 Ol "cz ro > .eE Kakšna je hitrost dviganja prstov belega mila skozi prozorno milo in kakšne so razlike gostot? Oceno za hitrost dviganja prstov dobimo kar iz casa trajanja pojava. Najprej kak dan traja, da difuzija povzroci spremembe gostote obeh mil. Potem se belo milo za h « 5 cm dvigne, prozorno pa spusti v nekako dveh dneh, kar je т « 2 x 105 s. Tako ocenimo velikosti obeh hitrosti kot v t« v I« v « h/т « 3 x 10-7 m/s - zelo, zelo pocasi. Hitrost pa bi lahko ocenili tudi iz ravnovesja sil. Privzamemo, da so pri zelo pocasnem in zato enakomernem gibanju vse sile uravnotežene. Teža »prsta« belega mila je mg, na enoto volumna torej pg. Za vzgon je že Arhimed ugotovil, da je enak teži oko-lišnje tekocine, ki jo iz volumna V izpodrine telo -»prst« belega mila. Torej je vzgon na enoto volumna, ki deluje na prst pokg. Trenje ob premikanju skozi tekocino je odvisno od tega, kako velike hitrostne razlike Д v na kako majhni razdalji l se pojavijo pri tem premikanju: to približno izrazimo kot A v /l. Pri tem bi bila l razdalja med sredino dvigajocega se belega prsta in območjem okolišnjega prozornega mila, v našem primeru okrog l « 1 cm, Av pa velikost razlike med hitrostima gor in dol; glej skico -slika 4. Trenje je seveda momejše v bolj viskoznih teko-cinah, zato v izrazu za silo trenja nastopa tudi viskoznost n tekocine in tako bi trenje na volumsko enoto približno izrazili kot nAv/l2. (Podrobna razlaga in opis trenja sta bolj zapletena in presegata nivo, ki je v navadi v Preseku.) Z miloma sem šel v Praktikum 1 na FMF in izmeril viskoznosti preko hitrosti vrtenja kovinskega valjastega obroca, potopljenega v mili ob razlicnih navorih na ta obroc. Za razlicna mila in za razlicne navore sem sicer dobil razlicne ocene za viskoznost, povprecna viskoznost pa je približno n « 1,5 kg/ms = 1,5 Pa-s. Za primerjavo: viskoznost vode je okrog 0,001 kg/ms, motornih olj od 0,05 do 0,75 kg/ms, repicnega jedilnega olja okrog 0,16 kg/ms, medu pa okrog 2 kg/ms. Če so sile na volumsko enoto: vzgona pokg, teže p g in in trenja nAv/l2 izenacene, velja: ■ Pokg = p g + nAv/l2 Enacbo delimo z p in potem na levi strani enacbe dobimo razmerje gostot, na desni pa nastopa viskoznost deljena z gostoto (v našem primeru n/p « SLIKA4. Pri dviganju belega belega mila in kompenzacijskem spuščanju okolišnjega prozornega mila se pojavi striženje hitrosti Av na karakteristični razdalji l. 0,0015 m2 s-1): - g = g + nAv/l2 pp Odtod ocenimo A v : ( pok A l2 Ap l2 . Av = ^ - 1 g— = g — . V p ) n/p p n/p Ker pa sta gostoti mil ravno »obrnjeni« - belo milo, ki se sicer dviga, se je namrec pri tehtanjih izkazalo za gostejše - seveda ne bi bilo prav, da bi v enacbo vstavili s piknometrom izmerjeni gostoti. Zato lahko vprašanje obrnemo: ce smo iz trajanja pojava dveh do treh dni približno ocenili cas т « 2 x 105 sekund in s tem hitrost dviganja v = h/т « 3 x 10-7 m/s - ali lahko ocenimo kolikšna je razlika gostot, ki se pojavi potem, ko difuzija že prenese ene in druge snovi iz enega mila v drugo? Enacbo »obrnemo«: Др Avri/p p gl2 Izracun (ob upoštevanju Дv « 2v) da rezultat Др/p « 9 x 10-7. Tako majhne razlike gostot pa s piknometrom ne bi mogli izmeriti! Naj cisto na koncu povemo še to, da so podrobni matematicno-fizikalni opisi takih in podobnih pojavov precej zapleteni in mocno presegajo nivo, ki je obicajen za Presek. Kogar pa bi to vseeno zanimalo, naj si ogleda npr. objave Boronske, Pringla ali