i
i
“1141-Vidav-Stevila” — 2010/7/14 — 14:41 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 4
Strani 226–231
Ivan Vidav:
ŠTEVILA, KI SO VSOTE DVEH KUBOV
Ključne besede: matematika, teorija števil, naravna števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1141-Vidav.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
· /"''/ 1'11'/ vo .n CI" ""
ŠTEVILA , KI SO VSOTE DVEH KUSOV
o slavnem indijskem matematiku 5rinivasi Ramanujanu (1887 - 1920) je šel
glas, da je vsako naravno število njegov osebni prijatelj . Vedel je namreč, kaj
je značilno za posamezna števila. Koje med bivanjem v Angliji zbolel in nekaj
časa ležal v neki londonski bolnišnici, ga je obiskal angleški matematik G.H.
Hardy. Povedal je, da se je pripeljal s taks ijem s številko 1729 in da se mu
ta številka zdi pusta in nezanimiva . "Prav nasprotno" , je rekel Ramanujan,
"zelo zanimiva je . 1729 je najmanjše naravno število , ki se da na dva različna
načina zapisati kot vsota dveh kubov." Res je
Ali so še druga števila s to lastnostjo? Preden odgovorimo na to in
podobna vprašanja , si poglejmo, kako je z vsotami kvadratov.
Najmanjše naravno število, ki se da na dva različna načina zapisati kot
vsota dveh kvadratov, je 25, namreč
Prav tako je
V drugi izrazitvi števila 25 nastopa sumand nič , v drugi izrazitvi števila 50 sta
sumanda enaka in zato nista tuji si števili . Pač pa se da 65 zapisati na dva
načina kot vsota kvadratov dveh od nič različnih tujih si števi l, namreč
Bralec naj se sam prepriča, da velja isto za števila 85, 145 in 221. 50 pa
tudi števila, ki jih lahko izrazimo na več kakor dva načina kot vsoto dveh
kvadratov, na primer 1105 na štiri načine :
Povrnimo se zdaj h kubom! Ni vsako naravno število vsota dveh kubov.
Pravzaprav so taka števila zelo redka. Na primer 9 = 13 + 23 je, 10, lI, 12,
13, 14 in 15 pa niso.
227
Naj bo dano naravno število m. l.e je vsota dveh kubov, obstajata
naravni števili x in Y, ki zadošča ta enačbi
(1)
Pri danem m bi radi ugotovili, ali je ta ena čba rešljiva znaravnima številoma
x in y , in če je , našli rešitev . Obstaja več metod, kako se lotiti te naloge.
Oglejmo si najpreprostejšo, namreč s poskušanjem. Zapiš imo enačbo (1) v
obliki
y 3 = m _ x 3 .
Ker niti x niti y ni negativen, mora biti
o:s x 3 :s m, torej 0:S x :s ijmo
V izraz m - x3 vstavimo za x zaporedoma O, 1, 2, ... do največjega naravnega
števila , ki ni večje od vm, in vsakokrat pogledamo, ali je razlika m - x 3
popolni kub. S končno mnogo koraki tako ugotovimo, ali je ena čba (1)
rešljiva , in najdemo rešitev , kadar je .
Zgled 1. Naj bo m = 1241. Tu je vm = ij1241 < 11. Sposkušanjem
ugotovimo, da je izraz 1241 - x 3 popoln i kub pri x = 8:
1241 - x3 = 1241- 83 = 1241- 512 = 729 = 93 .
Ena rešitev enačb e (1) je v tem primeru x = 8, y = 9, število 1241 pa Je
vsota dveh kubov : 1241 = 83 + 93 .
Zgled 2. Pri m = 1320 imamo vm = ij1320 < 11. Za noben x med
O in 10 ni razlika 1320 - x 3 popolni kub. Zato število 1320 ni vsota dveh
kubov .
Včasih ima enačba (1) dve ali celo več rešitev v naravnih številih . Tedaj
se da m zapisati na dva (ali več) načinov kot vsota dveh kubov . Vendar je
treba tu opozoriti na tole: 5tevilo 35 lahko izrazimo v obliki 35 = 23 +33 in v
obliki 35 = 33 + 23 . Vendar v tem primeru ne bomo rekli, da smo 35 zapisali
na dva načina kot vsoto dveh kubov , saj smo drugi zapis dobili tako, da smo
v prvem zapisu samo sumanda zamenjal i. Rešitvi ( Xl, YI) in ( X2 , Y2 ) enačbe
(1) dasta različna zapisa le tedaj , kadar se X2 razlikuje od xl in YI (potem
se seveda tudi Y2 razlikuje od x l in YI) . l.e smo dve taki rešitvi našli , je
3 3 3 3
m = Xl + YI = x2 + Y2
in smo m izrazili na dva različna načina kot vsoto dveh kubov .
