i
i
“kolofon” — 2009/3/30 — 17:40 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2009, letnik 56, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Devizna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513
Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan
Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični
urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila Tiskarna RAZVEDRILO v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 33,38 EUR, za tujino
30 EUR. Posamezna številka za člane stane 4,18 EUR, stare številke 2,17 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2009 DMFA Slovenije – 1744 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
FUNDAMENTALNA GRUPA IN koH-PROSTORI
ALEKSANDRA FRANC
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Ljubljana
Math. Subj. Class. (2000): 55M30, 55Q05
V članku pokažemo, da je fundamentalna grupa koH-prostora prosta. Najprej po-
novimo potrebne algebraične definicije in predstavimo pojem fundamentalne grupe. V
osrednjem razdelku definiramo koH-prostore in dokažemo zgornjo trditev, na koncu pa
predstavimo povezavo z nekaterimi nedavnimi rezultati o fundamentalni grupi mnogote-
rosti.
FUNDAMENTAL GROUP AND coH-SPACES
After a quick revision of necessary algebraic definitions we explain the concept of the
fundamental group in some detail. In the main section we define coH-spaces and prove
that the fundamental group of a coH-space is free. Finally, we present some recent results
concerning the fundamental groups of manifolds.
1. Uvod
Realne funkcije lahko seštevamo, odštevamo, množimo, itd. Splošneje,
na funkcijah, ki slikajo v množico z neko algebraično strukturo, lahko defi-
niramo operacijo po točkah. Tako na primer množico funkcij iz topološkega
prostora X v grupo G opremimo s strukturo grupe.
Težje si je predstavljati, kako množico preslikav iz nekega prostora C v
prostor X na naraven način opremiti s strukturo grupe. Videli bomo, kako
množico preslikav iz krožnice v poljuben prostor X opremimo s strukturo
grupe, če pri tem enačimo preslikave, ki so homotopne. Prostorom te vrste
pravimo koH-grupe in so osnovni gradniki za konstrukcijo bolj zapletenih
prostorov. Pojem koH-prostora je nekoliko splošneǰsi: ne zahtevamo, da
je naša množica funkcij grupa, želimo le, da je opremljena z asociativno
operacijo.
Ena od osnovnih lastnosti koH-prostorov je, da imajo prosto fundamen-
talno grupo. V članku bomo najprej predstavili potrebno algebraično ozadje
in pojem fundamentalne grupe, potem pa bomo definirali koH-prostor in do-
kazali to trditev. Definicijo koH-prostora bomo nato posplošili, kar nas bo
pripeljalo do Whiteheadove definicije Lusternik-Schnirelmannove kategorije
(pri koH-prostorih je namreč ta enaka 1). Seznanili se bomo tudi z noveǰsimi
rezultati, ki odgovarjajo na vprašanje, kaj lahko povemo o fundamentalni
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 1
Aleksandra Franc
grupi prostorov z večjo LS kategorijo (zanimivi so še prostori z LS kategorijo
2 ali 3).
2. Nekaj algebre
V osrednjem delu članka bomo potrebovali pojme proste grupe, prostega
produkta grup in prezentacije grupe. Pri slednji gre za opis grupe s podaja-
njem množice generatorjev in množice relacij med njimi. Kadar teh relacij
ni, je grupa prosta. Podobno v prostem produktu poljubnih grup ni relacij
med elementi iz različnih faktorjev. Lotimo se bolj formalnega opisa.
Naj bo M 6= ∅ poljubna neprazna množica. Označimo z M−1 množico
formalnih inverzov M−1 = {x−1 | x ∈ M} in naj velja
(
x−1
)−1
= x za vse
x ∈M ∪M−1.
Elemente M ∪ M−1 razglasimo za abecedo. Oglejmo si množico vseh
končnih besed, ki jih lahko tvorimo v tej abecedi. Če na primer naša abe-
ceda vsebuje črke a, b in c, so abaa−1, cc−1 in abcabc besede. Najprej se
dogovorimo, da bomo vse besede zapisali karseda enostavno. Besedo, ki ne
vsebuje nobenih črk, označimo z ε in jo imenujmo prazna beseda. Kadarkoli
se v besedi pojavi par aa−1 ali pa a−1a, ga zamenjajmo z ε, pare oblike εa
ali aε pa z a. Postopku, s katerim poljubno besedo karseda poenostavimo,
pravimo redukcija. Če reduciramo besede iz zgornjega primera, dobimo ab,
ε in abcabc.
Označimo množico vseh reduciranih besed (vključno s prazno besedo) z
M∗. Na M∗ lahko vpeljemo operacijo M∗ ×M∗ →M∗ takole: dani besedi
staknemo, nato pa po potrebi dobljeno besedo še reduciramo. Na primer:
ab · cb−1 7→ abcb−1,
aaabc · c−1a 7→ aaaba ,
ab · b−1a−1 7→ ε .
Izkaže se, da je M∗ za tako definirano operacijo stikanja in redukcije
besed grupa. Stik dveh besed je spet beseda. Enota je prazna beseda ε,
inverz dane besede pa dobimo tako, da vse njene črke zamenjamo z njihovimi
inverzi in obrnemo vrstni red, na primer:
(
ab−1c
)−1
= c−1ba−1.
Omenimo še, da je zaradi kraǰsanja dokaz asociativnosti težaven.
2 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Definicija 1. Množica M∗ z operacijo stikanja in redukcije je prosta grupa
nad množico M . Pravimo, da je M∗ prosto generirana z M in pǐsemo
M∗ = FM .
Primer 1. Naj bo M = {a} množica z enim elementom. Potem je
M∗ = {ε, a, a−1, aa, a−1a−1, aaa, a−1a−1a−1, . . .} .
Če pǐsemo
a . . . a
︸ ︷︷ ︸
n
= an in a−1 . . . a−1
︸ ︷︷ ︸
n
= a−n,
potem je operacija stikanja in redukcije na M∗ podana z am · an = am+n,
m,n ∈ Z, in prosta grupa nad M je izomorfna grupi Z za seštevanje.
Oglejmo si še eno sorodno konstrukcijo. Naj bosta dani grupi G1 in
G2 in tvorimo besede x1x2 . . . xn, v katerih je vsaka od črk iz ene od grup
Gi, i = 1, 2. Če nobeni dve zaporedni črki nista iz iste grupe, pravimo,
da je beseda reducirana. Kadar obstaja par zaporednih črk xj , xj+1 ∈ Gi,
ju lahko v Gi zmnožimo v eno samo črko. Tako lahko iz poljubne besede
napravimo reducirano. Na množico G1 ∗G2 reduciranih besed podobno kot
zgoraj vpeljemo operacijo stikanja z redukcijo in dobimo grupo.
Definicija 2. Množica G1 ∗ G2 z operacijo stikanja in redukcije je prosti
produkt grup G1 in G2.
Primer 2. Naj bosta G1 = F{a} in G2 = F{b} prosti grupi, generirani z a
oziroma b. Potem lahko vsak netrivialni element prostega produkta G1 ∗G2
zapǐsemo v obliki
an1bm1an2bm2 . . . ankbmk ali bm1an2bm2 . . . ankbmk ali
an1bm1an2bm2 . . . ank ali bm1an2bm2 . . . ank .
Vidimo, da je v tem primeru prosti produkt G1 ∗ G2 grupa, ki je prosto
generirana z a in b, F{a} ∗ F{b} = F{a,b}.
V primeru prostega produkta prostih grup smo znali poiskati tako množi-
co M , da je bila G1 ∗ G2 prosta grupa nad M (res, za poljubni neprazni
disjunktni množici M1 in M2 je FM1 ∗FM2 = FM1∪M2). V splošnem pa take
množice ne moremo najti.
Definicija 3. Grupa G je prosta, če obstaja kakšna množica M , da je G =
FM prosta grupa nad M .
1–15 3
Aleksandra Franc
Primer 3. Naj bo (Z2,+) grupa ostankov pri deljenju z 2: Z2 = {0, 1},
operacija pa je podana z 0 + 0 = 1 + 1 = 0 in 1 + 0 = 0 + 1 = 1. Naj
bo M neprazna množica in a ∈ M poljuben element. Potem je grupa F{a}
neskončna podgrupa proste grupe nad M , torej je tudi prosta grupa nad M
neskončna. Grupa Z2 je končna, torej ni prosta. Splošneje, nobena končna
grupa ni prosta.
Za poljubno grupo G pa obstaja kakšna podmnožica M ⊂ G, za katero
velja, da lahko vsak element iz G zapǐsemo (morda na več različnih načinov)
kot produkt elementov iz M (na primer kar M = G). Pravimo, da je M
množica generatorjev grupe G.
Trditev 1. Preslikava f : FM → G, ki vsaki besedi nad M priredi tisti ele-
ment grupe G, ki ga dobimo, če v G zmnožimo črke te besede (posebej:
prazni besedi priredi enoto), je surjektivni homomorfizem. Vsaka grupa je
torej homomorfna slika neke proste grupe. Jedro ker f je podgrupa edinka v
FM in G je izomorfna faktorski grupi FM/ ker f .
Jedro ker f je generirano z neko množico R ⊂ FM . Pǐsemo G = 〈M |R〉
in pravimo, da je grupa G podana z generatorji in relacijami, 〈M |R〉 pa
imenujemo prezentacija grupe G.
Primer 4. Prosta grupa FM ima prezentacijo 〈M |∅〉 =: 〈M〉. Med elementi
proste grupe torej ni relacij. Posebej, Z ∼= 〈a〉.
Primer 5. Grupa (Z2,+) je izomorfna 〈a|a
2〉. Splošneje, grupa ostankov
(Zn,+) je izomorfna 〈a|a
n〉.
Primer 6. Kartezični produkt dveh grup ni niti prosti produkt niti prosta
grupa. Elementi G × H so (urejeni) pari (g, h), kjer je g ∈ G in h ∈ H.
Operacija je definirana po komponentah: (g, h) · (g′, h′) = (gg′, hh′). Naj eA
označuje enoto v grupi A. Potem je
(g, eH) · (eG, h) = (g, h) = (eG, h) · (g, eH) .
Vsak element oblike (g, eH) komutira z vsakim elementom oblike (eG, h),
zato imamo med elementi kartezičnega produkta relacije
(g, eH)(eG, h)(g, eH)
−1(eG, h)
−1 = eG×H .
Taka grupa torej ni prosta.
4 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Vsaka grupa ima več različnih prezentacij. Če obstaja kakšna prezen-
tacija G = 〈M |R〉, ki ima končno množico generatorjev M , pravimo, da je
grupa G končno generirana. Če obstaja prezentacija, v kateri sta množici
M in R obe končni, pravimo, da je grupa G končno prezentirana.
V dokazu našega glavnega izreka bomo potrebovali še naslednje dejstvo:
Izrek 2 (Nielsen-Schreier). Podgrupa proste grupe je prosta.
3. Fundamentalna grupa
V tem razdelku definiramo fundamentalno grupo (topološkega) prostora
in predstavimo tiste lastnosti, ki jih potrebujemo v nadaljevanju. Bralci,
ki ste s tem pojmom že seznanjeni, lahko ta del preskočite, tistim, ki bi o
fundamentalni grupi želeli izvedeti kaj več, pa v branje priporočamo čla-
nek [3] ali pa prvo poglavje [4]. Pod pojmom prostor bomo vedno razumeli
topološki prostor (množico, opremljeno s topologijo).
Pot je zvezna preslikava γ : I → X iz intervala I = [0, 1] v prostor X
(slika 1). Točko γ(0) imenujemo začetna, točko γ(1) pa končna točka poti γ.
Pot, pri kateri sta začetna in končna točka isti, imenujemo zanka. V prostoru
X izberemo točko x0, jo razglasimo za izhodǐsče in množico vseh zank, ki se
začnejo in končajo v x0, sugestivno označimo z Ω(X,x0).
I0 1
γ
b b
b
b
Xγ(0)
γ(1)
Slika 1. Pot v prostoru X je zvezna preslikava γ : I → X.
Na Ω(X,x0) imamo naravno operacijo stikanja zank. Ker smo se omejili
le na poti, ki se začnejo in končajo v točki x0, lahko za poljubni dve zanki
α in β definiramo njun stik kot tisto zanko, ki najprej poteka po α, nato pa
še po β, oziroma s formulo (α · β) : [0, 1] → X,
(α · β)(t) =
{
α(2t) , 0 ≤ t ≤ 12 ,
β(2t− 1) , 12 ≤ t ≤ 1 .
Stik zank α in β je torej tista zanka, pri kateri v prvi polovici časovnega
intervala prehodimo α, nato pa v drugi polovici še β (slika 2). Seveda se
moramo zato po α in β premikati dvakrat hitreje.
Vendar pa stikanje zank ni asociativno. Zanka (α · β) · γ ni enaka zanki
α · (β · γ). Obe sicer opǐseta isto krivuljo, a sta različno parametrizirani:
1–15 5
Aleksandra Franc
b
X
I
I
I
α
β
α · β
Slika 2. Stikanje zank
enkrat se v prvi polovici časa pomaknemo po α · β (po vsaki od teh dveh
torej v 14 celotnega časa) in v drugi polovici po γ, drugič pa prvo polovico
časa porabimo za zanko α in v preostali polovici pretečemo β · γ (spet za
vsako porabimo 14 časa). Asociativnost torej velja le do reparametrizacije
natančno. Primer zank, pri katerih sta stika (α · β) · γ in α · (β · γ) različna,
je prikazan na sliki 3. Tu so α, β in γ zanke v S1, vendar smo zaradi pre-
glednosti na sliko dodali še dodatno dimenzijo, ki pomeni časovni interval.
b
b
b
X
x0
γ
b
b
b
X
x0
α
b
b
b
X
x0
β
b
b
b
b
b
X
x0
(α · β) · γ
b
b
b
b
b
X
x0
α · (β · γ)
Slika 3. Stika (α · β) · γ in α · (β · γ) nista enaka.
Zatakne se tudi, ko želimo najti nevtralni element. Poskusimo s kon-
stantno zanko
cx0 : I → X , t 7→ x0 ,
ki ves čas miruje v izhodǐsču. Ko poljubno zanko α staknemo s cx0 , dobimo
zanko, ki je v prvi polovici časa enaka α in v drugi polovici miruje v izho-
dǐsču, vendar lahko s pomočjo reparametrizacij čas mirovanja skraǰsujemo
in nazadnje ostane le še α (glej sliko 5). Če dopuščamo reparametrizacijo,
je torej konstantna zanka desna enota in podoben premislek pokaže, da je
tudi leva enota.
Kako pa je z inverzi? Za dano zanko α želimo najti tako zanko α, da
bomo njun stik lahko nekako povezali s konstantno zanko. Hitro opazimo,
da tu reparametrizacija ne zadošča. Ne želimo namreč zgolj spreminjati
6 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
hitrosti, s katero prehodimo α in α, temveč sploh ne želimo zapustiti izho-
dǐsča.
Naše pogoje zato še nekoliko omilimo in zahtevamo, da veljajo le do ho-
motopije natančno: dve zanki štejemo za enaki, kadar lahko znotraj prostora
X sliko prve zvezno preoblikujemo v sliko druge (slika 4).
b
x0 X
β
α
γ
Slika 4. V tem prostoru z luknjo sta zanki α in β homotopni, α in γ pa ne.