Sor-kina z njihovimi sodelavci (navedene so med viri). Literatura [1] H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Revue Générale des Sciences 11, 1261-1271, 1309-1328, 1900. [2] H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Méthodes optiques d'observation et d'enregistrement, J. Phys. Theor. Appl. 10 254-266, 1901. Dostopno na http://hal. archives-ouvertes.fr/docs/00/24/05/02/ PDF/aj p-j phystap_1901_10_254_0.pdf. [3] M. K. Boronska, Motifs tridimensionnels dans la convection de Rayleigh-Bénard cylindrique, Doctorat, Mécanique des fluides, Universite Paris 7 - Denis Diderot UFR de physique, 2005. Dostopno na http://tel.archives-ouvertes. fr/docs/00/33/78/40/PDF/thesis.pdf. [4] K. Boronska in L. S. Tuckerman, Extreme multiplicity in cylindrical Rayleigh-Bénard convection: I. Time-dependence and oscillation, Phys. Rev. E, 81 DOI: 10.1103/PhysRevE.81.036320, 2010. Dostopno na http://arxiv.org/pdf/ 0908.4343.pdf. [5] C. C. T. Pringle, Y. Duguet in R. R. Ker-swell, Highly symmetric travelling waves in pipe flow, Phil. Trans. R. Soc. A. 367 457-472, doi:10.1098/rsta.2008.0236, 2009. Dostopno na http://rsta.royal soci etypublishing. org/content/367/1888.toc. [6] Lord Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, Phil. Mag., Ser. 6, 32 529-546, 1916. Dostopno na http://gi bbs.if.usp.br/~marchett/ flui dos/convection_raylei gh-1916.pdf. [7] A. Sorkin, V. Sorkin in I. Leizerson, Salt fingers in double-diffusive systems, Physica A, 303 13-26, 2002. Dostopno na http://phycomp. techni on.ac.il/~phsorki n/science.pdf. [8] M. E. Stern, The »salt-fountain« and thermohaline convection, Tellus, 12 172-175, 1960. Dostopno na http://onlinelibrary. wiley.com/doi/10.1111/j.2153-3490. 1960.tb01295.x/pdf. [9] J. Thompson, On a changing tesselated structure in certin fluids, Proc. Glasg. Phil. Soc. 13 464-468, 1882. Dostopno nahttp: //www.tandfonli ne.com/doi/abs/10.1080/ 1478644160863 5602#.VAb5HmNadDQ. [10] E. H. Weber, Mikroskopische Beobachtungen sehr gesetzmäßiger Bewegungen, welche die Bildung von Niederschlägen harziger Körper aus Weingeist begleiten Ann. Phys. (Po-ggendorf) 94 447-459, 1855. Dostopno na http://onli nelibrary.wiley.com/doi/10. 1002/andp.18551700310/abstract. [11] J. Yoshida in H. Nagashima, Numerical experiments on salt-finger convection, Progress in oceanography, 56 435-459, 2003. Dostopno na http://www.phys.ocean. dal.ca/programs/doubdiff/final_pdfs/ salt-finger_numerical .pdf. Drugi uporabljeni internetni viri so navedeni med tekstom - vsi ogledi med 30. avgustom in 3. septembrom 2014. _XXX www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si Delni Sončev mrk -20. marec 2015 Ф Ф Andrej Guštin -> 20. marCa bo SonCev mrk, ki bo v naših krajih viden kot delni. Kot popolni bo viden v ozkem pasu, ki bo tekel Cez severni Atlantik, zaCenši vzhodno od kanadske obale, med Islandijo in Škotsko, Cez Ferske otoke in Svalbard ter se konCal na severnem polu. Kdor bi si želel ogledati popolno fazo tega SonCe-vega mrka, bo moral odpotovati na Ferske otoke ali na otok Svalbard. V Sloveniji bomo deležni le skromnejšega doživetja, saj delni SonCev mrk ni tako dra-matiCen nebesni pojav kakor popolni. Kljub temu pa si mrk velja ogledati, narediti kako zanimivo fotografijo ali izpeljati astronomsko delavniCo v šoli. V Ljubljani se bo mrk zaCel ob 9. uri 31 minut in 30 sekund. Takrat se bo Lunina ploskviCa prviC navidezno dotaknila SonCeve ploskviCe. Nato