(2)
228
Ramanujan je ugotovil, da je najmanjši m, pri katerem ima enačba (1)
dve razli čni rešitvi v naravnih številih , enak 1729 . Ni pa to edini tak m.
Nadaljnji primer je
(3)
Alije v (2) lahko katero izmed števil Xl , YI, x2 , Y2 enako nič? (Spomnimo
se primera s kvadrati : 25 = 32 + 42 = 52 + 02.) Denimo , da bi bil Y2 =o.
Potem bi veljala enačba
(4)
kjer so Xl , YI, X2 naravna števila in nobeno od njih ni enako nič . To pa je
Fermatova enačba za tretje potence. Vemo , da Fermatova trditev za tretje
potence velja: Enačba (4) ni rešljiva v naravnih od nič razlicnih številih. Zato
se nobeno naravno štev ilo, ki je kub , ne da izraziti kot vsota dveh od nič
razlicnih kubov .
Doslej nas je zanimalo vprašanje , kdaj je m vsota dveh kubov naravnih
števil , in smo zato iskali rešitve enačb e (1) le v naravnih štev ilih. Lahko pa
si zastavimo tudi vprašanje , kdaj je m vsota dveh kubov celih (pozitivnih ali
negativnih) števil. V tem primeru moramo iskati rešive enačb e (1) v celih
številih X in y . Ker je m pozitiven , je kvečjemu eno izmed števil X in Y
negativno . Pa naj bo eno negativno! Smemo privzeti , da je Y negativen.
Zamenjajmo Y z - y , kjer je zdaj Y naravno število . Ker je (_y)3 = _y 3,
imamo namesto enačb e (1) ena čbo
(5)
Spet iščemo njene rešitve v naravnih števil ih X in y . Le rešitev obstaja , je m
razlika dveh kubov naravnih števil, npr. 7 =23 - 13 .
Kako pri danem m ugotovimo, ali je ena čba (5) rešljiva znaravnima
številoma X in y? Ker je m pozitiven , mora seveda biti x > y in, ker sta x
in y naravni štev ili, je x najmanj za 1 veeji od y , torej x ~ y + 1. Zato velja
ocena
Potemtakem je
3y2 < m in od tod y < Jm/3 .
229
V izraz m + x 3 vstavimo za x po vrsti O, 1, 2, ... do največjega naravnega
števila , ki ne presega Jm/3 , in vsakokrat pogledamo, ali je ta izraz popolni
kub. Tako spet v končno mnogo korakih ugotovimo, ali je enačba (5) rešljiva
in, če je , najdemo rešitev.
Zgled 1. Naj bo m = 169. Tu je Jm/3 = J169/3 < S. V izraz
169 + x3 vstavimo za xštevila od Odo 7. Pri x= 7 dobimo popolni kub
x 3 + 169 = 73 + 169 = 343 + 169 = 512 + S3.
Zato je 169 razlika dveh kubov naravnih števil: 169 = S3 - 73. Ker lahko
pišemo 169 = S3 + (_7)3 , je 169 tudi vsota dveh kubov celih števil.
Zgled 2. Vzemimo m = 200, tako da je J m/3 = J200/3 < 9.
Preskus pokaže, da izraz 200 + x 3 ni popolni kub za nobeno naravno število
x med O in S. Zato število 200 ni razlika dveh kubov.
Le ima enačba (1) dve različni rešitvi v celih številih x in y , smo izrazili
m na dva načina kot vsoto dveh kubov celih števil. Najmanjši pozitivni m,
pri katerem obstajata dve taki rešitvi , je 91. Imamo namreč
Ali obstajajo naravna števila, ki se dajo na tri različne načine izraziti kot
vsote dveh kubov celih števil? Obstajajo in celo taka so, ki jih lahko izrazimo
na več kakor tri načine . Kako pridemo do njih? Ena metoda je tale: Namesto
celoštevilskih rešitev enačb e (1) iščemo njene racionalne rešitve, to je take,
kjer sta x in yracionalni števili. Seveda je vsaka rešitev v celih številih tudi
racionaina rešitev, narobe pa ne velja in je zato racionalnih rešitev v splošnem
dosti več kakor celoštevilskih. Izkaže se, da ima enačba (1) pri nekaterih
m celo neskončno racionalnih rešitev (celoštevilskih pa je vselej le končno
mnogo) . Povejmo brez dokaza , da to velja pri m = 7 in m = 9. Tukaj
tudi ne bomo opisovali metod, ki nas privedejo iz danih racionalnih rešitev do
novih takih rešitev .