Za zvezni preslikavi f, g : A→ X pravimo, da sta homotopni, če obstaja
zvezna preslikava H : A× I → X, za katero je H(a, 0) = f(a) in H(a, 1) =
g(a) za vse a ∈ A. Preslikavo H imenujemo homotopija med preslikavama
f in g in pǐsemo H : f ≃ g ali pa kar f ≃ g. Pri vsakem t ∈ I je tako s
predpisom ft(a) = H(a, t) podana zvezna preslikava A → X. Ko t teče od
0 do 1, preslikava ft zvezno deformira f v g (potek te deformacije med α in
β je na sliki 4 nakazan s puščicami).
Kadar sta (A, a0) in (X,x0) prostora z izhodǐsčem, zahtevamo, da slikata
f in g točko a0 v točko x0. Če za homotopijoH : f ≃ g velja šeH(a0, t) = x0
za vse t ∈ I, pravimo, da sta f in g homotopni rel izhodǐsče, oziroma da
homotopija H v izhodǐsču miruje.
V primeru poti je A = I, torej je homotopija dveh poti zvezna preslikava
kvadrata v prostor, ki njegov spodnji rob preslika v prvo in zgornji rob v
drugo pot. Pri homotopiji, ki naj v izhodǐsču miruje, zahtevamo še, da se
levi rob kvadrata preslika v izhodǐsče. Če namesto poti gledamo zanke, se v
izhodǐsče preslika tudi desni rob kvadrata. Na sliki 4 sliki kvadrata ustreza
temno senčeno območje.
Lahko je videti, da je homotopnost zank ekvivalenčna relacija. Na kvoci-
entni množici Ω(X,x0)/≃ vseh homotopskih razredov zank vX z izhodǐsčem
x0 lahko torej definiramo operacijo
[α][β] = [α · β] ,
1–15 7
Aleksandra Franc
b
b
b
b
X
x0
b
b
b
X
x0
αcx0
b
b
b
b
X
x0
α
t = 0 t = 12
t = 1
Slika 5. Zanka αcx0 je homotopna α.
ki paru homotopskih razredov zank priredi razred, ki pripada njunemu stiku.
Za tako definirano operacijo postane kvocientna množica grupa, ki jo označi-
mo s π1(X,x0) in jo imenujemo fundamentalna grupa prostora (X,x0).
Enota v π1(X,x0) je homotopski razred konstantne zanke [cx0 ], inverz
razreda [α] pa predstavlja zanka α, podana z α(t) = α(1 − t) (po zanki α
se sprehodimo v nasprotni smeri). Homotopija med α · cx0 in α je podana z
družino reparametrizacij, ki smo jo opisali zgoraj (slika 5), homotopijo med
α · α in cx0 pa dobimo tako, da se sprehajamo po vedno kraǰsih delih poti
α in α, dokler se nazadnje nikamor ne premaknemo (slika 6).
b
b
b
X
x0
b
b
b
X
x0
αα
b
b
b
X
x0
b
b
b
X
x0
b
b
b
X
x0
cx0
t = 0 t = 14 t =
1
2 t =
3
4
t = 1
Slika 6. Zanka αα je homotopna konstantni zanki cx0 .
Če je X povezan s potmi (med poljubnima dvema točkama iz X obstaja
vsaj ena pot), večkrat pǐsemo kar π1(X). Kadar obstaja pot med točkama
x0, x1 ∈ X, sta namreč grupi π1(X,x0) in π1(X,x1) izomorfni.
Primer 7. Če obstaja homotopijaH : X×I → X med identiteto idX : X →
X in konstantno preslikavo x 7→ a za neki a ∈ X, pravimo, da je prostor
X kontraktibilen. Tedaj obstaja homotopija med identiteto in poljubno
8 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
konstantno preslikavo (posebej med idX in x 7→ x0). V takem prostoru
lahko poljubno zanko α skrčimo v točko. Homotopijo med α in konstantno
zanko dobimo kot kompozitum H ◦ (α, idI) : I × I → X. Kadar je prostor
X kontraktibilen, imamo torej en sam homotopski razred zank in je grupa
π1(X,x0) trivialna.
Primer 8. Krožnica S1 ima netrivialno fundamentalno grupo. Če si S1
predstavljamo kot enotsko krožnico v C, potem je za poljubno celo število
n s predpisom
ωn : I → S
1, t 7→ e2πint,
podana zanka, ki se n-krat navije na S1 (pri zankah α, β in γ s slike 3 je
zaporedoma n = 1, n = 0 in n = −1). Ni težko verjeti, da zanke ω1, ki se
enkrat navije na krožnico, ne moremo zvezno deformirati do trivialne zanke
ω0, ki miruje v izhodǐsču 1 ∈ S
1. Še več: zanki ωn in ωm sta homotopni
natanko tedaj, ko je m = n, poleg tega pa je poljubna zanka v S1 homo-
topna ωn za neko (točno določeno) celo število n. Tako ugotovimo, da je
π1(S
1, 1) ∼= Z. Formalni dokaz te trditve je običajno eden prvih, s katerimi
se srečamo pri študiju algebraične topologije.
Predpis, ki topološkemu prostoru priredi njegovo fundamentalno grupo,
ima naslednjo pomembno lastnost: zvezna preslikava ϕ : (X,x0) → (Y, y0)
inducira homomorfizem grup
ϕ# : π1(X,x0) → π1(Y, y0),
podan s predpisom
ϕ#([α]) = [ϕ ◦ α].
Če sta ϕ,ψ : X → Y homotopni preslikavi, sta inducirana homomorfizma ϕ#
in ψ# enaka. Vedno velja tudi (ϕ ◦ψ)# = ϕ# ◦ψ#, identiteta idX : X → X
pa inducira identiteto na π1(X). Temu pravimo funktorialnost.
Obstajajo izreki, ki nam povedo, kakšna je fundamentalna grupa pro-
stora, če ga znamo nekako sestaviti iz enostavneǰsih kosov, katerih funda-
mentalne grupe poznamo. Če je na primer g : I → X zanka vX in h : I → Y
zanka v Y , potem je preslikava (g, h) : I → X×Y zanka v X×Y . Obratno,
vsaki poti I → X × Y pripada par poti (g, h), kjer je g : I → X pot v X in
h : I → Y pot v Y . Če sta prX : X×Y → X in prY : X×Y → Y projekciji,
sta namreč poti g in h določeni s predpisom g = prX ◦ f in h = pry ◦ f .
Enako iz homotopije H med zankama f1 in f2 v X × Y dobimo homotopiji
prX ◦H med pripadajočima zankama g1 in g2 v X ter prY ◦H med h1 in
h2 v Y . Od tod ni več daleč do naslednjega izreka (glej [4], str. 34):
1–15 9
Aleksandra Franc
Trditev 3. Če sta prostora X in Y povezana s potmi, potem je
π1(X × Y ) ∼= π1(X) × π1(Y ) .
Oglejmo si še primer, ko dana prostora (X,x0) in (Y, y0) zlepimo v nov
prostor tako, da identificiramo izhodǐsči x0 in y0. Dobljeni prostor imenu-
jemo šop prostorov X in Y in ga običajno podamo kot podprostor produkta
X × Y :
X ∨ Y = {(x, y) ∈ X × Y | x = x0 ali y = y0} .
Primer 9. Šop dveh krožnic S1 ∨ S1 običajno imenujemo osmica. Induk-
tivno lahko tvorimo tudi šop večjega števila prostorov. Če imamo v šopu
več krožnic, dobimo prostor, ki res spominja na šopek (slika 7).
b
b
. .
.
S1 ∨ S1 S1 ∨ S1 ∨ . . . ∨ S1
Slika 7. Osmica (šop dveh krožnic) in šop več krožnic
Trditev 4. Fundamentalna grupa šopa je prosti produkt fundamentalnih
grup faktorjev:
π1(X ∨ Y ) = π1(X) ∗ π1(Y ) .
Fundamentalna grupa šopa dveh prostorov je torej v splošnem bolj za-
pletena kot fundamentalna grupa produkta. Slednja je preprosteǰsa, ker
je vsaka zanka v produktu določena s po eno zanko iz vsakega faktorja
in ti zanki sta med seboj neodvisni. Zanka v šopu X ∨ Y je sestavljena
iz več odsekov, od katerih poljubna sosednja ležita v različnih prostorih.
Opǐsemo jo torej lahko z zaporedjem zank α1, β1, . . . , αn, βn, pri čemer zanke
αi ležijo v X, zanke βi pa v Y (pri tem lahko kakšno na začetku ali na koncu
izpustimo, ne smemo pa spreminjati vrstnega reda). To nas takoj spomni
na konstrukcijo proste grupe – vsaki zanki ustreza neka beseda. Zgornji
rezultat nas torej ne preseneča.
4. O koH-prostorih
Poti smo definirali kot zvezne preslikave intervala v prostor, potem pa
smo se takoj omejili na zanke. Ker smo vsakič zahtevali, da se začetna in
10 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
končna točka intervala preslikata v isto točko, ju lahko že pred tem identifi-
ciramo in zanke definiramo kot zvezne preslikave krožnice v prostor. Kako
pa v tem primeru opǐsemo stikanje?
Naj bosta α, β : (S1, 1) → (X,x0) zvezni preslikavi krožnice v prostor.
Pri definiciji z intervali smo dobili stik z lepljenjem dveh kopij intervala
tako, da se je končna točka prvega ujela z začetno točko drugega. Rezultat
je bil spet interval (sicer nekoliko dalǰsi, a smo si nato pomagali še z repa-
rametrizacijo), zato smo v tem lahko prepoznali novo pot (slika 2). Na tem
intervalu so se v isto točko preslikale točke 0, 1 in 12 . Če te točke identi-
ficiramo, dobimo šop dveh krožnic. Prvo moramo preslikati z α, drugo pa
z β. Ker želimo preslikavo iz S1, vse skupaj še predkomponiramo s presli-
kavo φ : S1 → S1 ∨ S1, ki identificira točki 1 in −1 (slika 8). Kompozitum
(α ∨ β)φ : S1 → X je zanka, ki ustreza stiku α · β.
b
S1 ∨ S1
b
X
x0
bb
S1
φ
α
β
α · β
Slika 8. Stikanje zank (S1, 1) → (X, x0)
Naj bodo X topološki prostor, ∆: X → X × X preslikava, podana s
predpisom x 7→ (x, x), in J : X ∨ X → X × X inkluzija. Kadar obstaja
zvezna preslikava φ : X → X ∨X, za katero je Jφ ≃ ∆, je X koH-prostor.
Pravimo, da do homotopije natančno komutira diagram
X
φ
//
∆
##G
G
G
G
G
G
G
G
G
X ∨X
J

X ×X
(Obstoj preslikave φ ni odvisen od izbire točk, v katerih staknemo dve kopiji
prostora X v X ∨X.)
Primer 10. Naj bo X = S1 = {eiϑ | ϑ ∈ [0, 2π]} kompleksna krožnica.
Šop dveh krožnic podajmo kot
S1 ∨ S1 = {(eiξ, 1) | ξ ∈ [0, 2π]} ∪ {(1, eiψ) | ψ ∈ [0, 2π]} .
1–15 11
Aleksandra Franc
Preslikava φ : S1 → S1 ∨ S1 naj bo podana s
φ(eiϑ) =
{
(e2iϑ, 1) , ϑ ∈ [0, π] ,
(1, e2i(ϑ−π)) , ϑ ∈ [π, 2π] .
Potem je Jφ(eiϑ) = (e2iϑ, 1) za ϑ ∈ [0, π] in Jφ(eiϑ) = (1, e2i(ϑ−π)) za ϑ ∈
[π, 2π]. Po drugi strani je ∆(eiϑ) = (eiϑ, eiϑ). Očitno Jφ 6= ∆. Obstaja pa
homotopija H : S1×I → S1×S1, za katero je H|S1×{0} = Jφ in H|S1×{1} =
∆. Ker je torej Jφ ≃ ∆, je S1 koH-prostor. Homotopijo H si najlažje
predstavljamo, če torus S1×S1 predstavimo kot kvadrat, v katerem zlepimo
para nasprotnih stranic. Slika preslikave ∆ je ena od diagonal kvadrata, slika
preslikave Jφ pa par nevzporednih stranic (slika 9). Homotopijo dobimo
tako, da diagonalo potisnemo na stranici.
Slika 9. Sled homotopije H : S1 × I → S1 × S1 med Jφ in ∆
Zdaj lahko končno formuliramo in dokažemo našo glavno trditev:
Trditev 5. Naj bo X ko-H prostor. Potem je grupa π1(X) prosta.
Dokaz. Začnimo s homotopsko komutativnim diagramom
X
φ
//
∆
##G
G
G
G
G
G
G
G
G
X ∨X
J

X ×X
iz definicije koH-prostora. Vemo tudi, da je π1(X ∨ X) = π1(X) ∗ π1(X)
in π1(X × X) = π1(X) × π1(X). Od tod zaradi funktorialnosti sledi, da
komutira tudi diagram
π1(X)
φ#
//
∆# ''O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
π1(X) ∗ π1(X)
J#

π1(X) × π1(X)
12 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
torej je J# ◦ φ# = ∆#. Inducirana preslikava ∆# je spet diagonala (le da
tokrat na π1(X) in ne na X), ker slika a ∈ π1(X) v par (a, a) ∈ π1(X) ×
π1(X).
Seveda je diagonala ∆# injektivna, zato je tudi φ# injektivna. Poleg
tega je J#(imφ#) = im(J# ◦ φ#) = im ∆#, od koder sklepamo, da je
imφ# ⊂ J
−1
# (im ∆#).
Naj bo
F := J−1# (im ∆#) ⊂ π1(X) ∗ π1(X) .
Pravkar smo videli, da je imφ# ⊂ F in lahko na π1(X) gledamo kot na
podgrupo grupe F . Zadostuje torej, če pokažemo, da je grupa F prosta,
ker bo tedaj po Nielsen-Schreierjevem izreku (izrek 2) tudi podgrupa π1(X)
prosta.
Spomnimo se, da so elementi v prostem produktu π1(X) ∗π1(X) besede
iz elementov π1(X). Ker se lahko isti element π1(X) v besedi pojavi kot
element poljubnega od faktorjev, bo pomembno vedeti, katerega imamo v
mislih. Za poljuben a ∈ π1(X) naj j(a) pomeni njegovega predstavnika v pr-
vem faktorju in j′(a) njegovega predstavnika v drugem faktorju. Preslikava
J# torej preslika besedo j(a1)j
′(b1) . . . j(an)j
′(bn) v par (a1 . . . an, b1 . . . bn).
Označimo zG podgrupo π1(X)∗π1(X), ki je prosto generirana z elementi
oblike j(g)j′(g), in pokažimo, da je F = G. Seveda je G prosta grupa, zato
bo od tod sledilo, da je tudi grupa F prosta.
Ker je J#(j(a1)j
′(a1) . . . j(an)j
′(an)) = (a1 . . . an, a1 . . . an) ∈ im ∆#, je
G ⊂ F . Dokažimo še, da je F ⊂ G. Če dopuščamo, da je morda prva ali
pa zadnja črka besede enaka enoti, lahko vsak element iz π1(X) ∗ π1(X)
(in tako tudi vsak element F ) zapǐsemo v obliki j(a1)j
′(b1) . . . j(ak)j
′(bk)
za neki k ∈ N. Označimo s Fn množico vseh elementov doľzine n iz F , tj.
elementov oblike
j(a1)j
′(b1) . . . j(an)j
′(bn) .