bo Luna zakrivala vse veCji del SonCa. Sredina mrka bo ob 10. uri 40 minut in 10 sekund. Takrat bo Luna zakrila 67,7 odstotka premera ploskviCe SonCa oziroma 60 odstotkov njene površine. Mrk se bo konCal ob 11. uri in 52 minut. Podatki veljajo za Ljubljano, za druge kraje po Sloveniji pa se ti Casi le malo razlikujejo. Tako se v Brdih mrk zaCne poldrugo minuto prej, približno za toliko pa tudi sredina in koneC mrka, v Murski Soboti pa so vsi Casi zakasnjeni za približno tri minute glede na podatke za Ljubljano. Opazovanje in fotografiranje SonCevega mrka in SonCa nasploh zahteva nekaj znanja in primerne opreme, saj je naša zvezda zelo svetlo nebesno telo. MoCna svetloba lahko trajno poškoduje oCi. Verjetno ste se že kdaj igrali z leCo in ob jasnem dnevu z njo zbirali SonCeve žarke ter zažigali papir. Kar pomislite, kaj bi se zgodilo, Ce bi na mesto papirja postavili oko. Tudi v oCesu se nahaja majhna leCa, ki zbira SLIKA 1. Ob delnem Sončevem mrku Luna ne zakrije vse ploskvice Sonca. Foto: Greg Hewgill/Wiki Commons svetlobo. Če z nezašCitenim oCesom pogledamo naravnost v SonCe, oCesna leCa usmeri žarke na mrežniCo in jo zažge oziroma, bolje reCeno, skuha. S prostim oCesom lahko torej SonCe opazujemo le zjutraj in zveCer, ko je zelo nizko nad obzorjem, ali pa skozi meglo in oblake. Toda obiliCa SonCeve svetlobe ni edina nevarnost za oCi, nevarni sta tudi ul-travijoliCna in infrardeCa svetloba, ki ju moramo med opazovanjem zaustaviti, preden prideta v oko. Še bolj nevaren je pogled v SonCe skozi daljnogled, ki ni opremljen s posebnimi filtri. Daljnogled namreC zbere in pošlje v oko veliko veC svetlobe kot pri opazovanju SonCa brez daljnogleda. Če hoCemo varno opazovati našo zvezdo, potem moramo naše oCi za-šCititi s filtri, ki primerno oslabijo SonCevo svetlobo ter zadržijo ultravijoliCno in infrardeCo svetlobo. Pri tem moramo upoštevati tudi nekaj osnovnih pravil in nasvetov za opazovanje. Opazovanje Sonca s prostim očesom Za varno opazovanje Sonca s prostim ocesom lahko uporabimo le nepoškodovano varilsko steklo z »op-ticno gostoto« 12 ali vec oziroma posebno folijo mylar. Varilsko steklo oziroma folijo Mylar prislonimo k ocesu in šele nato pogledamo v Sonce. Varilsko steklo lahko kupimo v vsaki bolje založeni tehnimi trgovini in ni drago. Paziti moramo le, da kupimo dovolj temno steklo z veliko »opticno gostoto«. Vsako varilsko steklo je oznaceno s standardno oznako za gostoto, ki mora biti za opazovanje Sonca 12 ali vec. Posebna ocala s folijo mylar za opazovanje Sonca in tudi vecje pole te folije pa lahko dobite pri prodajalcih astronomske opreme. Pri opazovanju Sonca ne smemo uporabljati doma narejenih filtrov. Steklena plošdca, ki jo pocrnimo s sajami nad goreco sveco, je povsem neprimerna zašcita za oci. Soncevo svetlobo sicer lahko dovolj oslabi, na zaustavi pa zelo nevarnih ultravijolicnih in infrardecih žarkov. Zato nikar ne poskušajte sami izdelovati filtrov za Sonce! Opazovaje Sonca z daljnogledom Pri opazovanju Sonca z daljnogledom imamo na izbiro dve metodi: neposredno opazovanje, pri katerem pred objektiv pritrdimo poseben steklen filter za Sonce oziroma filter iz folije mylar, ter opazovanje projekcije Sonca na bel zaslon. Pri neposrednem opazovanju moramo poskrbeti, da je filter pred objektivom nepoškodovan in trdno pritrjen, sicer se lahko premakne ali poci in oci so hipno izpostavljene premocni svetlobi. Projekcija je najenostavnejši