Naj bo torej m število, pri katerem ima enačba (1) neskončno racionalnih
rešitev , in naj bo r > 1 poljubno naravno število . Izberimo si r racionalnih
rešitev enačb e (1) , ki jih zaznamujmo z
(6)
Za vsak indeks i velja zveza xr + yr = m. Vsi Xi in Yi so racionaina števila
in se dajo zato zapisati v obliki okrajšanih ulomkov . Le je D najmanjši skupni
imenovalec teh ulomkov, so DXI, DYI, DX2, DY2, ... , DXr, DYr cela števila .
230
Oglejmo si zdaj enačbo
X3 + y 3 = 03 m .
Za vsak indeks i zadoščata x = DXi in Y = 0Yi tej enačbi . Res je
(7)
X3 + y 3 = (OXi)3 + (OYi)3 = 03(xr + Yr) = 03 m .
Tako smo našli r celoštevilskih rešitev e~ačbe (7), število 03 m pa se da na
r različnih načinov zapisati kot vsota dveh kubov celih štev il, namreč
03 m = (OXI)3 + (OYI)3 = (OX2)3 + (OY2)3 = ...= (Oxr)3 + (OYr)3 .
(8)
Zgled. Povedali smo, da ima enačba
neskončno racionalnih rešitev . Vzemimo naslednje tri
5 4 73 17
Xl = 2.Y1 = -1 ; X2 = 3 ,Y2 = 3; X3 = 38 ,Y3 = -38 '
Najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov je O = 114. Zato lahko zapišemo
število 7 X 1143 = 10370808 na tri načine kot vsoto dveh kubov:
Vizrazitveh (8) niso vselej vsi kubi pozitivni , ker so lahko nekatera izmed
števil Xi in Yi negativna . V pravkar navedenem zgledu sta dva kuba negativna .
Velja pa tole : Le ima enačba (1) pri nekem m neskončno racionalnih rešitev ,
ima tudi neskončno pozitivnih racionalnih rešitev. Zato smemo privzeti , da
so vse rešitve (6) pozitivne. Tako pridemo do števila 0 3 rn, ki se da zapisati
na r različnih načinov kot vsota dveh kubov naravnih števil.
Pri natančnejšem ogledu izrazitve (9) opazimo, da imata 190 in 152
skupni faktor 38, nadalje 228 in 114 skupni faktor 114, 219 in 51 pa skupni
faktor 3. 5tevilo 10370808 smo sicer izrazili na tri različne načine kot vsoto
dveh kubov, vendar ne kot vsoto dveh kubov tujih si celih števil. Ali sploh
obstajajo naravna števila, ki se dajo zapisati na tri načine kot vsota dveh
kubov tujih si celih števil? Obstajajo, in sicer je najmanjše med njimi število
3242197, pripadajoča izrazitev pa se glasi
$c vcdno nismo pvstm zadovoljni: Zadnji Elcn je tu negative". Paul Vojta 
pa j c  nagel ltta 1983 Mevilo, ki se da izrsziti na tri rarliEne natint kot vsota 
dveh kubov pozitivnih tujih si cclih gtevil, In sicer j e  
Ni znano, ali ohtajajo Btwila, ki se dajo na i t i r i  naliint zapisati kot vsott 
dveh kubov tujih si naravnih Iftcvil. 
Na koncu st sptt povrnimo k Ramanujanu. Hardy ga je tedaj v bolnirnici 
vprahl, Ee morda pozna najrnanjrt naravno Ztevilo, ki se izrafa na dva razlirna 
na€ina kot vsota dveh Zttrtih potenc naravnih Ytevil. Ramanujan jc odgovoril, 
da ga ne poxna, da pa mora biti to Itevilo po njegovern mnenju izredno vclib. 
V knjigi An Introduction to the Thaory of Numbers navajata avtarja Hardy 
in Wright tale primer 
Stevilo 635318657 je najmanjlc s to lastnostjo. 
Naloge 
1. Koliko je od 1 do 1000 naravnih Htevil, ki so ~ o t t  dveh kubov naravnih 
Pwil (otirorna so kubi)? 
2. Katva itmed stevil 218, 360, 728, 866, 930 se dajo zapisati kot razlike 
dveh kubov naravnih itevil? 
3, Razstavi na prafaktorje ktvila, ki nastopajo v izrazitvah (3). (10) in 
(ll)! 
4. Dokati, da nobcno liho pragtevilo ni m t a  dv& kubw naravnih Etevil! 
Navodilo: 
V zadnjih dveh nalogah si pomagamo z idtntittto x3 + y3 = (x + y)(x2 - 
- XY + y2). 
!van Vidav