Z indukcijo pokažemo, da za vsa naravna števila n velja Fn ⊂ G. Pri n = 1
naj bo x ∈ F1 ⊂ F oblike j(a)j
′(b). Ker je J#(x) = (a, b) ∈ im ∆#, je
a = b in je x = j(a)j′(a) ∈ G. Predpostavimo zdaj, da velja Fn−1 ⊂ G, in
si oglejmo x ∈ Fn oblike
x = j(a1)j
′(b1) . . . j(an)j
′(bn) .
1–15 13
Aleksandra Franc
Potem je
x = j(a1)j
′(b1) . . . j(an)j
′(bn) =
= j(a1)
[
j′(a1)j
′(a1)
−1
]
j′(b1) . . . j(an)
[
j(bn)
−1j(bn)
]
j′(bn) =
=
[
j(a1)j
′(a1)
]
j′(a1)
−1j′(b1) . . . j(an)j(bn)
−1
[
j(bn)j
′(bn)
]
=
=
[
j(a1)j
′(a1)
]
y−1
[
j(bn)j
′(bn)
]
,
kjer je
y = j(bn)j(an)
−1j′(bn−1)
−1 . . . j(a3)
−1j′(b2)
−1j(a2)
−1j′(b1)
−1j′(a1) =
=
[
j(bna
−1
n )j
′(bn−1)
−1
]
. . .
[
j(a3)
−1j′(b2)
−1
] [
j(a2)
−1j′(b−11 a1)
]
neki element Fn−1. Po indukcijski predpostavki je torej y ∈ G, in ker je G
grupa, je tudi y−1 ∈ G. Prav tako je j(a1)j
′(a1) ∈ G in j(bn)j
′(bn) ∈ G,
zato tudi za x, ki je produkt treh elementov iz G, velja x ∈ G. Pokazali
smo, da je F∞ :=
⋃∞
n=1 Fn ⊂ G. Po drugi strani pa smo zgoraj premislili,
da F∞ generira F , in ker je G grupa, je F = 〈F∞〉 ⊂ G.
5. LS kategorija in fundamentalna grupa
Definirajmo debeli šop WnX prostora X kot podprostor vseh tistih točk
v n-ternem produktu Xn, ki imajo vsaj eno od koordinat enako x0. Pri
n = 2 dobimo šop X ∨ X, ki se je pojavil v definiciji koH-prostora. Z
∆n : X → Xn označimo diagonalo x 7→ (x, . . . , x).
Definicija 4. Naj bo X topološki prostor. Najmanǰse naravno število n, za
katero obstaja zvezna preslikava φ : X → Wn+1X, zanjo pa do homotopije
natančno komutira diagram
X
φ
//
∆n+1
##H
H
H
H
H
H
H
H
H
Wn+1X
i

Xn+1
imenujemo Lusternik-Schnirelmannova kategorija (LS kategorija) prostora
X, catX.
V literaturi lahko najdemo več definicij LS kategorije, ki v splošnem
sicer niso ekvivalentne, se pa ujemajo na nekaterih pomembnih razredih
topoloških prostorov (glej [5]). Zgoraj smo spoznali Whiteheadovo definicijo.
14 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
Fundamentalna grupa in koH-prostori
Za nas bo zanimiva še bolj geometrična definicija, ki pravi, da je catX enaka
najmanǰsemu naravnemu številu n, za katero obstaja pokritje prostora X z
n+ 1 odprtimi množicami, ki so kontraktibilne v X.
Primer 11. Pri n = 0 je Wn+1X = W 1X = {x0} in ∆
1 = idX . Če ob-
staja preslikava φ : X → {x0}, za katero je iφ ≃ idX , je idX homotopna
konstanti in je X kontraktibilen. Seveda lahko kontraktibilen prostor pokri-
jemo že z eno samo odprto kontraktibilno množico, torej je tudi geometrično
kategorija kontraktibilnega prostora enaka 0.
V trditvi 5 smo dokazali: Če je catX = 1, potem je grupa π1(X) prosta.
Če je catX = 0, je X kontraktibilen, zato je grupa π1(X) trivialna. Kaj pa
lahko povemo o prostorih z LS kategorijo 2, 3 ali več?
Za poljubno končno prezentirano grupo π lahko konstruiramo Eilen-
berg-MacLaneov prostor K(π, 1), za katerega je π1(K(π, 1)) ∼= π. Če se pri
konstrukciji ustavimo, ko smo dodali 2-celice, dobimo 2-dimenzionalen CW
kompleksK (2-skelet Eilenberg-MacLaneovega prostoraK(π, 1)), v katerem
1-celice ustrezajo generatorjem grupe π, 2-celice pa relacijam. Pri tem velja
π1(K) = π. Iz unije 0-celic, unije 1-celic in unije 2-celic zlahka konstruiramo
pokritje iz treh odprtih množic, ki so kontraktibilne vK. Torej je catK ≤ 2.
Ta primer nam pove, da našega izreka ne moremo posplošiti na prostore z
LS kategorijo 2. Kot smo videli, namreč za poljubno končno prezentirano
grupo π obstaja prostor K, za katerega je catK = 2 in π1(K) = π.
Nedavno pa so Dranishnikov, Katz in Rudyak v [1] pokazali, da ob nekaj
dodatnih predpostavkah velja soroden izrek:
Izrek 6. Naj bo n ≥ 3 naravno število in naj bo M sklenjena n-mnogoterost
s catM = 2. Potem je grupa π1(M) prosta.
V istem članku so tudi pokazali, da pri catM = 3 analogen izrek ne
velja niti za mnogoterosti. Za poljubno končno prezentirano grupo π so
konstruirali 4-mnogoterost M , za katero je catM = 3 in π1(M) = π.
LITERATURA
[1] A. N. Dranishnikov, M. G. Katz in Y. B. Rudyak, Small values of Lusternik-
Schnirelmann and Systolic Categories for Manifolds, arXiv:0805.1527, 2008.
[2] P. Pavešić, Lusternik-Schnirelmannova kategorija, Obzornik mat. fiz. 51 (2004) 2,
str. 33–50.
[3] P. Petek, Fundamentalna grupa topološkega prostora, Obzornik mat. fiz. 23 (1976)
1/2, str. 17–26.
[4] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge 2002.
[5] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea in D. Tanré, Lusternik-Schnirelmann category, Ma-
thematical Surveys and Monographs 103, American Mathematical Society, Providence
2003.
1–15 15
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 16 — #1 i
i
i
i
i
i
MIKROFLUIDIČNO VEZJE Z MIKROČRPALKO
BLAŽ KAVČIČ, DUŠAN BABIČ IN IGOR POBERAJ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 47.85.Np, 47.85.L-, 87.85.Uv
Mikrofluidika je interdisciplinarno področje, ki obravnava manipulacijo tekočin v zelo
majhnih količinah (nl do al) in obeta miniaturizacijo kemijskih in bioloških procesov ter
njihovo integracijo v t. i. laboratorije na čipu. Trend je podoben kot v začetku razvoja
mikroelektronike, le da je mikrofluidično vezje sestavljeno iz različnih miniaturnih mehan-
skih elementov. Med pomembneǰse spadajo mikročrpalke za črpanje tekočinskih tokov po
kanalih v vezju. V članku je predstavljena izdelava mikročrpalke iz superparamagnetnih
koloidnih kroglic, ki ima možnost individualnega nadzora hitrosti in smeri črpanja.
MICROFLUIDIC CIRCUIT WITH A MICROPUMP
Microfluidics is an interdisciplinary field dealing with manipulation of small volumes
of liquids (nl to al) and promising miniaturization of chemical and biological processes
and their integration into laboratories-on-chips. The trend is similar to the early stage
of development of microelectronics, only that the circuits are assembled from miniature
mechanical elements. Among the more important components in the circuits are micro-
pumps used to pump liquid currents through the circuit channels. This article presents an
experimental implementation of a micropump assembled from superparamagnetic colloi-
dal spheres, with the possibility to control pumping speed and direction of each individual
pump.
1. Uvod
Mikrofluidika je interdisciplinarno področje, ki se ukvarja z izdelavo
miniaturnih vezij za manipulacijo majhnih volumnov tekočin, ki so tipično
reda nanolitrov do atolitrov (10−9 do 10−18 litra) [1]. Področje obeta mi-
niaturizacijo in s tem povezan napredek pri številnih kemijskih in bioloških
procesih na podoben način, kot je hiter razvoj na področju elektronike pri-
nesla mikroelektronika. Razvoj gre v smeri t. i. laboratorija na čipu (ang.
lab-on-a-chip), torej miniaturizacije različnih procesov, ki se v laboratorijih
danes izvajajo na makroskopskih skalah [2]. Možni primeri uporabe mikro-
fluidike so v kemiji, fiziki, biologiji in medicini, na primer v analizi DNK in
celični analizi, biosenzorjih in senzorjih kemikalij, sintezi čistih snovi, filtri-
ranju, separaciji ter pri diagnostičnih in presejalnih testih.
Miniaturizacija prinaša številne prednosti. Na majhnih velikostnih ska-
lah so reakcije veliko hitreǰse, zato se trajanje meritev skraǰsa, nadzor reak-
cij pa je lažji in natančneǰsi, saj se sistem hitreje odzove na spremembe, na
16 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 17 — #2 i
i
i
i
i
i
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko
primer na dodajanje reagenta. Občutljivost in ločljivost mikroanalitičnih
metod sta zato bolǰsi, kar so med prvimi izkoristili pri visokotlačni kroma-
tografiji tekočin in kapilarni elektroforezi [1]. Prav tako je pomembno, da
lahko za reakcije uporabimo zelo majhne količine reagentov, saj to omogoča
izvajanje analiz tudi na vzorcih v zelo majhnih količinah. Pri ravnanju z
nevarnimi snovmi se zmanǰsa tveganje in obseg potencialnih nesreč, količine
nastalih odpadnih produktov pri reakcijah pa so veliko manǰse, kar zniža
stroške in obremenitve okolja. Majhnost mikrofluidičnih vezij se izraža v
prenosljivosti in nižji ceni, zaradi česar je mogoče močno poceniti, poe-
nostaviti in miniaturizirati določene diagnostične metode, kjer je potrebna
obdelava velikih količin vzorcev, kar danes opravljajo veliki in dragi robotski
sistemi [3].
Mikrofluidično vezje običajno meri do nekaj kvadratnih centimetrov, se-
stavlja pa ga topološka mikrostruktura iz različnih elementov, kot so mini-
aturni kanali, komore, ventili, razvejǐsča ipd. Topološka struktura je lahko
kombinirana še z drugimi elementi, na primer z elektrodami. Predlagani
in v praksi prikazani so bili že številni načini uporabe mikrofluidičnih ve-
zij, kot so filtrirni sistemi, biosenzorji, senzorji kemikalij in koncentracij,
genetska analiza, sinteza organskih snovi, separacija, masna spektrometrija
in drugi [1, 2]. Določena vezja se predvsem v laboratorijih že redno upo-
rabljajo. Največji tržni uspeh je do sedaj uporaba mikrofluidike doživela v
brizgalnih tiskalnikih [1].
Čeprav raziskave na tem področju potekajo že več kot 20 let, je uporaba
mikrofluidike v laboratorijskih procesih še vedno v začetni fazi. Težave so
tako pri odločitvah, katere že obstoječe procese sploh miniaturizirati, kot
pri sami izpeljavi vseh korakov razvoja, od izbire materialov do postopka
izdelave in umestitve na trg. Eden od problemov je črpanje tekočin po
mikrofluidičnih vezjih, kar se danes večinoma izvaja z zunanjimi makro-
skopskimi črpalkami, od koder so različne vrste tekočin do vezij speljane po
cevkah. Metoda je zaradi velikosti takšnih črpalk v primerjavi z velikostjo
vezij nepraktična, bolj primerne bi bile miniaturne črpalke v samih vezjih.
Tu se pojavi tako vprašanje načina izdelave in sestavljanja zelo majhnih čr-
palnih elementov kot tudi prenos energije za pogon črpalke na tako majhne
velikostne skale.
Primer mikročrpalke je leta 2006 predstavila skupina Clemensa Bechin-
gerja z Univerze v Stuttgartu, kjer so iz treh kroglastih superparamagnetnih
koloidnih delcev v krožečem zunanjem magnetnem polju sestavili črpalni
rotor velikosti okoli 10 µm [4]. Krožeče magnetno polje med superpara-
magnetnimi koloidnimi kroglicami inducira privlačno interakcijo, zato se te
16–24 17
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 18 — #3 i
i
i
i
i
i
Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj
zberejo v skupek, ki se začne vrteti. Ob primerni topološki zasnovi kanalov
takšen rotor po kanalu poganja tok tekočine, katerega smer in velikost sta
odvisni od smeri in hitrosti vrtenja rotorja oziroma zunanjega magnetnega
polja. Majhnost rotorjev teoretično omogoča površinsko gostoto več tisoč
črpalk na kvadratni centimeter mikrofluidičnega vezja [4].
Pri velikem številu mikročrpalk v enem samem vezju se pojavi potreba
po nadzoru posameznih črpalk. Ker vse mikročrpalke v vezju poganja isto
zunanje magnetno polje, lahko poženemo, upočasnimo ali obrnemo teko-
činski tok le v vseh hkrati, nadzor posamezne pa ni mogoč. Omenjena
demonstracija črpanja toka v mikrofluidičnem vezju te težave ni odpravila,
zato smo zgoraj opisano zasnovo črpalke nadgradili z možnostjo dodatnega
nadzora nad posameznim rotorjem.
2. Princip delovanja magnetne mikročrpalke
Eden od načinov izdelave mikročrpalke je uporaba superparamagnetnih
koloidnih kroglic in ustreznega zunanjega magnetnega polja, v katerem se
kroglice sestavijo v vrteč skupek, ki poganja tekočinski tok. Superparama-
gnetne koloidne kroglice so majhne polimerne kroglice z velikostjo reda 1
µm, v katerih so razpršeni superparamagnetni nanodelci, običajno γ-Fe3O4
velikosti približno 10 nm. Kadar ni zunanjih magnetnih polj, je takšna
kroglica magnetno nevtralna. Če vklopimo zunanje polje z gostoto B, pa
se dipolni momenti superparamagnetnih nanodelcev v kroglici poravnajo s
poljem in s tem v njej inducirajo magnetni dipolni moment
m =
4πR3χ
3µ0
B , (1)
kjer je R polmer koloidne kroglice, χ njena magnetna susceptibilnost in µ0
indukcijska konstanta. Če takšno kroglico z magnetnim dipolnim momen-
tom m1 obravnavamo kot točkast dipol, lahko magnetno polje B1(r), ki ga
ustvarja, zapǐsemo kot
B1(r) =
µ0
4π
3r(m1 · r)− r2m1
r5
. (2)
Če v magnetno polje prve kroglice postavimo drugo z magnetnim dipol-
nim momentom m2, je interakcijska energija med njima enaka skalarnemu
produktu magnetnega momenta druge kroglice z magnetnim poljem prve:
EINT = −m2 ·B1 =
µ0
4π
(
(m1 ·m2)
r3
− 3(m1 · r)(m2 · r)
r5
)
. (3)
18 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 19 — #4 i
i
i
i
i
i
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko
Če je gibanje kroglic omejeno na ravnino, v kateri kroži zunanje magne-
tno polje, se gornji izraz za interakcijsko energijo poenostavi v
〈EINT 〉 = −
µ0
8π
m1m2
r3
. (4)
Interakcija med kroglicama je izotropna in v povprečju privlačna, kar po-
meni, da se superparamagnetne koloidne kroglice med seboj privlačijo in
sprimejo v skupke. Orientacija magnetizacije nanodelcev v posamezni kro-
glici in s tem smer dipolnega momenta celotne kroglice nekoliko zaostaja za
zunanjim poljem, zaradi česar nanje deluje magnetni navor M = m × B,
ki kroglico zavrti okoli lastne osi. Zaradi tega se superparamagnetna kolo-
idna kroglica v krožečem zunanjem magnetnem polju vrti okoli iste osi kot
zunanje polje, kar je mogoče opazovati pod mikroskopom. Magnetni navor
deluje tudi na skupek večih kroglic, zato se tak skupek prav tako vrti.
Slika 1. (a) Ko v ravnini tanke mikroskopske celice vklopimo krožeče zunanje magnetno
polje, se začnejo posamezne superparamagnetne kroglice vrteti, med njimi pa delujejo
privlačne sile. (b) Ko se sprimejo v skupek, se še vedno vrtijo posamezno in v skupku kot
celoti. (c) Primer hitro vrtečega skupka iz superparamagnetnih koloidnih kroglic velikosti
4,4 µm – pogled od zgoraj. (d) Magnetna pinceta, uporabljena za ustvarjanje magnetnih
polj v vzorcu.
Če vzamemo tri superparamagnetne koloidne kroglice v tanki mikro-
skopski celici in vklopimo v ravnini krožeče magnetno polje torej dobimo
rotor, katerega strukturo zagotavlja privlačna interakcija med koloidnimi
kroglicami. Zaradi magnetnega navora se rotor vrti v smeri kroženja polja,
kot je skicirano na sliki 1, in s tem poganja tekočinski tok. Na ta način je
izveden prenos energije za pogon črpalke na mikroskopsko skalo. Krožeče
magnetno polje za potrebe poskusov smo ustvarili z magnetno pinceto (slika
1 (d)).
Na majhnih velikostnih skalah obnašanje tekočinskih tokov ni vedno
intuitivno, ker so tokovi običajno laminarni. Za tekočinske tokove pri naših
poskusih je bila tipična dimenzija kanala L = 10 µm, hitrost toka reda
v = 1 µm/s, viskoznost vode pa je okoli 10−3 Ns/m2. Reynoldsovo število
16–24 19
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 20 — #5 i
i
i
i
i
i
Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj
Re = ρvL/η je v tem primeru reda 10−5, kar pomeni, da so bili tokovi
globoko v laminarnem režimu in smo lahko vztrajnostne sile v njih zanema-
rili. Prav tako je bila debelina dvodimenzionalne celice manj kot 10µm, zato
lahko vpliv vǐsinskih razlik med posameznimi deli tekočine zanemarimo. Za
tekočinski tok v eksperimentalnem sistemu lahko zato zapǐsemo poenosta-
vljeno Navier-Stokesovo enačbo
−∇p + η∇2v = 0 , (5)
kjer je p tlak v tekočini, η viskoznost in v hitrost tekočine. Gornja enačba je
od časa neodvisna, iz česar po Purcellovem teoremu (t. i. scallop theorem [5])
sledi, da mora biti črpalka zasnovana asimetrično, da pri vrtenju rotorja
lahko poganja tok tekočine po kanalu.
Zgoraj opisan pogon črpalke omogoča vzporedno delovanje večih črpalk,
saj lahko z istim zunanjim magnetnim poljem hkrati poganjamo veliko šte-
vilo črpalk v enem mikrofluidičnem vezju. Njegova glavna pomanjkljivost je,
da lahko poženemo, ustavimo ali obrnemo tekočinski tok le v vseh črpalkah
hkrati. Za nadzor nad posamezno črpalko je treba poiskati način za vpliv
na vrtenje posameznega rotorja in s tem omogočiti nadzor nad delovanjem
posamezne črpalke v vezju.
Ena izmed možnosti je uporaba dielektroforetske sile, ki deluje na di-
električna telesa v nehomogenem električnem polju. Takšno polje lahko
ustvarimo z elektrodami. Na kroglasto telo v nekem sredstvu v nehomo-
genem izmeničnem električnem polju s frekvenco ω deluje dielektroforetska
sila, katere časovno povprečena vrednost je
〈FDEP (r0, ω)〉 = 2π1R3 Re
2(ω)− 1(ω)
2(ω) + 21(ω)
∇
[
ERMS(r0)2
]
. (6)
Tu so R polmer telesa, E električno polje, 1,2(ω) = 1,2−iσ1,2/ω kompleksni
dielektričnosti sredstva in telesa, ter σ1,2 prevodnosti obeh snovi. Velikost
in smer sile sta odvisni od frekvence električnega polja, od kompleksnih
dielektričnosti sredstva in telesa v njem ter od velikosti gradienta polja.
Dielektroforetsko silo smo uporabili za nadzor posameznega rotorja tako,
da smo črpalko opremili z dvema paroma mikroelektrod, na katere smo
priklopili izmenično napetost. V bližini elektrod je električno polje močno
nehomogeno, zato na delce v bližini deluje dielektroforetska sila, s katero
lahko vplivamo na rotor in s tem spreminjamo njegovo hitrost ali položaj v
črpalni komori.
20 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 21 — #6 i
i
i
i
i
i
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko
3. Izvedba poskusa
Topološke mikrostrukture za potrebe poskusov smo izdelali v 6 µm debel
sloj fotorezista, ki je bil nanesen na standardno mikroskopsko objektno ste-
klo. Fotorezist smo osvetlili na sistemu za direktno lasersko osvetljevanje, ki
uporablja ultravijolični laserski snop z valovno dolžino λ = 375 nm. Sistem
s pomočjo akustooptičnih deflektorjev in računalnika natančno nadzoruje
položaj in intenziteto laserskega snopa, kar omogoča izris oziroma izdelavo
struktur z ločljivostjo pod 1 µm.
Slika 2. Postopek izdelave mikrofluidične celice. Debeline različnih slojev na skicah niso
v merilu. (a) Nanos fotorezista na objektno steklo. (b) Osvetljevanje fotorezista z UV
laserjem. (c) Segrevanje vzorca, ki konča proces polimerizacije fotorezista. (d) Odstra-
nitev (jedkanje) odvečnega fotorezista; na steklu ostane le mikrostruktura. (e) Polnjenje
strukture s koloidno suspenzijo. (f) Zatesnitev strukture; celica je s tem pripravljena za
meritve.
Za izdelavo rotorja črpalke smo uporabili suspenzijo vode in superpara-
magnetnih koloidnih kroglic s premerom 2R = 4,4 µm in susceptibilnostjo
1,6 v zunanjem magnetnem polju z gostoto okoli 3 mT. Iz enačbe (1) lahko
ocenimo magnetni dipolni moment posamezne kroglice, ki znaša okoli 10−13
Am2. Maksimalna interakcijska energija med parom kroglic je po (4) okoli
100 eV (4000 kT), največja sila pa reda 10 pN. Za opazovanje tekočinskega
toka smo v suspenzijo dodali še nemagnetne koloidne kroglice iz SiO2 s
premerom 2,3 µm.
Izdelana mikrostruktura je bila sestavljena iz 6 µm širokih dovodnih ka-
nalov in krožnega kanala z 10 µm široko komoro z rotorjem črpalke. Struk-
turo smo napolnili s pripravljeno suspenzijo, jo pokrili s krovnim steklom in
16–24 21
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 22 — #7 i
i
i
i
i
i
Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj
zatesnili, s čimer je bila mikroskopska celica pripravljena za poskus. Celoten
postopek izdelave mikrofluidične celice (vezja) je skiciran na sliki 2.
V bližino zaobljene komore smo z lasersko pinceto [6] pripeljali nekaj
superparamagnetnih koloidnih kroglic, ki so se v vrtečem zunanjem magne-
tnem polju sprijele v rotor. Pri izbrani geometriji kanalov in komore ter pri
vrtenju rotorja v nasprotni smeri urinega kazalca (slika 3) je črpalka poga-
njala tok tekočine po krožnem kanalu v smeri puščice. Na sliki so označene
tudi poti gibanja nemagnetnih koloidnih kroglic, na podlagi katerih smo opa-
zovali vodni tok po kanalih. Dobro so vidne Brownove fluktuacije kroglic,
naložene na gibanje v vzdolžni smeri.
Slika 3. Pogled od zgoraj na strukturo kanalov s širino in globino 6 µm. V nekoliko
širši komori je vrteč rotor iz superparamagnetnih koloidnih kroglic premera 4,4 µm, ki
poganja tok tekočine po kanalih. Tok je nakazan s puščicami in potmi (lomljene črte)
manǰsih nemagnetnih kroglic.
Hitrost toka tekočine smo ocenili iz hitrosti gibanja nemagnetnih kro-
glic. Izmerili smo, da hitrost narašča linearno s frekvenco rotorja, največje
dosežene hitrosti so bile do 5 µm/s. Odvisnost frekvence rotorja od fre-
kvence zunanjega magnetnega polja in odvisnost hitrosti sledilnih kroglic
od frekvence rotorja prikazuje slika 4.
Za izdelavo črpalke z mikroelektrodami smo uporabili mikroskopsko ob-
jektno steklo z naparjeno tanko plastjo kroma, nanj nanesli fotorezist in
izdelali mikrostrukturo v obliki štirih elektrod. Po jedkanju odvečnega fo-
torezista smo z jedkanjem odstranili odvečni krom ter preostalo strukturo
iz fotorezista, tako da je na steklu ostala le tanka mikrostruktura iz kroma.
Nanesli smo še drugi sloj fotorezista in izdelali ustrezno topološko strukturo
kanalov. Tako smo dobili dvoplasten sistem kanalov in elektrod. Zasnova
kanalov je ostala skoraj enaka, le da je bila črpalna komora simetrično zaob-
ljena in opremljena z elektrodami. Izdelana struktura je prikazana na sliki
5 (a).
22 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 23 — #8 i
i
i
i
i
i
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko
Slika 4. Levo: frekvenca vrtenja rotorja v odvisnosti od frekvence zunanjega magnetnega
polja. Desno: hitrost toka sledilnih nemagnetnih kroglic v odvisnosti od frekvence rotorja
črpalke.
Z vklopom izmenične napetosti na elektrodah začne na rotor delovati
dielektroforetska sila. V primeru, prikazanem na sliki 5 (b), se rotor vrti
ob desni steni črpalne komore v smer, nasprotno smeri urinega kazalca, ter
s tem črpa tok tekočine v smer, ki je označena s puščico. S spremembo
predznaka napetosti na elektrodah se rotor premakne na nasprotno stran
črpalne komore, zaradi česar se smer toka obrne (slika 5 (c)).
Slika 5. (a) Pogled od zgoraj na strukturo kanalov, narejenih v plast fotorezista, pod
katero je tanka struktura iz kroma (črna barva). (b) Ko se zunanje magnetno polje v
ravnini kanala vrti v smer, nasprotno smeri urinega kazalca, rotor ustvarja tok tekočine v
smeri, označeni s puščico. (c) Če rotor pri istih pogojih s spremembo predznaka napetosti
na elektrodah premaknemo na nasprotno stran črpalne komore, se smer toka obrne. Bela
črtica na slikah ustreza dolžini 10 µm.
S spreminjanjem predznaka napetosti na obeh parih elektrod torej lahko
spreminjamo smer tekočinskega toka, s spreminjanjem velikosti napetosti
pa je možno rotor upočasniti ali ustaviti in tako zvezno uravnavati pretok
tekočine skozi črpalko. Zunanje magnetno polje, ki poganja črpalke, pri tem
16–24 23
i
i
“obzornikKavcic” — 2009/3/30 — 17:33 — page 24 — #9 i
i
i
i
i
i
Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj
ostane nespremenjeno.
4. Sklep
Prikazali smo, da je mogoče izdelati preprosto mikrofluidično črpalko, ki
je sestavljena iz superparamagnetnih koloidnih kroglic. Zunanje magnetno
polje zagotavlja trdnost rotorja in črpalko hkrati poganja ter s tem omogoča
prenos energije za pogon črpalke na mikroskopsko skalo. Rotor črpalke se v
magnetnem polju sestavi sam. Hitrost in smer črpanja tekočinskega toka sta
odvisni od gostote, hitrosti in smeri vrtenja zunanjega magnetnega polja.
Kadar pa imamo v enem mikrofluidičnem vezju večje število podobnih
črpalk, ki jih poganja isto zunanje magnetno polje, lahko smeri in hitrosti
vrtenja rotorjev s poljem spreminjamo le v vseh črpalkah v vezju hkrati.
Zato je pomembno, da ima posamezna črpalka v vezju dodatno možnost
individualnega nadzora nad rotorjem in s tem tudi nad hitrostjo in smerjo
toka tekočine skozi posamezno črpalko. Z uporabo dielektroforetske sile v
nehomogenem električnem polju elektrod smo omogočili in v praksi prvič
prikazali nadzor tako smeri kot tudi hitrosti črpanja posameznih črpalk, ki
jih poganja isto zunanje magnetno polje.
Zahvala
Opisano delo je bilo narejeno v Laboratoriju za eksperimentalno fiziko
mehke snovi na Oddelku za fiziko na Fakulteti za matematiko in fiziko,
Univerza v Ljubljani. Zahvaljujemo se Natanu Ostermanu za pomoč in šte-
vilne praktične nasvete, Urošu Jorgačevskemu za izdelavo mehanskih delov,
dr. Petru Panjanu iz odseka F3 Instituta Jožef Stefan za naparevanje tankih
slojev kroma na steklo ter dr. Mojci Vilfan iz odseka F7 za nasvete pri delu.
LITERATURA
[1] G. M. Whitesides, The origins and the future of microfluidics, Nature 442 (2006),
str. 368–373.
[2] T. M. Squires in S. R. Quake, Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale,
Rev. Mod. Phys. 77 (2005) 3, str. 977–1026.
[3] J. W. Hong in S. R. Quake, Integrated nanoliter systems, Nature Biotechnol. 21 (2003),
str. 1179–1183.
[4] S. Bleil, D. W. M. Marr in C. Bechinger, Field-mediated self-assembly and actuation
of highly parallel microfluidic devices, Appl. Phys. Lett. 88 (2006), 263515.
[5] E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, Am. J. Phys. 45 (1977) 1, str. 3–11.
[6] A. Ashkin, J. M. Dziedzic, J. E. Bjorkholm in S. Chu, Observation of a single-beam
gradient force optical trap for dielectric particles, Opt. Lett. 11 (1986) 5, str. 288.
24 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 25 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
ZOISOVE NAGRADE IN PRIZNANJA ZA
ZNANSTVENORAZISKOVALNO DELO V LETU 2008
V Cankarjevem domu v Ljubljani so 24. 11. 2008 slavnostno podelili
najvǐsje državne nagrade za znanstvenoraziskovalne in razvojne dejavnosti
za leto 2008. Med letošnjimi nagrajenci so bili tudi trije slovenski fiziki.
Akademik Robert Blinc, zaslužni profesor na Fakulteti za matematiko in
fiziko Univerze v Ljubljani in častni doktor Univerze v Ljubljani, je prejel
Zoisovo nagrado za življenjsko delo na področju fizike trdne snovi. Peter
Križan, redni profesor na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani in znanstveni svetnik na Institutu Jožef Stefan, je prejel Zoisovo
nagrado za vrhunske dosežke na področju fizike osnovnih delcev. Denis
Arčon, docent na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani
ter znanstveni sodelavec Instituta Jožef Stefan, pa je prejel Zoisovo priznanje
za pomembne dosežke na področju fizike trdne snovi. Povzemimo uradne
utemeljitve Ministrstva za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo.
Slika 1. Akademik prof. Robert Blinc
Akademik prof. dr. Robert Blinc je naš vodilni strokovnjak na podro-
čju fizike kondenzirane snovi. Osrednja tematika njegovega raziskovalnega
dela je uporaba metode jedrske magnetne resonance pri študiju faznih preho-
dov. Kot se je v svetu usmeritev raziskav premikala od popolnoma urejenih
sistemov (kristalov) prek delno neurejenih kristalov in tekočih kristalov do
tekočin in kondenziranih snovi z zamrznjenim neredom, se je premikala tudi
raziskovalna usmeritev dr. Blinca od reda proti neredu, osnovna razisko-
valna metoda pa ostaja jedrska magnetna resonanca. Prve pomembne in
odmevne študije so bile posvečene analizi vodikove vezi v kristalih, potem
pa je s sodelavci prešel na feroelektrične kristale, tekoče kristale, proton-
ska in devteronska stekla, na organske feromagnete, itd. Na teh področjih
je dr. Blinc objavil ogromno število zelo odmevnih člankov (več kot 650
člankov in več kot 14 000 citatov), veliko tudi v najugledneǰsih svetovnih
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 25
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 26 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
revijah, ter nekaj pomembnih knjig, med njimi dve obsežni monografiji iz-
dani v tujini, s prevodi iz angleščine v druge jezike. Naravna posledica
tega je ogromno število (več kot 110) vabljenih predavanj na velikih med-
narodnih znanstvenih srečanjih ter zelo aktivno sodelovanje v mednarodnih
strokovnih organizacijah in v vrsti mednarodnih projektov. Zaradi potrebe
po celovitem obravnavanju problemov se je v laboratoriju dr. Blinca poleg
jedrske magnetne resonance razvilo še mnogo komplementarnih eksperimen-
talnih metod. Nastal je laboratorij, ki mu ga ni para v tem delu Evrope, je
pa tudi svetovno konkurenčen ter aplikativno uspešen. Dr. Blinc je vzgo-
jil 35 doktorjev znanosti na področjih svojega delovanja in zgradil uspešno
raziskovalno skupino, ki se ponekod imenuje ljubljanska šola fizike.
Slika 2. Prof. Peter Križan v laboratoriju na Institutu Jožef Stefan
Prof. dr. Peter Križan že več kot dve desetletji raziskuje lastnosti me-
zonov B. Prav njegov mednarodni ugled, ki si ga je pridobil z načrtovanjem
tovrstnih raziskav, mu je omogočil, da se je s skupino slovenskih razisko-
valcev leta 2001 priključil skupini BELLE na asimetričnem trkalniku elek-
tronov in pozitronov v laboratoriju KEK na Japonskem. V kratkem času
se je pod njegovim vodstvom slovenska skupina uveljavila v mednarodni
skupini, v kateri je danes 380 znanstvenikov iz 55 institucij. V skupini je
prevzel pomembne dolžnosti in je od leta 2002 član njenega ožjega vodstva.
Znanstveno delo profesorja Križana in njegovih sodelavcev zajema meritve
kršitve simetrije CP med mešanjem nevtralnih mezonov B, meritve direk-
tne kršitve simetrije CP v razpadih mezonov B, meritve velikosti matričnih
elementov |Vcb| in |Vub| prek semileptonskih razpadov mezonov B ter meritve
26 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 27 — #3 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade in priznanja za znanstvenoraziskovalno delo v letu 2008
redkih razpadov mezonov B. Znanstveni izsledki pomenijo nova dognanja
pri razumevanju asimetrije med snovjo in antisnovjo v vesolju, zato ni ču-
dno, da so izsledki raziskav objavljeni v najugledneǰsih znanstvenih revijah.
Še več, skupina BELLE je veliko prispevala k eksperimentalni potrditvi te-
oretičnega modela asimetrije, za katerega je bila letos podeljena Nobelova
nagrada za fiziko. Znanstveni dosežki profesorja Križana so velik prispe-
vek slovenske znanosti v zakladnico svetovnega znanja ter so pripomogli k
uveljavitvi slovenske znanosti in slovenske eksperimentalne fizike delcev v
mednarodnem prostoru.
Slika 3. Doc. Denis Arčon (na sliki desno) med odmorom na mednarodnem znanstvenem
srečanju
Doc. dr. Denis Arčon je v zadnjem obdobju proučeval lastnosti fule-
renov. Te snovi, zgrajene iz molekul C60, so lahko odvisno od dopiranja
po eni strani kovine oziroma superprevodniki, po drugi pa izolatorji, ki pri
nizkih temperaturah dobijo magnetne lastnosti. Za izolator TDAE-C60 je
dr. Arčon z meritvami z mionsko spinsko relaksacijo in feromagnetno reso-
nanco pokazal, da je pri nizkih temperaturah feromagneten. Prav tako je za
(CH3NH2)K3C60 z metodo elektronske paramagnetne resonance pokazal, da
je izolator in ne kovina ter da preide pri nizkih temperaturah v antiferoma-
gnetno stanje. Te nove eksperimentalne izsledke je dr. Arčon tudi pojasnil in
s tem bistveno pripomogel k razumevanju fizike dopiranih fulerenov. Ta dela
so bila objavljena v osmih člankih v najugledneǰsih znanstvenih časopisih in
so naletela na velik mednarodni odziv. Celotna bibliografija dr. Arčona, ki
je s temi deli tesno povezana, zajema 107 člankov, ki so bili do zdaj navedeni
skoraj 900-krat.
Vsem trem nagrajencem iskreno čestitamo.
Urednǐstvo
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 27
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 28 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
MATEMATIČNE NOVICE
Matematik – najbolǰsi poklic?
Na internetnem portalu [1], namenjenemu iskanju zaposlitev v ZDA,
najdemo seznam najbolǰsih oziroma najslabših poklicev, ki je zbudil pozor-
nost tudi v nekaterih uglednih množičnih medijih. Seveda je vsako tako
razvrščanje nezanesljivo. Tokrat avtorji razložijo tudi metodologijo. Velik
poudarek je bil dan tveganjem in stresu na delovnem mestu. Kakorkoli
že, po tej listi so na trinajst najbolǰsih mestih (amerǐsko metodologijo sem
poskušal približati našim razmeram): matematik, aktuar, statistik, biolog,
računalnǐski inženir – razvijalec programske opreme, računalnǐski inženir
– analitik, zgodovinar, sociolog, industrijski oblikovalec (ta poklic v ZDA
zahteva tudi nekaj tehničnega znanja), računovodja, ekonomist – analitik,
filozof, fizik. Na petnajstem mestu je meteorolog, na dvajsetem astronom.
Seznam kaže na to, da v ZDA primanjkuje in bo primanjkovalo strokovnja-
kov določenih profilov, predvsem na naravoslovno-tehničnem področju, pa
tudi – presenetljivo – na nekaterih humanističnih področjih.
Kot nekakšno protiutež omenimo tudi seznam [2] deset poklicev v ZDA,
ki človeku prinašajo največje zadovoljstvo. Na desetem mestu so inženirji v
operativi, sicer pa na tem seznamu ni prej omenjenih poklicev. (Na njem je
sicer več zaposlitev, ki zahtevajo posebno nadarjenost ali usmeritev in zanje
je včasih teže najti delovno mesto.) Najmanj zadovoljni s svojim poklicem
so krovci. Študijo je izvedel Center za raziskavo javnega mnenja na Univerzi
v Chicagu, ki je meril tudi občutenje sreče pri zaposlenih. Na sedmem mestu
najbolj srečnih so ”znanstveni tehniki“ (kamor bi spadali recimo diplomantinaše Fizikalne merilne tehnike) in na devetem mestu inženirji v industriji.
Ali je matematika platonistični objekt ali socialni konstrukt?
Zanimiva razprava na to temo v zadnji številki revije EMS Newsletter
[3] bo verjetno pritegnila tudi tiste, ki jih filozofija sicer ne zanima. Dva
odlična matematika zagovarjata različne poglede in oba imata svoj prav,
predvsem pa povesta marsikaj zanimivega. To je nadaljevanje debate iz
preǰsnjih številk glasila Evropskega matematičnega društva.
Kongres mladih matematikov srednješolcev
V pravkar omenjeni reviji [3] najdemo poročilo o osmem kongresu mladih
matematikov srednješolcev (Junior mathematical congress), ki je bil poleti
2008 v nemškem mestu Jena. Udeleženci so predstavili svoje raziskovalne
naloge. Naslednja kongresa bosta 2010 v bolgarskem mestu Ruse ob Donavi
in 2012 v Edinburghu na Škotskem. Kljub pozivu k udeležbi pa žal ni
naslovov organizatorjev; verjetno se bodo še pojavili, morda na novi spletni
strani Evropskega matematičnega društva [4].
28 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 29 — #5 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
Mimogrede, v isti reviji [3] najdemo še analizo kit in drugih vzorcev v
pletenju in kvačkanju.
Digitalna knjižnica matematičnih funkcij in prevajalnik iz LATEXa
v XML
Na spletnem naslovu [5] imamo predogled majhnega dela digitalne knji-
žnice matematičnih funkcij, ki se zgleduje po znanem priročniku za specialne
funkcije Abramowitz-Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Posame-
zna poglavja so na novo napisali strokovnjaki za posamezna področja. Delo
naj bi letos izšlo tudi v knjižni obliki. Na gornjem naslovu pa bo prosto
dostopno, skupaj s povezavami, ki bodo omogočale računanje in risanje.
Gostitelj spletne strani je amerǐski National Institute of Standards and Te-
chnology. Pri delu nastaja tudi prevajalnik iz LATEXa v spletu prilagojen
jezik XML. V še ne dokončni obliki ga lahko preskusimo na [6].
LITERATURA
[1] JobsRated.com – A Comprehensive Ranking of 200 Different Jobs,
http://www.careercast.com/jobs/content/JobsRated_Top200Jobs .
[2] Tom W. Smith, Job Satisfaction in the United States,
http://www.norc.org/nr/rdonlyres/2874b40b-7c50-4f67-a6b2-26bd3b06ea04/0/
jobsatisfactionintheunitedstates.pdf .
[3] EMS Newsletter December 2008,
http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2008-12-70.pdf .
[4] The European Mathematical Society, http://www.euro-math-soc.eu/.
[5] NIST Digital Library of Mathematical Functions, http://dlmf.nist.gov/.
[6] LATEXML: A LaTeX to XML Converter, http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/.
Peter Legǐsa
DMFA SLOVENIJE V ZADNJIH DESETIH LETIH
V obdobju zadnjih desetih let so se v življenju društva pokazale nekatere stal-
nice, ki še danes določajo njegovo delovanje. V tem sestavku jih bom skušal na
kratko orisati, kakor jih pač vidim s svojimi skromnimi dveletnimi izkušnjami, ki
sem si jih pridobil kot predsednik društva od novembra 2006 do novembra 2008.
Brez prebiranja različnih zapisnikov in poročil o delu ter zlasti pogovorov z dolgo-
letnimi člani društva tega seveda ne bi mogel storiti. Zato se njim in vsem drugim
kolegom, ki so mi posredovali pomembne informacije ali me opozorili na napake,
za pomoč iskreno zahvaljujem.
1. Razmah tekmovanj
Tekmovanja iz matematike in fizike za osnovnošolce in srednješolce so naša
tradicionalna dejavnost, s katero se lahko pohvalimo. V zadnjem desetletju so se
kvečjemu še okrepila.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 29
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 30 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
Množičnost in raznovrstnost. Tekmovanja za vse starostne skupine, od
najmlaǰsih do študentov, v okviru mednarodnega matematičnega kenguruja so se
po začetnih pomislekih lepo uveljavila. Zadnja leta dosega udeležba prav neverjetne
številke, ki se bližajo številu 90 000 tekmovalcev. Vseh registriranih udeležencev
na vseh treh nivojih tekmovanj: šolskem, področnem in državnem pa je več kot
110 000. Poleg tradicionalnih tekmovanj za Vegovo in Stefanovo priznanje ter tek-
movanj srednješolcev v matematiki in fiziki so se pojavile nove kategorije doma
(tekmovanje dijakov srednjih tehnǐskih in strokovnih šol v znanju matematike leta
2001, tekmovanje dijakov poklicnih šol v znanju matematike leta 2001, tekmova-
nje v znanju poslovne matematike za srednje šole leta 2003, različna internetna
tekmovanja) in v mednarodnem okviru (sredozemsko matematično tekmovanje leta
1998, srednjeevropska matematična olimpijada leta 2007). Obetajo pa se še nova
mednarodna tekmovanja.
Tekmovalni uspehi. Na tem mestu je vsekakor treba povedati, da so v za-
dnjem času naši srednješolci posamično ali ekipno na mednarodnih olimpijadah
dosegli nekatere najbolǰse tekmovalne dosežke v zgodovini: ob obilici bronastih
medalj in pohval naj omenim tri srebrne kolajne iz matematike (Irena Majcen leta
2000, Ga²per Zadnik leta 2005 in Matjaº Ber£i£ leta 2006) ter zlato medaljo iz
fizike (Matija Perne leta 2002) in dve srebrni medalji iz fizike (Andrej Ko²mrlj leta
2001, Matjaº Payrits leta 2008). Ekipno so bili matematiki najbolǰsi leta 2006 na
olimpijadi v Sloveniji (1 srebrna, 3 bronaste medalje in 2 pohvali) in leta 2007 v
Vietnamu (5 bronastih medalj, 1 pohvala), fiziki pa letos v Vietnamu (1 srebrna, 3
bronaste medalje in 1 pohvala v 5-članski ekipi).
Spremljajoče dejavnosti. Najbolǰse tekmovalce smo vedno skušali primerno
nagraditi in motivirati za nadaljnje delo. Poleg intenzivneǰsih priprav na olimpi-
jade, poletnih šol in raziskovalnih dni, kjer so izvedeli mnogo novega, so se nekateri
”kengurujevci“ v letih 2002, 2003 in 2004 udeležili mednarodnih taborov v Fran-ciji, na Madžarskem in v Nemčiji, uvedli smo zaključni nagradni izlet (leta 2005
v Benetke, leta 2006 v Salzburg, leta 2007 na Dunaj in leta 2008 v Verono). Od
leta 2003 potekajo skupne podelitve nagrad in priznanj v ljubljanskem Koloseju
(edino leta 2004 je bilo v Celju), kamor povabimo uspešne tekmovalce v vseh ka-
tegorijah, njihove starše in mentorje, dekane fakultet, predstavnike šolskih oblasti
in vsakokratne ministre in jim ob spremljajočem kulturnem programu podelimo
zaslužena priznanja skupaj s knjižnimi nagradami, predstavimo olimpijske ekipe
ter omogočimo ogled zanimivega filma.
Organizacija. Uspehov seveda ne bi bilo brez dobre organizacije in seveda brez
naporov ljudi, ki stojijo za temi tekmovanji (od mentorjev, lokalnih organizatorjev
po šolah, tekmovalnih komisij do vodij posameznih tekmovanj). Odločilne so dol-
goletne izkušnje in predano delo vodstva tekmovanj, stalna ekipa, trden koncept in
premǐsljena pravila. Za tradicionalna tekmovanja srednješolcev in osnovnošolcev v
matematiki in fiziki že ves čas skrbijo Gregor Dolinar, Ciril Dominko, Darjo Felda
in Matjaº šeljko ob mlaǰsih sodelavcih Klavdiji Mlin²ek (prej Aleksander Poto£-
nik), Sa²u Koºuhu (prej Jelislava Sakel²ek) in Ireni Majcen. Darjo Felda vodi
tudi sredozemsko matematično tekmovanje, kjer so naloge primerljive s tistimi na
30 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 31 — #7 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
olimpijadi. Tekmovanje iz matematike za srednje tehnǐske in strokovne šole vodi
Darinka šiºek, za poklicne šole pa Du²anka Vren£ur, tekmovanje v znanju poslovne
matematike pa prireja Darko Rupret. Poleg tega Izidor Hafner že več kot dvajset
let pripravlja tekmovanja iz razvedrilne matematike in logike, zadnjih nekaj let so
se jim pridružila tudi različna spletna tekmovanja. Podobno dolgo tradicijo ima
tudi matematično tekmovanje mest, zanj že ves čas skrbi Gregor Cigler.
Poudariti je treba, da smo v zadnjem desetletju na področju tekmovanj dosegli
vǐsjo kvalitetno raven in večjo profesionalizacijo dela. Poenostavili in poenotili smo
nekatere postopke glede obveščanja, dostopa do nalog za priprave, prijavljanja na
tekmovanja, iskanja rezultatov, vlaganja pritožb, tiskanja priznanj itd. Kjer se
je le dalo, smo uvedli avtomatizacijo, zmanǰsali stroške in standardizirali obrazce;
posodobili in poenotili smo grafično podobo priznanj. Vsega tega seveda ne bi
bilo brez ustrezne sodobne informacijske in tehnološke podpore, ki jo je bilo treba
vzpostaviti in potem tudi vzdrževati, za kar je zaslužen Matjaº šeljko.
Poleg organizatorskih izkušenj je gotovo pomembno tudi konstruktivno in re-
dno sodelovanje z državnimi organi in v mednarodnih forumih (Ciril Dominko je
član državnega programskega sveta za tekmovanja v znanju, Gregor Dolinar je
član dveh visokih mednarodnih svetovalnih odborov, za matematični kenguru in za
matematično olimpijado, Matjaº šeljko je svetovalec za informacijsko tehnologijo
pri mednarodni matematični olimpijadi; vzdržuje tudi njeno uradno spletno stran).
Mednarodno odmevne prireditve. V zvezi s tekmovanji naj omenim ne-
kaj pomembnih posameznih dogodkov. Leta 1998 je bila v Ljubljani seja evropske
tehnične komisije za mednarodni (takrat še evropski) matematični kenguru, ki jo
je v imenu društva organiziral Gregor Dolinar. Spomladi leta 2006 smo v Kočevju
nekoliko bolj slovesno kot sicer izvedli 50. tekmovanje srednješolcev v matema-
tiki. In ne nazadnje, istega leta je bila ob večletnih pripravah, nesebičnem oseb-
nem angažiranju številnih posameznikov, materialni pomoči različnih sponzorjev
in proračunskem financiranju države v Sloveniji uspešno izvedena 47. mednarodna
matematična olimpijada. Zasluga zanjo gre predsedniku organizacijskega odbora
in takratnemu predsedniku društva Zvonku Trontlju, vodilni ekipi slovenskih ma-
tematičnih tekmovanj (Gregor Dolinar, Darjo Felda, Matjaº šeljko), ocenjevalcem,
ki jih je vodil Andrej Bauer, ljudem, ki so pod vodstvom Klavdije Mlin²ek skrbeli
za spremljajoče dejavnosti (ogledi, izleti), ter številnim drugim sodelavcem na vseh
nivojih. O vsem dogajanju je bilo izdano zajetno poročilo v angleščini in kratek
DVD film. Olimpijada je bila za nas velik organizacijski dosežek, eden največjih
v zgodovini društva, in hkrati dobra promocija naše države in našega društva v
svetu, za kar smo dobili nekaj laskavih domačih in mednarodnih priznanj.
Težave. Seveda je bilo ob vsem tem tudi nekaj problemov, ki smo jih reševali
sproti. V preǰsnjih letih nas je občasno pestilo prekrivanje tekmovanj iz različnih
predmetov, v zadnjih dveh letih pa smo morali prilagajati vsebino tekmovalnih
nalog premakljivemu urniku pri pouku fizike v osnovni šoli. Resneǰse težave smo
občasno imeli v zvezi s financiranjem tekmovanj. Od leta 2000 dalje smo se morali
vsako leto znova prijavljati na javne razpise, s katerimi smo si zagotovili sredstva
za izvedbo tekmovanj. Pri tem so bili pogosto preceǰsnja ovira pozno objavljeni
razpisi in kratki roki, zlasti pa pozno nakazovanje denarja z ministrstva (za izvedbo
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 31
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 32 — #8 i
i
i
i
i
i
Vesti
spomladanskih tekmovanj smo si večkrat morali rezervirati denar vnaprej oziroma
si ga sposoditi). Ko smo leta 2002 uvedli obvezne prijavnine za šolska tekmovanja,
se je ta problem malce omilil. Ministrstvo je v zadnjih treh letih prav za velika
tekmovanja, kot so npr. mednarodne olimpijade, namenjalo premalo sredstev, ki so
pokrila stroške zgolj za enega ali dva člana ekipe. Poleg tega ni upoštevalo, da so
ta tekmovanja pogosto v oddaljenih krajih našega planeta, s čimer se potni stroški
za nas enormno povečajo. Protestirali smo pri ministru, a ni nič zaleglo. Zato smo
na državnem nivoju predlagali sprejem novega krovnega pravilnika o tekmovanjih v
znanju. S tem v zvezi je bilo precej dela in sestankov, od naših članov se je najbolj
angažiral Ciril Dominko. Pravilnik je zdaj sprejet v skladu z našimi zahtevami,
pravega učinka pa še ni, a upamo, da se bo tudi to spremenilo na bolje.
2. Oživljena raziskovalna dejavnost
Raziskovanje tako na področju fizike kakor tudi na področju matematike se je na
Slovenskem v zadnjem desetletju močno okrepilo, doseglo vǐsji nivo in se uveljavilo
tudi v mednarodnem merilu. Čeprav so člani društva tudi številni matematiki in
fiziki, ki se ukvarjajo z raziskovanjem in sodelujejo na številnih domačih in tujih
specializiranih mednarodnih konferencah, se to morda premalo vidi v delovanju
društva. Društveni glavni prispevek raziskovanju je v tem, da s popularizacijo
naših ved med mladimi in selekcijo med najbolǰsimi mladimi tekmovalci skrbi za
to, da ne usahneta zanimanje in volja za nadaljnji študij matematike in fizike ter
raziskovalno poklicno usmerjenost mladih talentov. Poleg tega daje društvo streho
in logistično pomoč nekaterim raziskovalnim skupinam, ki sicer delujejo samostojno,
in sodeluje pri različnih akcijah na raziskovalnem področju.
Predstavitve najbolǰsih raziskovalcev. Leta 1998 je takratni predsednik
društva Tomaº Pisanski ponovno oživil t. i. matematični kolokvij, ki je na Oddelku
za matematiko in mehaniko FNT (ob četrtkih) deloval že v sedemdesetih letih. Prvi
je na obnovljenem kolokviju predaval profesor Ivan Vidav, za njim pa so se zvrstili
najbolǰsi slovenski in nekateri tuji raziskovalni matematiki. Kolokviji potekajo
enkrat na mesec (razen poleti) na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani in so tudi kar dobro obiskani. Do konca leta 2008 se je na njih predstavilo
okroglo 100 znanstvenikov, povprečno 10 na leto. Fiziki imajo v okviru fakultete
podobne kolokvije od leta 1998 (od maja 2007 se imenujejo ponedeljkovi kolokviji);
doslej je bilo vseh čez 270, povprečno 25 na leto.
Tudi ob vsakoletnih občnih zborih društva so v zadnjih desetih letih vabljena
plenarna predavanja. Našim vrhunskim raziskovalcem na področju matematike
in fizike, ki so v preteklem letu prejeli Zoisovo nagrado ali priznanje za vrhunske
znanstvene dosežke, kakšno drugo prestižno nagrado na področju znanosti in izo-
braževanja ali napisali kakšno odmevno knjigo v tujem jeziku, damo možnost, da
širši publiki predstavijo delček svojega dela. Doslej so v tem sklopu npr. predavali
Matej Bre²ar, Peter ’emrl, Du²an Repov², Tomaº Pisanski, Janez Strnad, Marko
Petkov²ek, Matjaº Omladi£, Janez Dolin²ek, Dragan Maru²i£, Bojan Mohar, Janez
Bon£a, Tomaº Ko²ir, Janez Mr£un, Tomaº Prosen, ƒrt Zupan£i£, Svjetlana Fajfer
in Sandi Klavºar.
32 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 33 — #9 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
Raziskovalna srečanja. Vzporedno in neodvisno od društvenih srečanj uči-
teljev matematike in fizike ob občnih zborih zdaj že celo desetletje, od 1998 dalje,
vsako drugo leto potekajo srečanja fizikov, ki se ukvarjajo z osnovnimi raziskavami.
Organizira jih Igor Mu²evi£. Ta srečanja so zelo obiskana, na njih se predstavijo
mnogi mladi stažisti raziskovalci in podiplomski študentje, ki poročajo o svojem
raziskovalnem delu v zvezi z doktoratom in o drugih raziskavah. Vsako drugo leto
pa se srečajo raziskovalci, ki se ukvarjajo z uporabo fizike v gospodarstvu ali delajo
na različnih inštitutih. Srečanja pripravlja in vodi Janko Luºnik. Ta skupina ima
že več kot tridesetletno tradicijo, nekaj časa se je srečavala tudi v jugoslovanskem
okviru. Fiziki prirejajo tudi poleti svoja mednarodna znanstvena srečanja, in sicer
v Plemljevi hǐsi na Bledu. Od leta 1999 se redno sestajata skupina Norme Manko£-
Bor²tnik (o nadstandardnem modelu) in skupina Bojana Gollija, Mitje Rosine ter
Simona ’irce (o kvarkih in hadronih), občasno še druge, tudi iz matematike in
astronomije.
Junija leta 2004 je bila v Portorožu 10. mednarodna konferenca PIXE 2004
(Particle-induced X-ray Emission and its Analytical Applications), kjer je bilo med
organizatorji poleg Instituta Jožef Stefan in Oddelka za fiziko FMF uradno tudi
DMFA Slovenije.
Raziskovalci na področju matematike v tem času niso bili tako dosledni, vsaj
kar se vsakoletnih srečanj v okviru društva tiče. Medtem ko so bili navdušenci za
uporabno matematiko v 90-tih letih, do leta 2000, zelo aktivni in so vsako leto pre-
davali v posebni sekciji (ki sta jo vodila Marko Razpet in potem Mihael Perman),
je ta dejavnost zamrla za šest let. Na pobudo Tomaºa Pisanskega sta jo oživila
Emil šagar in Bo²tjan Kuzman z organizacijo Slovenskega srečanja matematikov
raziskovalcev, v okviru katerega so bili v letih 2007 in 2008 poleg različnih strokov-
nih in znanstvenih prispevkov predstavljeni tudi nekateri odmevneǰsi mednarodni
dosežki slovenskih avtorjev.
Tesneǰse mednarodno sodelovanje. Vse od osamosvojitve Slovenije, še
zlasti pa v zadnjem desetletju, se krepi povezanost društva s svetom, tako z med-
narodnimi organizacijami, kot so Evropsko matematično društvo (EMS), Evropsko
fizikalno društvo (EPS), Mednarodna matematična unija (IMU), Mednarodna unija
za čisto in aplikativno fiziko (IUPAP), kakor tudi z drugimi društvi. Na društve-
nem nivoju smo vzpostavili stike z matematičnimi in fizikalnimi društvi sosednjih
držav, pa tudi z drugimi, npr. angleškim fizikalnim društvom, španskim kraljevim
matematičnim društvom (RSME), s katerim smo leta 2004 sklenili sporazum o vza-
jemnem priznavanju članstva, tako kot že prej leta 1995 z amerǐskim matematičnim
društvom (AMS). Občasno smo se pogovarjali še s predstavniki drugih matema-
tičnih društev (npr. s predstavniki srbskega, japonskega, nemškega, kanadskega,
češkega, švicarskega društva). Nacionalna komiteja za fiziko in za matematiko sta
na mednarodnem področju zelo aktivna. Fizikalni komite je do leta 1998 vodila
Norma Manko£ Bor²tnik, nato ga je prevzel Zvonko Trontelj, leta 2002 šiga ’mit,
leta 2006 pa Tomaº Podobnik. Matematičnega je do leta 2004 vodil Peter Legi²a,
po tem letu pa Tomaº Pisanski. Pred dobrim letom sta se komiteja preimenovala
v Slovenski odbor za fiziko in Slovenski odbor za matematiko. Naši predstavniki
se pogosto udeležujejo mednarodnih sestankov, najbrž pa vse možnosti za večjo
sodelovanje DMFA Slovenije vsaj z EMS in EPS še niso izčrpane.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 33
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 34 — #10 i
i
i
i
i
i
Vesti
3. Stalna izobraževalna dejavnost
V okviru društva se izobraževalna dejavnost v zadnjem obdobju omejuje v glav-
nem na strokovne seminarje in (občasno) strokovne ekskurzije. Vsako leto se izme-
njujejo seminarji za učitelje, enkrat je na vrsti matematika, drugič fizika. Udeležba
se zlasti pri matematiki zadnja leta povečuje, najbrž tudi zaradi večjega števila
profesorjev matematike v osnovni šoli. Poleg tega že nekaj let organiziramo tudi
pedagoško usmerjen seminar v okviru vsakoletnega srečanja učiteljev ob občnem
zboru društva. Medtem ko so bile prej na sporedu raznovrstne, včasih tudi precej
poljubne in heterogene teme, prevladuje v zadnjih letih bolj enotna tematika, npr.
motivacija pri pouku leta 2007, preverjanje znanja leta 2008 itd. Običajno je semi-
nar razdeljen v več skupin glede na stroko in glede na problematiko v osnovni in v
srednji šoli. Občasno organiziramo tudi okrogle mize in predstavitve (npr. o maturi
leta 1999, ko je poleti odstopila področna maturitetna komisija za matematiko, in
leta 2005, ko je pogovor vodil Tomaž Pisanski, predsednik maturitetne komisije
za matematiko, o tekmovanjih leta 2001, o Preseku leta 2003, o novih bolonjskih
študijih matematike in fizike leta 2007, o usklajenem izvajanju učnega načrta za
matematiko in fiziko v gimnazijah leta 2008). Pred desetimi leti smo za letna sre-
čanja rezervirali kar tri dni (še četrtek popoldne), vendar se je izkazalo, da učitelji
težko manjkajo na šoli toliko časa, zato smo leta 2002 spet prešli na dvodnevna
srečanja. Od leta 2000 uspešno opravlja delo sekretarke za pedagoško dejavnost
društva Lucijana Kra£un Berc, profesorica matematike na Gimnaziji Lava v Celju.
Nekajkrat smo organizirali oglede observatorijev in nočnega neba (npr. leta
2001), povabili naše člane na opazovanje popolnega Sončevega mrka (leta 1999 na
Gradǐsčansko in leta 2006 v Turčijo), maja 2008 pripravili ekskurzijo v Idrijo, kjer
smo si ogledali ohranjeno tehnǐsko dedǐsčino, v bližnji prihodnosti pa načrtujemo
še ekskurzijo v Trst in okolico z ogledom elektronskega sinhrotrona v Padričah.
Poleg tega smo bili vedno odprti tudi do drugih oblik izobraževanja. Ko smo npr.
prirejali letna srečanja in občne zbore po različnih krajih Slovenije, smo se radi
seznanili tudi s krajevno zgodovino in si ogledali kakšno lokalno znamenitost. Res
pa je tega danes manj kot včasih.
Naši člani sodelujejo še pri različnih oblikah strokovnega izobraževanja, ki ne-
odvisno od društva potekajo na nekaterih fakultetah. Takšno je npr. stalno stro-
kovno izpopolnjevanje učiteljev matematike (vodja Damjan Kobal), in učiteljev
fizike (vodja Gorazd Planin²i£) na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani. Podobno je na drugih fakultetah po Sloveniji. Aktivnost sega tudi na
mednarodno področje. Precej razvejeno mednarodno sodelovanje poteka na po-
dročju izobraževanja v fiziki (konference in seminarji GIREP, različni mednarodni
projekti) in nekoliko manj v matematiki.
4. Redna izdajateljska dejavnost
Izdajateljstvo je ena najstareǰsih dejavnosti društva, saj društveno glasilo Ob-
zornik za matematiko in fiziko izhaja od leta 1951, Presek od leta 1973 in Knjǐznica
Sigma od leta 1959. Društvo je soudeleženo tudi pri izdajanju nove znanstvene re-
vije Ars mathematica contemporanea, za katero sta dala pobudo Tomaº Pisanski
in Dragan Maru²i£. Pri vseh teh izdajah tesno sodeluje z založbo DMFA – zalo-
34 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 35 — #11 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
žnǐstvo, nekdanjo Komisijo za tisk. Po odhodu preǰsnjega tajnika komisije Cirila
Velkovrha jo je leta 1992 prevzel in do jeseni 1995 kot predsednik vodil Mirko Do-
bovi²ek. Na predsednǐskem mestu so mu sledili Bojan Magajna (do jeseni 1997),
Miran ƒerne (do 1999) in Martin Juvan (do 2001). Leta 1998 se je komisija for-
malno preoblikovala v društvo DMFA – založnǐstvo. Od leta 2001 jo uspešno vodi
Mirko Dobovi²ek, glavni urednik vseh izdaj, ob pomoči različnih urednǐskih odbo-
rov in tehničnih sodelavcev. Poleg omenjene periodike izdaja društvo občasno v
svoji režiji ali v sodelovanju z DMFA – založnǐstvom še druge publikacije, biltene
srečanj, materiale za seminarje, zbirke tekmovalnih nalog in vrsto drugih priložno-
stnih publikacij.
V zadnjem obdobju je prǐslo do vsebinske in oblikovne prenove glavnih časopi-
sov. Leta 2004 je Presek dobil novo grafično podobo, vsebinsko pa je ostal približno
enak. Od dolgoletne urednice Marije Vencelj je urednǐstvo prevzela Maja Klavºar.
Tudi Obzornik za matematiko in fiziko je v zadnjem desetletju doživel nekaj ure-
dnǐskih sprememb. Do leta 2000 ga je nadvse uspešno urejal Boris Lavri£, od leta
2001 do leta 2005 pa Roman Drnov²ek. Leta 2005 je na občnem zboru Peter ’emrl,
ki je za eno leto prevzel urejanje časopisa, predlagal ”mehkeǰsi pristop“ do urejanja.Obzornik je postal bolj društveno glasilo z več novicami in društvenimi vestmi, s
pedagoškimi članki, manj pa je strokovno zahtevneǰsih prispevkov. Od leta 2007
dalje ga v tem duhu ureja Sa²o Strle. Presek je torej spremenil obliko, Obzornik
pa vsebino. Zasnova Knjǐznice Sigma je ostala enaka, kot jo je sredi devetdesetih
let preoblikoval Matjaº Omladi£, ki je še vedno njen odgovorni urednik.
Na žalost je treba omeniti, da je zadnja leta izdajanje mladinske periodike v
čedalje večji krizi, ki se kaže v zmanǰsani nakladi in posledično pomanjkanju sred-
stev, potrebnih za nemoteno izdajanje rednih publikacij. Morda je čas za razmislek
o alternativnih možnostih.
5. Promocija matematike, fizike in astronomije
Društvo je dolžno promovirati svoje tri znanstvene vede v javnosti. Velik del
promocije opravi seveda s popularizacijo matematike in fizike med mladimi. Ta
popularizacija zajema tekmovanja, o katerih smo govorili na začetku, poletne šole,
namenjene učencem osnovnih šol, ter raziskovalne dneve in delavnice, namenjene
dijakom srednjih šol. Poletno šolo mladih matematikov v Bohinju vodi zadnja leta
Klavdija Mlin²ek, prej pa je vrsto let potekala na Bledu pod vodstvom Aleksan-
dra Poto£nika. Poletno šolo mladih fizikov organizira v Kranjski Gori Sa²o Koºuh,
pred njim je to delala Jelislava Sakel²ek na Bledu. Raziskovalni dnevi iz mate-
matike tradicionalno potekajo v Ljubljani pod vodstvom Matjaºa šeljka in Irene
Majcen, raziskovalne dneve iz fizike pa že deset let v Plemljevi hǐsi na Bledu vodi
Zvonko Jagli£i¢. Popularizaciji so večinoma namenjene tudi objave v publikacijah,
kot so Knjǐznica Sigma ter časopisi Presek, Obzornik za matematiko in fiziko, Ma-
tematika v šoli, Fizika v šoli, Logika in razvedrilna matematika. Druge promocijske
dejavnosti so se pri društvu razvile v zadnjih letih in bodo omenjene posebej.
Sodelovanje pri mednarodnih akcijah. Društvo se dejavno vključuje v
nekatere občasne domače in mednarodne akcije za promocijo znanosti. Leto 2000
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 35
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 36 — #12 i
i
i
i
i
i
Vesti
je bilo razglašeno za svetovno leto matematike. Pri društvu smo razpisali natečaj
za najbolǰsi plakat na temo matematike, ki bi ga narisali učenci osnovne šole. Bilo
je kar nekaj odziva. Posebna komisija, ki jo je vodil Peter Legi²a, je izbrala in
nagradila najbolǰse prispevke. Le-ti so bili razstavljeni ob občnem zboru v Zrečah.
Drugih akcij tedaj nismo izpeljali.
Če smo bili nekoliko manj uspešni pri realizaciji svetovnega leta matematike
2000 in nismo dovolj izkoristili takratne priložnosti za promocijo matematike v
Sloveniji, pa smo to dodobra nadomestili pri naslednji priložnosti. Za odlično iz-
peljano svetovno leto fizike 2005 so zaslužni Jure Bajc, Irena Dreven²ekOlenik,
Primoº Ziherl in drugi kolegi fiziki, ki so pripravili celo kopico dejavnosti od javnih
predavanj, radijskih oddaj, različnih domačih in mednarodnih seminarjev, okroglih
miz do prenosa svetlobnega signala čez Slovenijo, plakatov o fiziki v vsakdanjem
življenju in izdaje Telekomovih kartic s fizikalno vsebino. V javnosti so najbolj od-
mevale akcije, kot npr. verǐzni eksperiment ali plakati po mestnih avtobusih (kar je
bila ideja Mihe Kosa in Hi²e eksperimentov). Nadaljevanje verižnega eksperimenta
je sledilo še vsa naslednja leta. Obdržala so se tudi javna poljudna predavanja v
okviru cikla Fizika za vsakogar, dodatno pa smo pripravili enotedenske razstave fi-
zikalnih naprav in fizikalne poskuse pod imenom Dnevi fizike v Tehnǐskem muzeju
Slovenije.
Veliko promocijsko spodbudo za matematiko je seveda pomenila matematična
olimpijada v Sloveniji leta 2006, saj je ta dogodek pritegnil tudi veliko medijsko
pozornost. Upamo, da bodo aktivnosti ob mednarodnem letu astronomije MLA
2009 prav tako odmevale v javnosti in prispevale k večjemu zanimanju mladine za
astronomijo.
Druge promocijske dejavnosti. Lani se je z društvom povezala neformalna
skupina Ženske v fiziki, ki je izdala zbornik Fizika, moj poklic za promocijo fizike
med mlado (žensko) populacijo. O ženskah v znanosti poteka mednarodna akcija že
od leta 2002, ko je bila v Parizu prva konferenca na to temo. UNESCO in podjetje
L’Oreal razpisujeta nagrade in štipendije za znanstvenice, ki so se odlikovale med
študijem in raziskovanjem. Tudi DMFA Slovenije se s predlogi občasno vključuje
v take akcije. Sodelovanje s Slovensko znanstveno fundacijo prav tako poteka že
nekaj let. V svetovnem letu fizike 2005 je bil npr. oktobra v Cankarjevem domu
v okviru Festivala znanosti poseben Festival fizike, septembra leta 2008 pa so bili
na tem festivalu predstavljeni matematični projekti dijakov, izdelani v okviru Ma-
tematičnega raziskovalnega srečanja MARS’08 pod vodstvom Bo²tjana Kuzmana,
ter razstava o delu akademika profesorja Ivana Vidava.
6. Obujena skrb za lastno zgodovino
Med promocijo naših ved in samega društva v javnosti spada tudi ohranjanje
tradicije in spomina na naše velike znanstvenike preteklih dob. Lahko bi rekli,
da smo konec devetdesetih let preǰsnjega in v začetku tega stoletja začeli na novo
odkrivati nekatera dejstva o že znanih imenih naše preteklosti, pa tudi kakšno doslej
zamolčano ime. Pri tem so se zavzeto trudili številni člani društva in vsak po
svoje prispevali k bolǰsem poznavanju naše zgodovine. Veliko je bilo objavljenega
36 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 37 — #13 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
na spletu, v časopisnih člankih in knjigah. Res pa ostaja naše zgodovinopisno
delovanje bolj ali manj samo na amaterski osnovi.
Odkrita spominska obeležja. Nekaj pomembnih matematikov in fizikov
preteklih dob je v zadnjem desetletju dobilo svoj spomenik ali spominsko ploščo.
Razen pri Matku in Lahu to ni bila zasluga (zgolj) našega društva, smo pa pri vseh
navedenih dejanjih aktivno sodelovali.
Leta 1996 in 1997 sta bila postavljena doprsna kipa Francu Močniku v Šolskem
muzeju v Ljubljani in v Cerknem, leta 1997 tudi Lavu Čermelju v Ljubljani. Du²an
Modic nam je na občnem zboru leta 1999 predstavil pisca učbenikov Karla Kunca.
Leta 2000 smo mu na rojstni hǐsi v Novem mestu odkrili spominsko ploščo in
uredili nekoliko zanemarjen Plemljev grob na ljubljanskih Žalah. Leta 2002 smo
vzidali spominsko ploščo drugemu piscu učbenikov, Blažu Matku, v Gornjem Gradu.
Istega leta je Tomaº Pisanski predlagal ustanovitev zgodovinske sekcije, ki je potem
intenzivno delala in pripravila Vegove dneve 2002 (ob 200-letnici Vegove smrti) in
v javnosti še bolj odmevne Vegove dneve 2004 (ob 250-letnici Vegovega rojstva).
Obakrat je bilo veliko kulturnih, znanstvenih in protokolarnih prireditev. Naj
na tem mestu zgolj omenim, da je na proslavi v Zagorici v soboto, 20. marca
2004, govoril tedanji predsednik države dr. Janez Drnovšek in da je sodelovala
tudi Slovenska vojska, ki je v počastitev Vegovega praznika streljala s topovi. V
ponedeljek, 22. marca, po koncertu Orkestra Slovenske vojske v filharmoniji pa je
bila na Levstikovem trgu v Ljubljani odkrita spominska plošča v spomin na Jurija
Vego. Leta 2006 je kot rezultat obnovljenega raziskovanja o Vegovem življenju
in delu izšel obširen Vegov zbornik. Nazadnje smo leta 2005 odkrili Iva Laha,
pozabljenega in zamolčanega matematika in aktuarja, ter mu na domači hǐsi v
Štrukljevi vasi pri Cerknici vzidali spominsko ploščo. Junija 2009 pa je v načrtu
še odkritje spominske plošče v Metliki rojenemu matematiku in piscu učbenikov
Francu Hočevarju.
Zbiranje podatkov. Profesor Anton Suhadolc je več let sistematično zbiral
podatke o fizikih in matematikih, ki so delovali na ljubljanski univerzi pred drugo
svetovno vojno. Tako je npr. ponovno odkril in slovenski strokovni javnosti v Ob-
zorniku predstavil Valentina Kušarja, prvega učitelja fizike slovenskega rodu na
ljubljanski univerzi. Uredil in popisal je arhiv profesorja Josipa Plemlja, vključno
z njegovo obširno zasebno korespondenco. Predvsem pa je zbral zajetno gradivo o
drugem rektorju ljubljanske univerze, profesorju Rihardu Zupančiču. Drugi člani
društva smo leta 2007 sodelovali pri zbiranju podatkov, izdaji zbornika in prosla-
vah 90-letnice rojstva profesorja Ivana Vidava. Ker se bomo leta 2009 spomnili
šestdeset let delovanja DMFA Slovenije, zbiramo tudi dokumentarno, slikovno in
drugo gradivo v zvezi z društvenim življenjem v minulih desetletjih.
Naj še omenim, da je v zadnjih desetih letih precej novih podatkov o Juriju Vegi,
Francu Močniku in drugih stareǰsih fizikih in matematikih na Slovenskem odkril
in objavil zgodovinar znanosti Stanislav Juºni£, o zgodovini naše astronomije ter o
slovenskih astronomih pa je pogosto (deloma tudi skupaj z Južničem) pisal Marijan
Prosen.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 37
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 38 — #14 i
i
i
i
i
i
Vesti
Neuspele akcije in zamujene priložnosti. Društvo se je leta 1999 pri-
družilo pobudi Pedagoškega inštituta, da bi državno nagrado za pedagoško delo
poimenovali po Francu Močniku, o čemer pa slovenskega parlamenta nismo prepri-
čali. Prav tako ni uspela pobuda društva iz leta 2001, da bi Slovenska akademija
znanosti in umetnosti rehabilitirala Riharda Zupančiča. Tako ostaja edini član, ki
je bil po drugi svetovni vojni izključen iz SAZU in doslej še ni bil rehabilitiran.
Kakšno pomembno obletnico smo tudi spregledali; leta 2003 se npr. nismo
spomnili 250-letnice rojstva Franca Hočevarja. Postavitev obeležja temu univerzi-
tetnemu profesorju in piscu učbenikov ostaja tako še naprej naš dolg. Prav tako
smo tedaj pozabili na 250-letnico rojstva fizika Ignaca Klemenčiča.
Na sodelovanje pri obeležitvi 100-letnice rojstva profesorja Antona Peterlina, ki
je bil skoraj deset let, do odhoda v tujino, v častnem razsodǐsču in od leta 1985 dalje
častni član društva, DMFA Slovenije formalno ni bilo povabljeno, so pa nekateri
njegovi člani precej prispevali k izdaji zbornika in k skupni proslavi. Posebej je o
Peterlinu spregovoril Mitja Rosina na zadnjem občnem zboru društva 8. novembra
2008 in tudi Obzornik je v zadnji številki lanskega letnika objavil nekaj prispevkov
o življenju in delu velikega znanstvenika.
7. Ožja društvena dejavnost
Društvo vodi upravni odbor, ki se vsak mesec (razen poleti) sestaja na sejah,
posluša poročila predsednika in tajnikov komisij in odloča o nujnih tekočih zadevah.
Po potrebi ustanovi upravni odbor nove začasne komisije. Vsako leto skliče občni
zbor društva, vsaki dve leti se načeloma zamenjajo predsednik in predsedniki neka-
terih odborov. V zadnjih desetih letih so se zvrstili naslednji predsedniki društva:
Tomaº Pisanski 1998–2000, Martin ƒopi£ 2000–2001, Zvonko Trontelj 2001–2002,
Peter Petek 2002–2004, Zvonko Trontelj 2004–2006, Milan Hladnik 2006–2008. Na
zadnjem občnem zboru je bil za predsednika izvoljen fizik Janez Seliger.
Stalnost pri vodenju. V formalnem pogledu poteka delo zadnjih deset let
redno in nemoteno tudi po zaslugi stalne vodstvene ekipe (razen predsednika dru-
štva). Poleg že omenjene stalnosti pri vodstvu tekmovanj, nacionalnih komitejev
za matematiko in fiziko, komisije za pedagoško dejavnost ter založnǐske dejavnosti
je treba posebej poudariti dolgoletne izkušnje Nade Razpet, ki je podpredsednica
društva že od leta 1991 in med drugim organizatorica vsakoletnih srečanj, nadalje
natančnost in vestnost Janeza Kru²i£a, ki kot tajnik društva od leta 1997 pripra-
vlja materiale za seje in za javne razpise, vodi vso društveno korespondenco in
dokumentacijo in sploh skrbi za tekoče in pravilno poslovanje društva, ter ne na-
zadnje profesionalnost Andreje Jakli£, ki tudi že deset let skrbno vodi društveno
računovodstvo.
Posodabljanje pravilnikov in obrazcev. DMFA Slovenije se je pred dese-
timi leti registriralo v skladu z novim zakonom o društvih, prilagodilo svoja pravila
(statut), ki so se potem iz različnih vzrokov spreminjala še nekajkrat. Istočasno
smo pridobili status društva, ki deluje v javnem interesu. To naj nam bi poma-
galo pri prijavah na različne razpise za državna sredstva. Ta status smo leta 2008
obnovili. Večkrat smo prilagajali pravilnike o tekmovanjih in sprejemali nove (o
38 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 39 — #15 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
varstvu osebnih podatkov, o inventuri, o vodenju financ), prenovili smo žig (leta
2000) in celostno podobo društva (leta 2002). Nemalo zaslug za vse to ima Matjaº
šeljko, ki od leta 1999 skrbi za društveno spletno stran in sploh za vso informacijsko
tehnologijo, ki jo premore društvo.
Plemljeva hǐsa. Vse obdobje smo si prizadevali za dokončno formalno-pravno
ureditev lastnǐstva Plemljeve hǐse na Bledu, ki jo je društvu v oporoki zapustil
profesor Josip Plemelj z željo, da bi v njej potekala dejavnost, namenjena izobra-
ževanju in raziskovanju v matematiki in fiziki. Vpis v zemljǐsko knjigo se je dolgo
zatikal in odlagal zaradi različnih pravnih ovir v zvezi z zemljǐskoknjižnim dovoli-
lom Plemljevih dedičev, od katerih je društvo leta 1992 odkupilo preostanek hǐse.
Šele spomladi leta 2008 nam je dokončno uspelo urediti zadeve.
Leta 2000 smo uvedli računalnǐski najem in računalnǐsko evidenco zasedenosti
hǐse. Deloma smo prenovili notranjo opremo v hǐsi, nabavili televizorje po sobah,
priključili internet in tako izbolǰsali razmere za bivanje. Po letu 2002 upravljamo
hǐso sami brez Ministrstva za šolstvo in šport. S hotelom Astoria smo se dogovorili,
da za nas opravlja recepcijsko službo, menjavanje posteljnine in čǐsčenje prostorov.
Za vzdrževanje okolice (košnjo trave v poletnih mesecih) imamo sklenjeno pogodbo,
prav tako za varovanje hǐse. Na hǐsi smo opravili nujna zunanja vzdrževalna in
investicijska dela, da bi jo zavarovali pred propadanjem, ter na novo uredili dostop
in okolico hǐse.
Glavne težave izvirajo iz tega, da hǐsa ni dovolj zasedena in prinaša izgubo, ki
jo moramo pokrivati iz drugih virov. Tu nas čaka še veliko dela. V letu 2008 smo
imeli tudi probleme zaradi gradnje v soseščini, ki je poleti ovirala dejavnosti v hǐsi,
a smo jih v sodelovanju z IEDC – Poslovno šolo Bled zadovoljivo rešili v korist
uporabnikov. V prihodnje takih zapletov ne pričakujemo. Upamo celo, da bo hǐsa
odslej lahko še v večji meri služila svojemu namenu.
Plemljeva hǐsa na Bledu je za društvo vsekakor dragocen (in drag) objekt s
čudovito lokacijo, ki pa je potreben nenehnega vzdrževanja. Da bi čim bolje izkori-
stili njene prednosti, jo moramo napolniti z življenjem, se pravi s stalno društveno
dejavnostjo.
Članstvo. Članstvo je dokaj stabilno in se giblje okrog števila 1270. Njegova
struktura se je v zadnjih desetih letih nekoliko spremenila, saj je zdaj v njem
več osnovnošolskih učiteljev matematike in fizike. Večkrat smo razmǐsljali, kako
pritegniti k delu društva študente, matematike in fizike po podjetjih in ustanovah
zunaj šolstva, kakšnega posebnega uspeha pa nismo imeli. Želeti je, da bi bili tudi
slovenski astronomi bolj dejavni v okviru društva. Leto 2009, mednarodno leto
astronomije, je posebna priložnost tudi za njihovo večjo društveno aktivnost.
Zapustili so nas nekateri zelo aktivni člani in drugi, ki so v zgodovini društva
imeli pomembno vlogo: Anton Moljk 1998, Ivan Kuščer 2000, Janez Ferbar 2001,
France Krǐzanič, Pavle Zajc in Egon Zakraǰsek 2002, Niko Prijatelj 2003, Aleksan-
der Potočnik in Sonja Krǐzanič 2008. Na pomoč so nam priskočili mlaǰsi, čeprav
je po drugi strani res, da je med aktivnim članstvom v društvu še vedno preceǰsen
del stareǰsih članov, med njimi so tudi nekateri že upokojeni. Zato ne preseneča
podatek, da je bilo v zadnjih dvajsetih letih v društvu izvoljenih dvajset novih
častnih članov, medtem ko jih je bilo v vseh preǰsnjih štiridesetih letih le deset.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 39
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 40 — #16 i
i
i
i
i
i
Vesti
Sodelovanje s sorodnimi društvi in z drugimi institucijami. Tradi-
cionalno imamo tesne stike s Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani,
kjer ima društvo sedež, ter z Inštitutom za matematiko, fiziko in mehaniko. Zelo
dobro sodelujemo tudi s Pedagoško fakulteto Univerze v Ljubljani, medtem ko so od-
nosi s Fakulteto za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru in s Fakulteto
za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerze na Primorskem
še v povojih, s Fakulteto za aplikativno naravoslovje Univerze v Novi Gorici pa jih
praktično ni. Vsekakor se je koristno zavedati, da imata matematika in fizika danes
v Sloveniji več visokošolskih sredǐsč in nista vezani samo na ljubljanski center.
Na lokalnem nivoju ni nobenih težav npr. pri organizaciji šolskih in regijskih
tekmovanj, dijaških raziskovalnih nalog iz matematike in fizike ipd. Komunikacija
z aktivi matematikov in fizikov na srednjih in osnovnih šolah poteka elektronsko
(prijave, obvestila) in klasično.
Delo v podružnicah ni več tako živahno kot pred desetletji. V glavnem delujeta
le celjska in mariborska podružnica. Celjsko podružnico je v tem obdobju dolgo časa
vodila Lucijana Kra£un Berc, mariborsko pa ves čas Gorazd Le²njak (ob asistenci
dolgoletne mariborske članice upravnega odbora društva Zvonke Alt). Leta 1998
sta se bivša ljubljanska podružnica (Komisija za tisk pri DMFA) in bivša koprska
podružnica registrirali kot samostojni društvi. Z društvom DMFA – založnǐstvo
smo hitro našli pravi način sodelovanja v novem formalnem okviru, saj je že prej
delovala dokaj samostojno. Z Društvom matematikov, fizikov in astronomov Koper
pa nimamo več toliko stikov kot pred desetimi leti.
8. Sedanji problemi in bodoče naloge
Ob koncu bi rad namenil nekaj besed še nekaterim problemom, ki sem jih opazil
med svojim mandatom v upravnem odboru društva, in nalogam, ki nas še čakajo.
Financiranje. Stalna skrb je financiranje naše redne dejavnosti. Tako za iz-
vedbo tekmovanj kot za različne druge aktivnosti v zvezi s promocijo znanosti, za
udeležbo na mednarodnih sestankih in celo za pridobitev sredstev za plačilo našega
članstva v mednarodnih organizacijah se moramo vsako leto znova prijavljati na
javne razpise, loviti kratke roke, pisati poročila in trepetati, ali bodo naši predlogi
sprejeti na javnem razpisu in bomo dobili dovolj sredstev. Ta finančna negotovost
je najbrž najhuǰsa mora za vsakogar, ki mora svojo dejavnost načrtovati vnaprej.
Doslej smo te probleme sproti dokaj uspešno reševali z dobro organizacijo, izku-
šnjami, preteklimi referencami in seveda z veliko požrtvovalnostjo sodelavcev, ki
pripravljajo programe in sproti poročajo o njihovi realizaciji. Delo pri društvu
je sicer prostovoljno in v glavnem ni plačano. Seveda moramo plačati dejanske
materialne stroške in naročene storitve, avtorsko delo pa nagradimo takrat, ko je
zagotovljen vir sredstev.
Na tem mestu se mi zdi prav opozoriti na to, da nas nekoliko rešuje tudi ugled,
ki si ga je društvo v preteklih letih pridobilo v širši javnosti. Tega ugleda nikakor
ne smemo zapraviti z nepremǐsljenimi organizacijskimi ukrepi ali kratkoročnimi re-
šitvami, h katerim nas včasih silijo zunanje okolǐsčine ali vladni ukrepi. Mislim,
da nam je celo velikost in dvodelna sestava društva (fizika in matematika) včasih
prej v korist kot v škodo. S primerno koordinacijo lahko bolje podpremo različne
40 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1
i
i
“zoisove” — 2009/3/30 — 17:37 — page 41 — #17 i
i
i
i
i
i
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih
aktivnosti v organizacijskem, logističnem in celo finančnem smislu (z začasno pre-
razporeditvijo sredstev iz drugih virov). Leta 2007 smo npr. lahko pomagali nefor-
malni zvezi slovenskih fizičark pri razpisu za sredstva, namenjena izdaji monografije
Fizika, moj poklic, in poskrbeli za nekatere stroške v zvezi z organizacijo prvega
srečanja matematikov raziskovalcev. Drug primer: leta 2008 je vsako društvo smelo
prijaviti samo en program na razpis za promocijo znanosti, v katerem je bila iz-
postavljena zahteva po interdisciplinarnem povezovanju različnih ved. Društvo je
pri prijavi uspelo prav s pestrim programom medsebojno povezanih aktivnosti na
področju fizike, matematike in astronomije.
Vrednotenje društvenega dela. Večji problem je z vrednotenjem društve-
nega dela v širših strokovnih in akademskih krogih. Društveno delo npr. v visoko-
šolskem sistemu napredovanja nič ne šteje, zato je vse težje pridobiti nove (zlasti
mlade) sodelavce. Težko je namreč na svoja ramena prevzeti dodatne obveznosti
pri društvu in se za nekaj časa odpovedati svojim drugim (za osebno kariero bolj
koristnim) prizadevanjem. Podobno velja za učitelje in profesorje na srednjih in
osnovnih šolah, saj so povečini preobremenjeni že s svojim rednim delom.
Prihodnje naloge. Kot nujne naloge društva v bližnji prihodnosti vidim zlasti
reševanje problematike izdajanja društvenih publikacij, povečanje aktivnosti razi-
skovalnega in astronomskega dela društva in okrepitev sodelovanja v mednarodnem
okviru.
Aktualna ostaja tudi organizacija drugega slovenskega kongresa matematikov
in fizikov. Prvi je bil leta 1994 v Cankarjevem domu v Ljubljani, naslednji večkrat
napovedan in odložen, v glavnem zaradi nerešenega vprašanja, ali naj se po zgledu
nekaterih sorodnih društev v novonastalih državah na ozemlju bivše Jugoslavije
tudi naše društvo razdeli na matematični in fizikalni del. Prevladalo je stalǐsče, da
bi z razdelitvijo društvo več izgubilo kot pridobilo, zato smo doslej ostali skupaj.
Morda bo nekoč treba razmisliti tudi o ločenih društvih, toda za zdaj se zdi smiselna
le skupna pot. Večina našega članstva so učitelji in kar preceǰsnje število med njimi,
zlasti učitelji na osnovnih šolah, jih poučuje tako matematiko kot fiziko. Poleg tega
se z enotnim društvom izognemo čisto praktičnim organizacijskim problemom in
zmanǰsamo stroške delovanja. Seveda to ne pomeni, da ne bi mogle posamezne
vede delovati v vsebinskem smislu popolnoma samostojno, tako kot v veliki meri
delujejo že sedaj.
Velik izziv, ki nas čaka v prihodnje, bo tudi organizacija nekaterih mednaro-
dnih tekmovanj. Za mednarodno olimpijado iz fizike leta 2014 smo že dogovorjeni,
vsak čas se bo treba lotiti priprav. Fiziki razmǐsljajo tudi o sodelovanju slovenskih
srednješolcev na prihodnjih evropskih fizikalnih olimpijadah, za kar se bo najbrž
treba kadrovsko in organizacijsko okrepiti. Vprašanje organizacije srednjeevropske
matematične olimpijade v Sloveniji v prihodnjih desetih letih je za zdaj še odprto.
Če bomo še naprej sodelovali na tovrstnih tekmovanjih, jo bomo gotovo morali
v kratkem organizirati. Morda je zaradi hitrega razvoja domače raziskovalne de-
javnosti na področju matematike in fizike smiselno razmǐsljati celo o organizaciji
evropskega kongresa matematikov ali evropskega kongresa fizikov kdaj v prihodnje.
Milan Hladnik
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 1 III
i
i
“kolofon” — 2009/3/30 — 18:00 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2009
Letnik 56, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Fundamentalna grupa in koH-prostori (Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . 1–15
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko
(Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–24
Vesti
Zoisove nagrade in priznanja za znanstvenoraziskovalno delo v letu 2008 25–27
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–29
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29–III
CONTENTS
Articles Pages
Fundamental group and coH-spaces (Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15
Microfluidic circuit with a micropump
(Blaž Kavčič, Dušan Babič and Igor Poberaj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–24
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–III
Na naslovnici je logotip Mednarodnega leta astronomije 2009, o katerem bomo
v prihodnjih številkah Obzornika še pisali. Slovensko nacionalno spletišče je na
naslovu http://www.astronomija2009.si/.