in najzanesljivejši nadn varnega opazovanja Sonca, ki je zelo primeren tudi za skupinska opazovanja, saj ne potrebujemo filtrov za Sonce. Za ta nadn za-došca le stojalo za daljnogled oziroma teleskop in bel zaslon. Daljnogled brez filtrov usmerimo proti Soncu. Pri tem ne gledamo skozi daljnogled, tem-vec opazujemo njegovo senco. Ko je senca daljnogleda najmanjša, njegova cev gleda naravnost proti Soncu. Nato za okularjem namestimo bel zaslon, na katerem lahko varno opazujemo ploskvico Sonca. Pazimo le, da ne bi kdo pomotoma želel pogledati skozi opticno cev teleskopa. Nekateri proizvajalci manjših teleskopov med dodatke uvršcajo tudi po- sebne filtre, ki jih navijemo na okularje. Ker se tak filter nahaja v bližini gorišca teleskopa, se momo segreva. Pregreti filtri pa radi podjo, kar je za opa-zovalceve od hudo nevarno, zato se takemu nadnu opazovanja raje izognimo. Za vsa skupinska opazovanja Sonca in tudi delnega Soncevega mrka s teleskopom velja, da mora ob njem vedno stati mentor oziroma izkušeni opazovalec, ki lahko prepreci nesreco z napacno uporabo teleskopa. Fotografiranje delnega Sončevega mrka Delni Soncevi mrki sicer niso tako atraktivni kot popolni mrki, pri katerih ob popolni fazi postaneta vidni zunanji plasti Sonceve atmosfere kromosfera in korona, vidni pa so še številni drugi optimi pojavi. Kljub temu pa je lahko tudi delni Soncev mrk fo-togenicen, še posebej, ce poišcemo kako atraktivno kompozicijo. Tudi pri fotografiranju mrka potrebujemo filter, ki primerno zmanjša kolidno svetlobe pred vstopom v fotoaparat. V ta namen lahko uporabimo folijo mylar, ki jo pritrdimo pred objektiv fotoaparata, z malo spretnosti pa lahko kot filter uporabimo tudi varilsko steklo. Zavedati pa se moramo, da je pri panoramski fotografiji pokrajina mocno po-dosvetljena, ce je Sonce pravilno osvetljeno. Pred mrkom lahko izkušnje z uporabo filtrov in iskanjem zanimivih motivov nabiramo s fotografiranjem neza-kritega Sonca. Zdi se, da so Soncevi mrki zelo redek nebesni pojav. Astronomi pa so izrarnnali, da je bilo oziroma bo med leti 1207 pr. n. št. in letom 2161 8000 Soncevih mrkov. V povprecju torej 238 mrkov na stoletje. Od tega je kar 28 odstotkov popolnih Soncevih mrkov oziroma 66 v vsakem stoletju. Verjetnost za popolni mrk je torej vecja, kot bi si na prvi pogled mislili. Res pa je, da so popolni Soncevi mrki v istem kraju v povprecju vidni le vsakih 450 let! V Sloveniji je bil zadnji tak mrk viden leta 1999, naslednji pa bo leta 2081. SLIKA 2. Potek popolnega mrka (modra krivulja), ki bo 20. marca letos. Zelene Crte oznaCujejo sredino mrka za razliCna obmoCja, modre pa odstotek zakritosti premera SonCeve ploskvice. Časi so v univerzalnem Casu, ki mu moramo po srednjeevropskem Casu prišteti eno uro. IlustraCija: F. Espenak, NASA _ XXX Opozorilo ■ V Sonce nikoli ne gledamo brez posebnih filtrov! ■ V Sonce nikoli ne pogledamo skozi daljnogled! ■ Otroci morajo Sonce oziroma Soncev mrk opazovati skupaj s starši, mentorji ali izkušenimi astronomi! ■ Opazovanje Sonca z daljnogledi naj bo vedno ob prisotnosti izkušenih mentorjev oziroma astronomov! Križne vsote Rešitev s strani 9 7 6 10 6 4 14 10 1 2 7 3 4 3 1 6 4 2 XXX Algoritem za reševanje Rubikove kocke vU Ф vU Natalija Špur -> Poznate Rubikovo kocko? Ali jo znate rešiti? Ce ne, potem je ta clanek ravno za vas! Vse, kar potrebujete, je Rubikova kocka ter volja za reševanje. Rubikova kocka je trodimenzionalna sestavljanka, ki jo je leta 1974 izumil Erno Rubik. Poznamo razlicne dimenzije kock, kot so 2 x 2 x 2, 3 x 3 x 3,4 x 4 x 4. SLIKA 1. Kocka dimenzije 2 x 2 x 2 Cilj reševanja je sestaviti enobarvne ploskve. Kocka je zasnovana tako, da posamezne plasti lahko zavrtimo v razlicne smeri. V tem clanku je predstavljena Fridrichina metoda, s katero rešimo kocko dimenzije 3 x 3 x 3. Kocka dimenzije 3 x 3 x 3 je sestavljena iz 26-ih manjših kockic. Razlocimo tri vrste kockic: ■ Sredinska kockica ali center je kockica na sredini vsake plasti, ki se ne premika. Iz nje lahko razberemo barvo celotne ploskve. Kocka dimenzije 3x3x3 ima šest sredinskih kockic. SLIKA 2. Kocka dimenzije 3 x 3 x 3 SLIKA 3. Kocka dimenzije 4 x 4 x 4 Kotna kockica ali kot je kockica na sticišcu treh plasti in ima tri barve. Kocka dimenzije 3 x 3 x 3 ima osem kotnih kockic. Robna kockica ali rob je kockica na sticišcu dveh plasti in ima dve barvi. Kocka dimenzije 3 x 3 x 3 ima 12 robnih kockic. SLIKA4. Sredinske kockice SLIKA 5. Kotne kockice SLIKA 6. Robne kockice Vsaka izmed šestih ploskev je obarvana z eno od barv: oranžno, modro, belo, zeleno, rdečo ali rumeno. Barva ploskve je določena s sredinsko koč-kičo. Ploskev je sestavljena iz devetih ploskev koč-kič. Razločimo spodnjo, zgornjo, prednjo, zadnjo, levo in desno ploskev. SLIKA7. Ploskve Plast je tretjina kočke, ki je sestavljena iz devetih kočkič (razen srednje plasti, ki jo sestavlja osem kočkič). Kočka dimenzije 3 x 3 x 3 ima tri plasti. SLIKA 8. Ploskev Fridrichina metoda Fridričhina metoda je najbolj znana metoda reševanje Rubikove kočke. Ime je dobila po Jessici Fridrich, ki je profesoriča na Univerzi Binghamton. S hitrostnim reševanjem Rubikove kočke se je začela ukvarjati leta 1981 [3]. Postopek reševanja je razdeljen v več delov, ki se morajo izvesti v pravilnem zaporedju. SLIKA 9. Plast Lgor: levo plast obrnemo gor za 90° Ldoli levo plast obrnemo dol za 90° (en obrat). (en obrat). Ddesno: spodnj o plast obrnemo v smeri urinega ka- desno: zalča za 90° (en obrat). Dlevo: spodnj o plast obrnemo v levo za 90 obrat). Udesno: zgornjo plast obrnemo v smeri urinega ka-zalča za 90° (en obrat). U levo SLIKA 10. Orientirana kockica Uporabljali bomo naslednje ukaze: ■ Fdesno: prednjo plast obrnemo v smeri urinega ka-zalča za 90° (en obrat). ■ Flevo: prednjo plast obrnemo v nasprotni smeri urinega kazalča za 90° (en obrat). Rgor: desno plast obrnemo gor za 90° (en obrat). ■ Rdo^ desno plast obrnemo dol za 90° (en obrat). U desno (en desno Rgor zgornjo plast obrnemo v nasprotni smeri D levo urinega kazalča za 90° (en obrat). Pravilno orientirana kockica pomeni, da se barva posamezne ploskve kotne kočkiče ujema s čentri sti-kajočih se plasti (slika 10). Pravilno poravnana kotna kockica vsebuje barve stikajočih se plasti, ni pa nujno, da je pravilno orientirana (slika 12). Nerešena kockica pomeni, da kočkiča ni pravilno poravnana ali orientirana. Fridričhina metoda je sestavljena iz sledečih korakov: ■ križ (čross), ■ prvi dve plasti (First two Layers: F2L), ■ orientacija zadnje plasti (Orientation of Last Layer: OLL), ■ permutacija zadnje plasti (Permutation of the Last Layer: PLL). Vsi koraki metode bodo predstavljeni bolj podrobno. SLIKA11. Ukazi Križ Cilj : pravilno poravnane in orientirane robne kočkiče v zgornji plasti (v našem primeru bele barve - slika 13). 1. Ponavljaj, dokler robne kočkiče zgornje plasti niso pravilno poravnane in orientirane. 1.1. Postavitev kočke: ploskev, na kateri želiš narediti križ, naj bo zgoraj. 1.2. Poišči nerešeno zgornjo robno kočkičo prednje plasti in obrni kočko, da bo izbrana kočkiča na prednji plasti. L PRESEK 42 (2014/2015) 4 25 SLIKA 12. Poravnana kockica SLIKA 13. Križ SLIKA 15. Premik robne kockice SLIKA 16. Nepravilno orientirana robna kockica 1.3. Premakni pravilno poravnano ali orientirano robno kockico (takšne barve, kot je center prednje in zgornje ploskve - slika 14), da bo v spodnji plasti pod centrom prednje plasti (slika 15). 1.4. 2 X Flevo. 1.5. Ce robna kockica ni pravilno orientirana (slika 16). Flevo ydesno ^gor ylevo SLIKA 14. Iskana robna Prvi dve plasti Ta korak bo razdeljen na podkoraka Reši kote prve plasti in Reši srednjo plast. Reši kote prve plasti Cilj. pravilno orientirane kockice v zgornji plasti (slika 17). kockica SLIKA 17. Rešena prva plast 1. Ponavljaj, dokler kotne kockice zgornje plasti niso pravilno orientirane. 1.1. Postavitev kocke: rešene robne kockice (križ) naj bodo na zgornji ploskvi. 1.2. Če obstaja nerešena kotna kockica barve zgornje ploskve v spodnji plasti (slika 18), zavrti spodnjo plast (Dlevo ali Ddesno), da bo izbrana kockica poravnana v spodnji plasti. 1.2.1. Če ima pravilno poravnana kotna kockica na spodnji ploskvi barvo centra zgornje ploskve: Rdol 2 X Dlevo Rgor Dlevo r dol Dlesno , Rgor. 1.2.2. Ce ima pravilno poravnana kotna kockica na desni ploskvi barvo centra zgornje ploskve: Rdol, Ddesno, Rgor 1.2.3. Ce ima pravilno poravnana kotna kockica na prednji ploskvi barvo centra zgornje ploskve: Ddesno Rdol Dlevo Rgor 1.3. Ce v spodnji plasti ni vec nerešenih kockic, zgornja plast pa še ni rešena, poišci v zgornji plasti napacno orientirano kotno kockico, obrni kocko, da je v desnem sprednjem kotu in jo prestavi v spodnjo plast: Rdol Ddesno Rgor Dlevo Reši srednjo plast Cilj: pravilno orientirane in poravnane kockice v srednji plasti (slika 19). 1. Obrni kocko, da je trenutna zgornja plast sedaj spodnja plast. 2. Ponavljaj, dokler v zgornji plasti niso robne kockice pravilno poravnane in orientirane 2.1. Poišci robno kockico zgornje plasti, ki na nobeni ploskvi ne vsebuje barve centra. 2.2. Ce ni takšne kockice (slika 20): SLIKA 18. Spodnja kotna kockica SLIKA 19. Rešeni spodnji dve plasti SLIKA 20. Robne kockice z barvo centra SLIKA 21. Rezultat po izvedbi koraka 2.4. SLIKA 22. Poravnava zgornje plasti rac unalni stvo 2.2.1. Izvedi korake tocke 2.4. (slika 21) ali 2.5., da spraviš desno ali levo robno kockico prednje plasti v zgornjo plast. 2.2.2. Poravnaj zgornjo plast, da se bo robna kockica ujemala s centrom ene izmed ploskev (slika 22). 2.3. Obrni spodnji dve plasti, da se bo prednja ploskev robne kockice ujemala s centrom prednje ploskve (slika 23). 2.4. Ce se zgornja ploskev robne kockice ujema s centrom desne ploskve: ydesno Rgor ylevo Rdol ylevo Flevo ydesno Fresno (dobimo situacijo prikazano na sliki 24). 2.5. Če se zgornja ploskev robne kockice ujema s centrom leve ploskve (slika 23): ylevo Lgor ydesno l"o1 ydesno Fdesno ylevo F^vo Orientacija in permutacija zadnje plasti Cilj: pravilno orientirane in poravnane kockice v zgornji plasti (slika 25). 1. Če imaš na zgornji ploskvi že križ , pojdi na korak 3. 2. Ponavljaj, dokler nimaš na zgornji ploskvi križa. 2.1. Obrni kocko tako , da bo zgornja plast v enem izmed prikazanih položajev na spodnjih slikah. S pušcicami zgoraj je nakazan prehod med koraki , ki ga izvedemo s ponovitvami algoritma 2.2 (slika 26): Fdesno, Rgor, ydesno, Rdol, ylevo, levo 3. Ponavljaj, dokler niso robne kockice zgornje plasti pravilno poravnane in orientirane: SLIKA 25. Rešena Rubikova kocka 3.1. Če imaš en križ na eni izmed ploskev (križ na zgornji ploskvi ne šteje!) obrni kocko, da bo križ na sprednji ploskvi. 3.2. Poravnaj zgornjo plast tako, da dobiš dva križa na dveh ploskvah. 3.3. Če sta križa na sosednjih ploskvah: obrni kocko, da imaš na desni in zadnji ploskvi križ. 3.4. Če sta križa na nasprotnih ploskvah: obrni kocko, da bo križ na prednji in zadnji ploskvi. 3.5. Izvedi: Rgor ydesno Rdol ydesno Rgor 2 X ydesno Rdol ydesno 4. Če v zgornji plasti nimaš nic pravilno poravnanih kotnih kockic: 4.1. Ponavljaj, dokler nimaš vsaj ene pravilno poravnane kotne kockice: y desno , Rgor, ylevo, Lgor, у desno dol levo dol Ruol ylevo L" 5. Obrni kocko tako, da bo pravilno poravnana kotna kockica v desnem zgornjem kotu. > > > SLIKA 26. Prehod med koraki po izvedbi koraka 2.2. 6. Ponavljaj, dokler niso vse kotne kockice pravilno poravnane: ydesno Rgor ylevo ^§or ydesno Rdol ylevo L^ol 7. Ponavljaj, dokler se vse kotne kockice ne ujemajo z barvami sprednje in zgornje ploskve. 7.1. Obrni zgornjo plast, da bo nerešena kotna kockica v desnem zgornjem kotu. 7.2. Ponavljaj, dokler se barve kotne kockice ne ujemajo s sprednjo in zgornjo ploskvijo: Rdol Ddesno Rgor Dlevo 8. Poravnaj plasti kocke, da se bodo ujemale s ploskvami kocke. Zaključek Uspelo? Če ne, nic zato. Poskusi znova. Če ti je uspelo, odlicno! Pridno vadi, da ti bo reševanje šlo hitreje od rok. Še zanimivost: v Sloveniji imamo Ru-bik klub (RubiKS), za ljudi vseh starosti, ki se ukvarjajo z dejavnostjo, povezano z mehanskimi ugankami, med njimi tudi Rubikovo kocko [4]. V eni od prihodnjih številk bomo predstavili algoritem za reševanje Rubikovih kock 4 x 4 x 4. Literatura [1] How to Solve the Rubik's Cube! (Beginner Method) (citirano dne 23. 12. 2014, dostopno na https://www.youtube.com/watch?v= tYmtdFMIZwk). [2] S. Gerhold, Razvoj interaktivne Rubikove kocke, Ljubljana, 2014. [3] Jessica Fridrich (citirano dne 23. 12. 2014, dostopno na http://www.ws.binghamton.edu/ fridri ch/). [4] Rubiks (citirano dne 23. 12. 2014, dostopno na http ://www. rubik.si/kl ub/). [5] http ://commons.wi ki media.org/wi ki/ File:Rubi x_cube.j pg [6] http ://zavaboy.devi antart.com/art/ Ani mated-Blank-Rubi k-s-Cube-53031084 [7] http://www.wikihow.com/ Make-Awesome-Rubi k's-Cube-Patterns _XXX Križne vsote -i' Ф Ф Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. „ 5 2 14 2 14 8 7 XXX RAZVEDRILO Astronomska literatura Ob mednarodnem letu astronomije 2009 smo na enem mestu zbrali vse publikačije s področja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Govert Schilling in Lars Lindberg Christensen OCI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 x 24 čm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Dintinjana, Fabjan, Mikuž, Zwitter NAŠE NEBO 2015 Astronomske efemeride 84 strani format 16 x 23 čm mehka vezava 10,00 EUR Poleg omenjenih dveh ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http ://www.dmfa-zalozni stvo.si/ast ro/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. RESITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE p rese k 42/3 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz tretje številke 42. letnika Preseka je Konvekcija. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Marija Langus iz Tržiča, Urška Kendar Mavrar iz Grahovega ob Bači in Andreja Cvetko iz Ruš, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX Nevidna senca sU Ф sU Aleš Mohorič Na tokratni naravoslovni fotografiji je goreca vžigalica. Na sliki sta vidna vžigalica ter plamen, razdeljen na dva jezika. Vžigalico vidimo zato, ker je osvetljena, plamen pa bi videli tudi v temi. Preusmerimo pozornost na senco, ki jo vidimo na zaslonu, za vžigalico. Zaslon osvetljuje majhna lucka, ki je postavljeno desno, za hrbtom opazovalca. V senci jasno prepoznamo vžigalico. Njena senca je nekoliko zakrivljena, ker zaslon ni raven. Na zaslonu sence plamena ne opazimo. Zakaj? SenCa nastane, kadar med luCko in zaslonom stoji neprozorno telo. Telo ni prozorno, Ce odbija ali absorbira svetlobo. SenCo opazimo kot razlike v osvetljenosti zaslona, nastane pa na delih zaslona, ki jih ne dosežejo žarki iz luCke. Ti žarki na svoji poti dosežejo telo in se na njem odbijejo stran od zaslona. Oblika senCe ustreza obliki telesa. Rob senCe je oster, kadar je luCka majhna; zasenCeni del se jasno loCi od osvetljenega. Telo, ki ga osvetljuje veC luCk, ustvari na zaslonu veC senC na razliCnih mestih. SenCe se lahko tudi prekrivajo; tam je zaslon najtemnejši. Ce uporabimo luC, ki ima veliko, svetlo površino, prehod iz svetlega v temni del zaslona ni oster; v tem podroCju je polsenCa. Telo iz prozorne snovi, ki ima lomni kvoCient drugaCen od okoliCe, prepusti žarke, vendar jim lahko spremeni smer zaradi loma svetlobe. Telo tedaj deluje kot nekakšna leCa, svetlobo v nekaterih smereh zbira ali razprši, tako da je zaslon nekje svetlejši, drugje pa temnejši. Plamen vžigaliCe je za svetlobo skoraj prozoren. Z oCmi ga vidimo zato, ker svetloba izvira iz plamena, in ne zato, ker bi se od njega odbijala svetloba luCke. Ce bi senCo opazovali nekoliko drugaCe, bi vpliv plamena na svetlobo vendarle opazili. V pla- menu je zrak vroC in ima nekoliko drugaCen lomni kvoCient od hladnega zraka v okoliCi. Zato lahko na zaslonu opazimo migotiCe - rahle polsenCe. V plamenu so tudi vzbujene in ionizirane molekule. Zato lahko plamen vpliva na barvo prepušCene svetlobe. Kadar gorita, denimo, les ali vosek, so v plamenu tudi saje. Saje svetlobo absorbirajo in za plamenom nastane rahla senCa. SenCa goreCe vžigaliCe nas torej najprej preseneti, ker na njej ne opazimo plamena, z natanCnejšim premislekom pa lahko odkrijemo še druge zanimivosti. Poskusite sami postaviti luC in vžigaliCo tako, da boste v senCi opazili tudi plamen. _ XXX PRESEK 42 (2014/2015) 4 31 Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjiC podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphael Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu veCjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem pouCne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posreCenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odliCno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematiCna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroCite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naroCniki revije Presek, Clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroCilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. RAZVEDRILO Nagradna križanka RAZVEDRILO -> Crke iz oštevilcenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2015, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX