IPRESEK
list za mlade matematike , fizike , astronome in računalnikarje
23. letnik, leto 1995/96, številka 1 , strani 1-64
VSEBINA
MATEMATIKA
FIZIKA
ASTRONOMIJA
RAČUNALNIŠTVO
TEKMOVANJA
NALOGE
ZANIMIVOSTI
RAZVEDRILO
NOVE KNJIGE
NOVICE
NA OVITKU
Na obisku pri Ba rbari (Jan ez Žerov ni k) 2-4
Množenje za t iste , k i p oznajo le p ošt eva nk o števila 2
(Mirko Dobovišek) 30-31
Geomet rijska in harmoni čna vrsta (Anton Cedilni k) . . 40- 45
Prvi parni stroji (J anez Strnad) oo oo . oo oo oo oo oo oo .. oo .. 5-11
P resenetlj ivi p rikaz popolnega n o t ranj ega odboja
(Tiika J akob) .... .. .. oo . oo ........ oo .. .. oo .. .. .. . 26-29
Nos (Marijan P rosen) oo oo oo . oo . oo . oo . oo • • oo. oo. oo. oo. 20-22
O preslikavah ra vnin e, praproti in s t.iska nju p odatko v
(Matija Lokar ) oo .. oo .. . . oo .. oo oo oo . oo oo . oo . oo. oo. 34 -38
Lepi usp ehi slo ven ski h dijakov n a olim p ia da h iz
m a t em a t ik e, fizik e in računalni št. va . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
31 . t ekmovanje za Zlato Vegov o priznanj e v šolskem
le t u 1994/ 95 (Aleksander Potočnik ) 47 -4 8
10 . d ržav no t ekmovanje iz znanj a ra č unalni š t va
za osnovnošolce (I van Gerli č ] 48- 50
Državno t ekm ova nje osnovn ošolcev iz fiz ike za Zlata
S te fanova p riznanj a 1994/1 995 (Jelis a va Sakelšek ) 50-52
39. matemat ično t ekm ova nj e srednj ešolcev Sloven ije
(M atjaž Želj ko) 52-5 4
33. tekm ovanje iz sre dn ješ olske fiz ike (Ciril Dominko) 54-5 7
T ekm ova nj e iz računalništva za srednj ešolc e
(M a rko Grobel nik ) oo . oo. oo . oo • oo •• • • oo • • oo . oo . oo . 57- 59
16 . m ednarodno matematično t ekmova nje m es t -
p omladan ski krog - reši t ve iz XXII , P -6 , s t r. 374
(M atjaž Željko) 59-64
Čakanje na a vtobu s - n a gradn a n al oga (Marija Vencelj) .. 1
Delji vost (M arija Ven celj) .. . oo • oo . oo. oo ' oo • • • • oo • • • • •• •• • 4
Triko t.ni k i s p osebno la s tn os tjo (Ivan Vidav) 19
Manj kajoče število (Mar t in J u van) 25
Iz d ružinske kronik~ (M arij a Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Slarnica (Matjaž Ven cel j) oo oo • oo • oo • oo • oo • • oo • oo • oo oo 3 1
De ve t vpra šanj o širokih šte vilih (M artin J u va n) 39
Na koliko načinov se policis t la hko zm oti
(Ant on Suhadolc) 45
P enrose - Escher - Reu t.eswar d (V ilko D omajnko) 12-1 9
Križanka Starogrški matematiki (M a rko Bokalič) 32-33
Želj ko M. s sodelavci , Altius , cit .iu s, fortius
(Marija Vencelj) . . oo . oo . oo ' ••• •• • • • •• oo . oo ' oo. oo . oo • • 46
Qu antum in Kvant (Janez Strn ad) 22-25
Fo t ografija nemogočega predm et a (Bruno E rnst , 1985) -
glej tudi prisp evek na st ran i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
Moč - p esem M arka Budiše , š t u denta fizik e . . . . . . . . . . . . . IV
IZa dober začetek
ČAKANJE NA AVTOBUS - NAGRADNA NALOGA
Klem en in Tilen sta že deveto leto sošolca . Po tem ko sta osem let hodila
v šolo v sosednji uli ci, se morata po novem vsak dan voziti z avtobusom
nabirat srednj ešolsko učenost na nasprotni konec mesta. Vsak o jutro se
kake pol ur e pred začetkom pouka dobita na bližnji avtobusni postaji in
se nato z eno od ob eh linij , ki vozita v že!jeno sm er , odpeljeta v šolo.
Z avt obusi in pr ofesorji pa je križ . Medtem ko prvih , ko si najbolj
pozen , od nikod er ni , pri drugih zamuda avtobusa ni ut emeljen razlog za
zamudo pri pouku .
Ko sta se tako naša prijatelja neko jutro sp et zaman ozirala po cesti
za avtobusom , se jima je porodilo vprašanje, koliko je pravzaprav na njuni
domači postaji povprečna čakalna doba na avtobus. Na postajni tabli j e
pisal o, da vozijo avtobusi prve proge vsakih šes t minut , avtobusi druge
proge pa na osem minut .
Klemen j e pohitel z računom: "Če bi vozili le avtobusi prve proge,
bi bila povprečna čakalna doba enaka t .6 minut = 3 minute , če bi
vozili le avtobusi druge proge pa t .8 minut = 4 minute. Ker pa se
lahko odpeljeva z eno ali drugo linij o, j e povprečna čakalna doba enaka
1 (3 4)' 3 1 ' "2" ' • + minute = . 2" minute.
Tilen je ugovarjal: "Ne, to ne bo prav. Drugače morava računati.
Najmanjši skupni večkratnik števil 6 in 8 j e 24 . Vsakih 24 minut pripelje-
jo mimo štirje avtobusi prve proge in trij e avtobusi druge proge. Skupaj
prip elje torej mimo v 24 minutah sedem avtobusov , kar pomeni , da mine
med dvema zaporednima prihodoma avtobusov v povprečju t ·24 minut =
= 3~ minute. Povprečna čakalna doba je enaka polovici tega časa, torej
t .3~ minute = 1~ minute."
Kateri od ob eh prijateljev ima prav? Utem eljene odgovore pošljite
najkasneje do 15. oktobra na Usedni štvo Preseka , Ljubljana, Jadran-
ska 19, p .p. 64. Na dva izžreban a reševalca spravilIlima odgovoroma
čakata zanimivi knjigi .
Marija Ven celj
---'~ ~---=--­
c~
_-/1 lCYJ--
,
Mat ematika I
NA OBISKU PRI BARBARI
V nedeljo smo bili na dru žinskem obisku pri prij a teljih . Prav got ovo
vas zanima , kaj sm o dobrega poj edli in pop ili , pa vas bom razočaral.
Petošoika Barbar a in njen oče sta mi pokazala zanimivo matematično
nalogo. Pravzaprav j e nalogo iz šole prinesla Barbarin a sestra Alenka , ki
je že gimnazijka , ampak Barbara se kljub temu ves čas ni ga nila od mize.
Takole je pisa lo:
15732[81 = X[61 •
Drugače povedan o: Št evilo, dan o v osmiškem šte vilskem sistemu, zap iši v
šestiškem številskem siste mu. Seveda smo nalogo znali rešit i, zanimalo pa
nas je, če j e res potrebno osrn iško šte vilko pr et voriti najprej v deseti ško
in to po tem v šestiško, ali pa gre morda hitreje.
Od govor je seved a pritr dilen, saj vemo , da deseti ški številski sistem ni
nič bolj 'naraven ' od ostalih . Res j e, da imamo deset prstov na rokah. Prav
to liko so jih im eli t udi Babilon ci, pa so vseeno up orablj al i šes t. dese t iški
sistem. Osnova 60 se je do dan es ohranila pri merjenju časa, povsod
dr ugje j e pr evlad al deset iški številski sis tem . (O zgodovin i matematike,
t udi o začetkih številskih sistemo v, si lahk o preberete več v knj igi Ma-
tem at ika skozi kul ture in epohe Vladimirja Devideja iz knji žnice Sigm a .)
Poleg dandanes prevladujočega desetiškega sistema v računalništvu veliko
up orablj ajo tudi dvoj iški (a li bin arni) in njegova 'bra t ranca', osmiški in
šestnajs t iški št evilski sistem.
Torej smo se lotili dela . Osrni ška številka a k a k- l . . . U2 a l a o j e zapi s
števila
Torej je treba števila , ki nas top aj o v gornjem izrazu , naj pr ej zapi sa ti v
šes t. iškem zapisu , potem pa jih zmnožit.i in sešt.et.i (pozor!) 'po šest.iško' .
To pome ni, da je treba računa t.i v šest.iškem št evilskem sist emu.
Poskusimo z gornjo nalogo.
Naj prej si pripravimo zap ise potenc osnove 8:
8 = 12[6]
82 = 64[10] = 144[6]
83 =512[10] =2212[6]
84 = 4096[10] = 30544[6]
M atematika
Zdaj pa zapišimo v šestiškem zapisu še števke ao , al , . . . , a4: ao =
2[8] = 2[6], (lI = 3[8] = 3[6]' (l2 = 7[8] = 11[6]' a3 = 5[8] = 5[6], (l4 =
= 1[8] = 1[6] in jih po šest iško pomnožimo z ustreznimi potenc ami osnove
8.
(lo = 2[6]
alS = 3[6]12[6] = 40[6]
To gre po šestiško t akole: 3 krat 2 je 6[10] = 10[6], zapišemo O, 1 dalj e;
3 krat 1 je 3 in 1 je 4 (tako v deseti škern kot šestiškem sistemu).
(l2S2 = 11[6]144[6] = 2024[6]
(l3S3 = 5[6]2212[6] = 15504[6]
(l4S4 = 1[6]30544[6] = :30544[6]
Po šest iško seštej mo!
2[6] + 40[6] + 2024[6] + 15504[6] + 30544[6] = 53002[6]
Za kontrolo lahko nar edimo račun po st arem : Zapišemo 15732[8]
7130[10] in delimo: 7130 : 6 = 1188 z ostankom 2, 1188 : 6 = 198
z ostankom O, 198 : 6 = 3:3 z ostankom O, 33 : 6 = 5 z ostankom 3.
Lahko rečemo še 5 : 6 = O z ostankom 5, zb eremo ostanke in sklenem o:
7130 = 53002 [6]'
Osnovi 8 in 6 nista nič posebnega. Prav tak postopek kot prej lahko
nar ed imo za po ljuben par št evilskih sistemov , recimo z osn ovama p in
q. Naloga je sedaj sp lošn ejša: Dano imamo število, zapisan o v p-iškem
št evilskem sistemu s števkami (lk . . . (lI ao , želimo ga zapisati v q-iškem
št evilskem sistemu. Naredi li bomo takole:
l . Zapišemo pO, pI , p2, . . . , pk v q-iškem sist emu.
2. Zapišemo ak, .. . , (l I, ao, v q-iškem sistemu.
3. Zmnožimo alP, a2p2 , . . . , (lkpk v q-iškem sistemu.
4. Seštej emo (lO + alP + a2p2 + .. .+ akpk v q-iškem sistemu.
Za kon ec še dve opornbi .
Če kak par osnov uporabljamo večkrat, j e bolje zapise po ten c pr era-
čunati vnaprej in jih hraniti v tabeli. Potem delo pri točk i 1 naredimo
samo prvič.
Za nekatere pare osnov p in q j e račun še pr ecej pr eprostejši. Vzemimo
na primer p = 4, q = 2. Vsaka števka v št iriškem zapisu da dve št evk i v
dvojiškem zapisu .
Mat ematika - Na loge I
Primer : 31203[4l = I l Ol 10 OO I l
~~~~~[2l
Če pa vzamemo p = 2 in q = 4, po dve števki dvojiškega zapisa
določita šte vko v št iriškem zapisu .
Prim er: 111011001[2l = 1 11 Ol 10 Ol = 1312 1[4l
~~~~~[2l
Verj etno st e že uganili , da tako preprosta zveza velja , kadar je p
potenca q ali ko je q poten ca p. Za bis t re glave, ki jih -k-iški številski
sistem i še niso povsem utrudili , pa še naloga: Poišči te bli žnji co za pr epis
iz p-iškega št evilskega sistema v q-iški šte vilski sistem , če sta p in q pot enci
z isto osnovo, na primer p = l , i in q = l· j !
Jan ez Že rovni k
PRI N A STA J A N J U PRESEKA POMAGAJO S
PROGRAMSKO OPREMO PODJETJA:
MARAND, MARMIS IN SKUPINA ATLANTIS
DELJIVOST
Pokaži , da je števi lo , ki ima v desetiškern zapisu šte vilko
JO 10 10 oo. 10, 1,
v
26 - krat
deljivo s 27, števil o s št evilko
v
SO- krat
pa deljivo z 81.
lv!arija Vencelj
I Fizika
PRVI PARNI STROJI
Proti koncu 17. stoletja se je v Angliji pojavila potreba po strojih z
večjo močjo od tistih , ki so jih poganjali ljudje, konji ali mlinska kolesa.
Predvsem so jih potrebovali za črpanje vode iz vse globljih rudnikov . Ta
praktična potreba je pripeljala do novih spoznanj. Pravijo , da dolguj e
fizika parnemu stroju več kot pami stroj fiziki .
Zgodbo začnimo s Christianom Huygensom, ki so ga v Parizu pov-
prašali, ali bi bilo mogoče s strojem črpati vodo v vodovod za versajske
vodomete. Leta 1673 je namreč razmišljalo stroju na smodnik, a j e za-
misel opustil kot prenevarno. Vprašanje je postavil ml aj šernu sod elavcu
Denisu Papinu , ki je bil spret en eksperimentator . Njegov dobri glas j e se-
gel do Rob erta Boyla , ki ga je leta 1675 povabil kot pomočnika v London ,
preden je lahko odgovoril na IIuygensovo vprašanj e. V Londonu j e Papin
leta 1679 izumil tlačni lonec, v katerem je bilo mogoče kuhati v vodi pri
višjem tlaku pri temperaturi nad 100°C .
Tedaj so že vedeli , da kapljevina izpareva pri temperaturi , to je pri
vrelišču, ki je zanj o značilna , in da je vrelišče odvisno od tlaka. Papin je
zar es ugotovil , da vre voda v loncu pri višjem t laku pri višji temperaturi ,
in približno določil odvisnost vrelišča vode od tl aka. Lonec je imel tudi
varnostno zaklopko, ki je preprečevala, da bi tlak v njem preveč narastel.
Pri višji temperaturi so se jedi skuhale hitrej e in so se živila bolj zmehčala.
Zaradi tega odkrit.ja je bil Papin izvolj en v Kraljevo družbo, angleško
akademijo znanosti. Ob tej priliki j e članom družbe postregel s kosilom,
ki ga je skuhal v svoj em lon cu.
Leta 1690 , ko je delal v Marburgu , je Papin v članku Nov način,
kako dob iti znatne goniin e s ile po n izki cen i opisal "prv i st roj, ki lahko s
silo ognja dviga vodo". Pri tem se je oprl na IIuygensovo zamisel in na
poskuse magdeburškega žup ana Otta von Gu eri ckeja. Temu je zračni tlak
dvignil bat z bremenom, ko je iz valja nad batorn z zračno razred čevalko
izčrpal večji del zraka. Izkušnje s tlačnim loncem so Papina napeljale na
misel , da je mogoče silo pare uporabiti za opravljanje dela.
V stroju je Papin s paro dosegel zni žani tlak. V valj z batom j e
uvedel paro pri tlaku , ki ni bil znatno višji od zračnega tlaka. Potem je
zunanjost valja oblil s hladno vodo , da se je para v valju ut.ekočinila. V
valju je nastal znižani tlak in razlika zračnega tlaka na zunanjo stran bata
in znižanega tlaka v notranjosti je dvignila bat. (slika 1). Osem let poznej e
je izdelal še parni stroj na zvišan tlak , ki pa ni vplival na nadaljnji razvoj.
Mislil ga j e vgraditi v ladjico , toda nezauplivi čol narj i so jo uničili.
Fizika I
Slika 1. Risba Papinove črpalke na znižani tlak iz
članka v reviji Acta eru di torum le t a 16 90 . V valju
A se je gibal bat B, ki je bil povezan z drogom M .
Valj j e bil obešen v O in po cevi Eje dotekala vanj
para pod tl a kam , ki j e bi l malo višji od zračnega .
P a ra se je utekočinila, ko so va lj ob lili s hladno
vodo , in zmanj ša n i tlak nad batam je posrkal bat
navzgor.
Na angleške potrebe p o črpalkah se
Je odzval Thomas Savery. Kot izumitelj
j e bil član Kraljeve družbe in j e nj enim
članom leta 1699 predvajal črpalko , ki jo
je patentiral leto poprej . Za razliko od
Papinove ni imela bata. Najprej je para
pod visokim tlakom stisnila vod o iz po-
sode skoz i navpično cev navzgor (slika 2) .
Na to so po sodo ohladili , da se je para v njej
utekočinila in je nastali znižani tlak posrkal
vodo po navpični cevi iz spodnj ega rezer-
voarja. Zak lopke, ki so urejale tok pare in
vod e, so vključevali ročno . Sav ery j e za-
gotavljal, da bodo nj egove črpal ke poceni
čr pale vodo iz rudnikov in da se bo angleško rudarstvo močno razm ahni lo .
Glede tega se j e motil. Črpalk v rudnikih niso mogli uporabljati . P otre-
bovali bi namreč paro pri tlaku več barov, česar pa v tistem času še niso
obvladali . Uporabljali so j ih le za črpanj e vode v stavbe in v rezervoarj e
za vod omete pri višinsk i razliki manj kot deset m etrov. Za t a primer j e
namreč zadostovala par a po d tlakorn, le m alo večj im od zračnega t laka.
Vseeno je Sav eryjeva črpalka poganj ala prve vrteče se stroje okoli leta
1750: vodo so č rpal i v rezervoar v višin i kakih 5 metrov in z nj o poga-
nj ali mlinska kolesa . Sav eryjeve črpalke kljub izd atni upora bi ni veliko
prisp evala k raz voju parnega stroj a .
Pomembnejši korak je naredil T hom as Newcomen. O njegovi izo-
brazbi j e mogoče le ugibati, a zdi se, da sta si on in njegov pomočn ik
John Cawley vsaj z izkušnjami pridobila veliko spretnost . Celo p oroč i lom
njunih sodobnikov ni mogoče zaupati, saj najdemo med njimi tudi never-
jetne zgodbe . Tako naj bi na primer samodejno zaklopke iznašel fant , ki bi
moral ročno uravnavati zaklopk e pri črpalki , pa je v tem času raj e odhajal
lovit ribe. Prva Newcomnova č rpalka , ki so jo postavili leta 1712 v oko-
lici Birminghamna , j e dobila dokončno obl iko 5 let pozneje . Naslednjih
petdeset let so jo izp opolnj eva li , ne ela bi spremenili zasnovo.
c
[ ~ ,
I
IFizika
Slika 2. Risba Saveryj eve črpalke iz knjižice Rudarjev prijatelj iz leta 1702 . Iz parnega
kotla B nad kuriščem A j e pritekl a para p od dokaj visokim t lakom v valja D in je vodo
iz nj iju skozi notranji zaklopki in zgornji navpični cevi G izt.isni la na prosto (ob zaprtih
zunanjih zaklopkah E) . Nato so ob lili valja s hladno vodo, da se j e para utekočinila.
Zni žani tl ak j e skozi zunanji zaklopki E in spodnji navpični ce vi p osrkal vodo navzgor
p o ce vi H v valja (ob zapr t ih notranjih zaklopkah E) .
Is Fizika I
Newcomnova črpalka je tako kot Papinova im ela v valju bat. Zanjo
je bil poleg samodejno delujočih zaklopk značilen delovni vzvod v obliki
jarma. Na eni strani je bil nanj z verigo pritrjen bat, na drugi pa težki
drog črpalke. V valj so skozi zaklopko uvedli paro pri tlaku , ki je bil malo
višji od zračnega tlaka, iz parnega kotla pod valjem. Ob tem se je zaradi
svoje teže drog spustil in to je dvignilo bat . Nato so v valj skozi drugo
zaklopko vbrizgali hladilno vodo (slika 3) . Tlak pod batorn se je znižal
na kako polovico zračnega tlaka in zračni tlak na zgornji del bata je bat
pognal navzdol in dvignil drog skupaj z vodo . Tako je naprava posnernala
delovanje črpalk z vzvodom, s kakršnimi pogosto dvigajo vodo iz vodnja-
kov. Take črpalke vidimo še danes v filmih z naftnih polj jugozahodnega
dela ZDA, le da je v njih elektromotor nadomestil parni stroj. Newco-
mnov parni kotel je bil iz bakra kot kotli v pivovarnah . Tlak v njem ni bil
znatno višji od zračnega tlaka, saj je imel prvi kotel varnostno zaklopko
naravnano na tlačno razliko dobre desetine bara.
Na začetku so menda tudi Newcomnovo črpalko hladili s tem, da so
valj z zunanje strani oblivali s hladilno vodo kot pri Papinovi. Nekoč j e
po nesreči voda vdrla v valj in tako hitro utekočinilaparo, da je vrglo bat
iz valja. To naj bi bil razlog, da so v prihodnje vbrizgavali hladno vodo v
valj in s tem dosegli, da je črpalka delovala hitreje in zmogla več kot deset
gibov na minuto. Papinova črpalka , pri kateri so valj oblivali z vodo,
je bila znatno počasnejša; zmogla je 3 do 4 gibe na minuto . Valj prve
Newcomnove črpalke je imel premer pol metra in pri 14 gibih na minuto
je črpalka delala z močjo več kot 4 kW. Pozneje so črpalke te vrste dosegle
skoraj dvajsetkrat večjo IllOČ.
Newcomnova č rpalka j e zadovoljila potreb e tedanj ega časa inj e imela
pomembno vlogo . Zato v njej ne kaže videti samo naključne prehodne
razvojne stopnj e. Na drugi strani pa je res , da Newcomen kljub svoji
spretnosti ni našel nekaterih boljših rešitev, o katerih bi se lahko poučil v
starejših knjigah .
Izučeni mehanik James Watt je bil drugačnega kova. Prvič je prišel v
stik z Newcomnovo črpalko leta 1763 , ko so mu prinesli v popravilo model
za poučevanje. Po dveh letih razmišljanja je uvidel , kako bi bilo mogoče
izkoristek črpalke in njeno moč izdatno povečati.
Pare ni več utekočinjal v valju, saj je trajalo precej č asa , preden je
nato para ohlajeni valj zop et segrela. Paro je odvedel in utekočinil v
ločenem kondenzatorju in s tem še pospešil gibanj e. Poleg tega je izko-
ristil dvojno delovanje; najprej je uvedel paro nad bat , da ga je stisnila
navzdol, nato pa pod njega , da ga je dvignila. Z ekscentro m , drogom in
vztrajnikom je gibanje sem in tja sprem enil v vrtenje . Nazadnje je valj še
postavil v vodoravno lego .
Fizika
Uporabil je tudi centrifugalni regulator, ki so ga dotlej poznali v
mlinih, za ]Jovr'atno vez . Naprava, ki so jo sestavljali dve ut eži v obliki
kroglic , vijačna vzm et in vzvodi , se je vrtela z enakim št evilom vrtljaj ev
na minuto kot stroj. Vzm et se je stiskala tem bolj, čim hitreje se je vrtela
naprava, in z vzvodom tem bolj zapirala zaklopko za dovajanj e pare, V
valj je priteklo tedaj manj pare in stroju se je nekoliko zmanjšalo število
vr tljajev na minuto. Tako so dosegli , da se število vrtljajev na minuto ni
znatno oddaljila od naravnane vrednosti.
VE
Slika 3 , Poenostavljena risba Newcomnove črpalke: K kotel, Z vstopna zaklopka , V
valj , B bat , VE veriga, D delovni vzvod, DR drog, VV vbrizgavanje hladilne vode, Č
črpalka za hladilno vodo,
110 Fizika I
Slika 4 . P oenos tavlj ena r isba Wat t ov e črpalke : K kotel , V valj , B bat , K O kondenza t or ,
Č črpalka za zrak .
J arnes Watt je svoje iznaj dbe pa tentiral leta 1769, a šele leta 1775
je zgra dil prvi stroj . Tedaj je parni stroj začel svojo pot, na ka teri j e
omogoči l razvoj industrij e v Anglij i. Dandan es pa ga več ne uporabljajo,
popo lnoma ga je izpodrinila parna turb ina.
Sadi Carnot je opaz oval ta razvoj in obžaloval , da Fran cija v gradnj i
parnih strojev zaostaj a za Anglijo. Namenil se je storit i kaj pr oti zaosta-
j anj u , Na splo š n o j e r a zis kal znači lnosti p a rneg a s t roja. P odrobno s t i g a
niso zanimale, osredotočil se je na tok toplot e. Ugotovil j e, da st roj poleg
"visoke temperature potr ebuj e tudi nizko". Stroj je primerj al z mlinskim
kolesom. Če pade na lopatice vod a z maso m za višinsko razliko Z 2 - Z I,
stroj v najugodnejšem prim eru odda delo, ki j e sorazm erno z maso vod e
in višinsko razliko:
Fizika 11
~ ČARNOT - - - - :
I 1796 do 1832 I_ _____1---I WATT1736 do 1819
NEWCOMEN 1663 do 1729
1650 1700 1750 1800
Slika 5. Življenski čas mož, ki so zaslužni za razvoj parnega stroja. Denis Papin iz
Coudraisa blizu Bloisa v Franciji j e končal študij m edicine. Najprej je kot fizik delal v
Parizu in nato v Londonu. K ot protestant se n i vrnil v Francijo, ampak j e nekaj časa
preživel v Italiji in se nato preselil v Nemčijo . Umrl j e v revščini v Londonu. Thomas
Savery iz Sh ils to na j e izumil več naprav. Um rl j e v Londonu. T homas Ne wco men
iz Darthmoutha j e b il trgovec z železnino in izdelovalec kovinskih predmetov . Tudi
on j e umrl j e v Londonu. O obeh Angležih in še p osebej o Newcomnu in nj egovem
pomočniku J ohnu Ca wleyu so p odatki n eriava clno skopi. James \NaU iz G reenocka n a
Šk ot skem se j e kot vajenec v Londonu izučil za m ehanika . Predpisi ni so dopuščali ,
da b i o dp rl lastno delavnico, zato j e leta 1756 p ostal m eh anik na glasgowski univer zi ,
kjer je ostal do upokoj itve le t.a 1800. Dos egel j e veliko čast. i, pl emiški naslov pa j e
o dklonil. Um rl j e v Heat.hfieldu blizu Birminghama. K ot. en oto za moč j e vp elj al
ko njsko moč. Ug otovil j e namreč, d a lahko konj v sekundi dvign e breme 150 funt. ov
za 3 ~ čevlj a: 1 KM = 550 tež a funt.a·čeveljjs. Danes uporabljamo kot enoto za moč
watt: 1 W = 1 k gm 2 j s3 ; 1 KM = 746 W , 1 kW = 1,34 KM.
Po podobnosti toplotni stroj odda delo
Masi vod e ustreza top lota Q, ki jo pr ejme toplotni stroj pri višji tempe-
raturi T 2 , višinski razliki pa razlika temperatur T2 - TJ. Carn otu j e bil a
podobnost domača, saj so tedaj imeli toploto za nekakšno snov. Zato je
Carnot mislil, da stroj odda pri nižji tem pera tur i T J enako toploto, kot jo
pri višji pr ejme. Danes vem o, da ni tako: stroj prejm e pri višji tempera-
turi toploto Q2 in pr i nižj i temp eraturi odda manjšo toploto QJ. Oddano
delo j e razlika ob eh toplot : - A = Q2 - Q J. Po odkritju energijskega
zakona sredi pr ejšnj ega st oletj a so v tem pogledu dop olnili Carnotovo iz-
vaj anj e. Vseeno je Sadi Carnot s knj ižico O gibalni moči ognja in o strojih,
nam enjenih izkoriščanju le mo či let a 1824 začel razvoj, ki j e prip eljal do
entropijskega zakona ali drugega zakona termodinamike (glej Presek 10
(1982/83) 24) .
Jan ez Strnad
PENROSE
Zapeljevanje
Zanim ivost i - Razvedrilo
ESCHER - REUTESWARD
Nizozemskega grafika M. C . Esch era (1898 - 1972) smo v Preseku že
sp oznali . Nobena skri vnost ni , da se j e Escher pr i svojem umetn iškem delu
v veliki meri ukvarjal s probl em i, ki so ponavadi bližje m a tem at ikom kakor
pa lj udern iz um etnišk ih krogov . Pri tem pa j e Escher sam zmeraj dos ledno
zanikal kak ršn okoli tesnejšo poveza nost z matematično znanostjo .
Tako je precej svoje pozorn osti na menil t udi št udij u lastn ost i trodi-
m enzionalnega pr ostora in obj ektov v njem . V svoj ih zapisih za pr ed ava-
nj a iz let a 1964 je Escher o tej tem i med dru gim t udi takole razmi šlj al :
"Včas ih se mi zdi , da smo ljudje kar p reveč obrem enjeni z neko notr anj o
težnjo pri t i kar se le da blizu nemogočemu in vsem nj egovim skrivnostim.
Kakor da bi se nam real nost okoli nas , ves ta trodimenzion alni sve t , ki
nas ob daj a, zdela p reveč navadna , preveč dolgočasna in vsa kdanja. Hre-
penimo po nadnar av nem ali celo sup ernarav nem , po tem , kar ne obstaj a,
to rej po čudežu .
Kak or da bi ta vsakodnevna realnost ne bi la že sama po sebi dovolj
zagonetna.
Saj se prav vsak emu izm ed nas lahko pri peti , da kd aj povsem ne-
p r i čakovano uj a me trenutek , v ka terem se sreča z impulzi, ki izvi rajo iz
same srži vsakdanjega življenja in realnosti. V mislih im am t renu tek , ko
postanemo ob č u tlj i v i tu di za nerazložlj ivo , t udi za čudesa okoli nas. G re
pr eprosto za nekak čudež t ega trodime nzionalnega prost or a , v ka terem
živimo in skozi katerega se premikamo skor ajda povsem ru tinsko; včasih
se nam namreč prostor sam po sebi raz krije na zares osup ljiv način .
Večkrat se m i j e na m ojih do lgih sa motnih sp reho dih skozi goz d okoli
Baarna pr imer ilo , da j e kar nenadoma izginil a tišina okrog mene. In ves
navdušen sem obstal, takorekoč iz oči v oč i s povsem nerealn im in neo-
braz ložlj ivim. Tedaj sem nata nko začuti l , kako zagonetna j e pravzaprav
ta razdalj a m ed menoj in , recim o, drevesi okoli mene in kolik o presene-
t ljivega skriva v sebi prostor, v katerem stoj im.
Prostor a preprosto ne poz namo . Ne moremo ga vid et i, ne morem o ga
slišati, niti občutiti . Stoji mo sred i njega , smo celo del tega prostora, pa
o njem samem vend arle ni česar ne vem o. Seveda lah ko, recim o, izm eri m
razdalj o m ed sebo j in bližnjim drevesom. Tod a ko rečem : "Trije met ri ,"
m i to število z ničemer ne razkrij e skriv nostnosti prost ora. V prostoru
lahko vidimo zgolj m eje in obrise, pros tora sa mega po sebi pa žal ne."
IZanimivosti - Razvedrilo
Peru-ose
Leta 1958 je znameni ti angleški fizik , astronom in matematik Roger
Penrose (roj . 1932) obj avil skupaj s svojim očetom v reviji British Yournal
of Psy chology članek, v katerem je pr edstavil nekaj t.i . nemogočih pred-
m et ov. Na sliki 1 vidimo le enega izm ed njih . Poslej ga bomo imenovali
kar Penro so v trikotnik, čeprav bi bilo morebiti natančnej še poimenovanj e
zanj Pen roso v nemogo či model trikotn ika .
..P
Slika 1.
Penrosov trikotnik je tr odimenzionalna konstrukcija , ki j e vsaj navi-
dez sestavljena iz treh kvadrastih tr am ov. Vendar pa se nam že samo ob
pogledu nanj , torej brez kakšnih dodatnih poj asnil , zazdi , da tak predmet
v resnici najbrž sp loh ne obs taj a . Seveda se lahko eksistenci tega pr ed-
meta postavimo po robu t udi s povsem resn imi , matematično zasnovanimi
argumenti . Oglejmo si jih nekaj :
1) Očitno j e, da leži tram C (glej risbo) vodoravno in da se nam tram A
približuj e, tr am B pa odda lj uje, če ju spremlj amo od njunega stika s
C pr oti drugemu kon cu . Povsem nemogoče j e torej, da bi se t ra mova
A in B spl oh kdajkoli staknila , kakor prikazuj e risb a .
14 Zanimivosti - Razvedrilo I
2) Konstrukcijo si lahko zamislimo v dvodimenzionalnem prostoru kot
model trikotnika, čigar stranice ponazarjajo tramovi A, B in C. Na
risbi lahko lepo opazimo, da stojijo tramovi med seboj pravokotno .
To pomeni, da bi bila vsota notranjih kotov tega trikotnika 2700 •
Seveda vemo, da kaj takega ni mogoče.
3) V tretje pa se oprirno na znanje stereometrije . Zamislimo si, da je na
vsaki izmed stranskih ploskev tramov, ki jih označujejo na sliki naj-
svetlejša ploskev (B) , nekoliko temnejša ploskev (A) in naj temnejša
ploskev (C'), položene ravnine. Na ploskvi B naj bo to ravnina L;B, na
ploskvi A naj leži ravnina L;A, na ploskvi C' pa ravnina L;c . Premice,
v katerih se sečeta po dve ravnini, označimo takole:
Z risbe se da lepo razbrati, da so ravnine L;A, L;B in L;c paroma
nevzporedne. Iz teorije vemo, da se tri takšne ravnine sečejo zmeraj
v natanko eni točki . Vendar pa to v primeru ravnin na ploskvah
Penrosovega trikotnika ni res, saj se premice p, q in r sečejo v treh
različnih točkah. Obstoj tega predmeta bi nas torej znova privedel
do logičnega protislovja.
Escher
V času, ko je bil objavljen
Penrosov članek, se je Escher
tudi že sam ukvarjal z risanjem
nemogočih predmetov. Tako je
imel tedaj za seboj že J(oeko z
magičnimi trakovi, 1957 (slika 2).
In prav Penrosovi nemogočipred-
meti so Escherju pomenili pre -
cejšnjo pomoč in vzpodbudo pri
nadaljevanju tovrstnih raziskav .
Tako je po branju že omenjenega
Penrosovega članka v kratkem
izdelal še tri litografije (slike 3,
4, 5). Slika 2. Kocka z magičnim trakom
IZanimivosti - Razucdrilo
Slika 3 B 1. eved ere (19 58)
Zanimivosti - Ra zvedrilo I
Slika 4. P o stopnica h n a vzgor in n a vzdol (1 960 )
S S lapom se bomo sedaj poskušali seznaniti nekoliko podrobneje. Že
ob pogledu nanj zaslutimo , da verj etno pon azarj a problem , ki j e v osnovi
zelo soroden s tistim , ki ga gledalcu ponuja Penrosov trikotnik. Zn ano j e,
da j e Escher v izd elavo te gr afike vložil ogrom no truda . Pred nj o j e izd elal
dolgo vrst o risb s samimi nemogočimi predmeti . In naposled mu j e v
končni verziji uspelo nekaj zares izjemnega . Poleg tega, da j e skonstruiral
IZanimivosti - Razvedrilo
Slika 5. Slap (1961)
objekt, ki je v realnem nemogoč že iz povs em geometrijskih razlogov, je
njegovo zagonetnost podkrepil še s fizikaln ega vidika. Ker teče voda na
risbi po kanalih navzgor "kar sama od seb e" in ker je ta njen tok očitno
večen, je Escherju hkrati uspelo skonstruirati tudi svojevrsten perpetuum
mobile (večno gibalo) . Znano pa je, da je obstoj takšnega predmeta (sis-
tema) v hudem nasprotju z nekaterimi osnovnimi fizikalnimi zakoni.
Zan im ivosti - Razvedrilo I
Na vrhu vsakega izm ed obeh stolpovopaz imo še dod atno za nim ivost.
Gre za dva velika poliedra , ki ju sicer nekoliko redkeje srečuj emo. Levi
pr edstavlj a tri sekajoče se kocke, desni pa par sekajočih se oktaed rov.
Escher je dejal , ko j e komen tiral to svoje delo, da poliedra na tej sliki
nimata nobenega prav posebnega pomena in da ju je narisal pač pr eprosto
zato, ker so ga poliedri zm eraj zanimali in se j e z njimi že od vsega z ačetka
rad ukvarjal.
R euteswdrd
Risba na sliki 6 nam kaže enega izmed več tisoč (!) nemogočih pred-
metov , ki jih j e uspel skons truira ti švedski gra fik Oscar Reu tesward (roj.
1915). Lahko jo razumem o tudi kot pojasnilo k Escherj evemu Slapu. Nje-
gova paje tudi sedaj že kar znamenita nemogoča konstrukcija na sliki 7.
Slika 6 .
Domača naloga
Slika 7.
Za konec si oglej mo še nekaj zanimivih pr obl em ov, ki so povezani s
Penrosovim trikotnikom .
1) Recimo, da bi nam usp elo ses tavit i Penrosov trikotnik iz dvanajstih
kock, kj er im a vsaka izmed njih rob z dolžino 1 drn (slika 8). Potem
bi lahko seveda govorili tudi o "prosto rn ini" in o "po vršini" tako
nastalega telesa. Ali ju znate izračunati?
IZanimivosti - Razvedrilo - N aloge
Slika 8 . Slika 9.
2) Recimo, da bi nam usp elo zgraditi poseben Penrosov trikotnik z za-
oblj enimi rob ovi (slika 9). Po njem naj beži še pikapolonica, ki pa se
giblj e zmeraj le naprej in nikdar ne zaid e čez nob enega izmed robov
tega trikotnika. Poleg tega naj bo na nekem mestu tega telesa zari-
san sklenjen obroč , kakor kaže slika . Povejte - najmanj kolikokrat bi
morala pikapolonica steči čez obroč , če bi hot ela priti spet nazaj na
svoj e izhodiščno mesto!
3) In kako pojasniti fotografijo na naslovni strani Preseka? Mar ta
fotografija ne zanika tega , kar smo v tem č lanku zvedeli o nemogočih
predmetih?
Nadaljnje branje
1) Gardner Martin: Aha! pa te imam, Ljubljana , DZS , 1988,
2) Smullyan Raymond: Po znal e naslov le knjige?, Ljubljana, DZS , 1987.
Vilko Domajnko
TRIKOTNIKI S POSEBNO LASTNOSTJO
Iz oglišča A trikotnika ABG narišerno kotno simetralo, iz B te ži ščnico k
stranici AG in iz C višino na stranico AB . Dokaži, da gredo te tri pr ernice
skozi isto točko natanko tedaj, kadar razdeli višina iz oglišča estranica
AB v razmerju stranic AG : AB.
Ivan Vidav
Astronomija I
NOS
Tudi nos najdemo na nebu - sicer ne človeškega , ampak živalskega. Nos
konja , vendar ne navadnega. Najdemo nos krilatega neb esnega konja -
Pegaza.
Sredi jeseni visoko na juznem delu neba lahko opazujemo ozvezdje
Pegaz (slika 1). To ozvezdje upodablja tistega konja, ki gaje po st arogrški
pripovedi prvi ukrotil in zajahal veliki grški junak Perzej . Z njim je letal
po nebu. S Pegazovo pomočjo je Perzej opravil številna junaštva. Rešil
je tudi lepo princeso Andromeda, ki jo je, prikovano na skalnato pečino,
hotel požreti ogromen pošasten morski kit .
Slika 1. Ozvezdje Pegaz, v njem zvezda Nos in kroglasta kopica M 15. Fizikalne
karakteristike zvezde in kopice poiščite v kakem zanesljivem priročniku, na primer
v J(arti severnega in južnega neba, ki je izšla pri DMFA Slovenije, ali v kakšnem
računalniškemprogramu.
Za nebesnega Pegaza je značilno troje: ima krila, zato lahko leta;
večinoma je narisan obrnjen na glavo ; nikdar ga ne prikazujejo celega,
vedno le kot polovico konja. To pojasnjujejo tako, da naj bi ozvezdje
predstavljalo pravkar rojenega konja, takega, ki pravkar leze iz morja.
Astronomija
Pegaz je nekoč na neki gon
v Grčiji močno posk akoval. Za-
radi udarca njegovih kopit se j e
udrla zemlja. Iz udrtine je prite-
kla voda. To je bil slavni konj ski
izvir . Vod a iz tega izvira je imela
nen avadno čarobno moč. Kdor jo
je pil , ga je navdihnila s pesnik o-
vanj em. Ne samo zaradi j una štev,
tudi zaradi čarobne vod e so stari
Grki tako časti l i Pegaza , da so ga
postavil i na nebo, kjer so ga ob ču­
dovali .
Ozvezdj e Pegaz je sestavljeno
iz štirih svetlih zvezd , ki oblikujejo
na nebu velik "kvadrat" (Miza),
od kat.erega štrli ta dva različno
Slika 2. Kroglasta z vezdna kopica M 15 ,
posneta z zelo zmogljivim d aljnogledom.
Slika 3 . Takole j e oz vezdje P egaz narisal nemški astrono m J ohann Boyer v s vojem
zvezdnem atlasu Uranom etrija (160 3).
Astronomija - Novice I
do lga zvezdna kr aka . Na kon cu daljšega čep i zvezda En if (t: Pegaza) , kar
v arabšč in i pomen i Nos (ko nj a) (slik i 1 in 2). To zvezdo omenjamo za to ,
ker jo brez težav e najdem o v jasnih j esenskih nočeh , v njeni nep osredni
bližini pa še leži znana kr oglas ta zvezdn a kop ica - gruča M 15.
P red lagam, da v j asni noči brez mese čine s prost im očesom najprej
poiščete in opazuj ete zvezdo Nos. Potem vzemite lovski daljnogled in z
njim opazujte še pr ekrasno zvezdno kopi co M 15. Vidna j e kot nežen
drobcen puhast obl aček .
Marijan Prosen
QUANTUM IN KVANT
Ruska matemat ično- fiz ikaln a revija "Kvant" , ki j o poznamo tudi pr i nas ,
j e začela izhajati leta 1970. Presek ji j e namenil nekaj besed ob njeni
dvajset letnici (18 ( 1990/91) 47) . Tedaj j e začel izh aj ati njegov ameriški
dvoj ček "Quantum" , o katerem lahko pov em o dan es nekaj več.
Osnovali so ga matem atik W illiam P. Thurston , dobitnik Fieldsove
m edalj e, fizik Sh eldon Lee Glas how, dobitnik Nobelove nagrad e, in J urij
Ossipyan iz moskovskega ur ada "Kvanta" pri Akad emiji znanosti. Spočet­
ka je "Q uant um" samo prevaj al članke iz "Kvanta" , zdaj pa so že približno
en ako zastopani pr evodi in originalni pri sp evki. "Q uant um" izd aj ata
ame riško Združenj e uči telj ev nar avoslovja in moskovski ur ad "Kvanta"
v sod elovanju z Ameri škim združenj em učitelj ev fizike in Državnim sve-
to m u čitelj ev matem atike, založnica pa je mednarodna založb a Springer.
Na leto izid e šes t številk s po 84 stranmi. "Quantum" je mogoče naj ti
tudi že v nekaterih naših knjižnicah . Najbrž j e za slovensko tržišče za-
radi pisave in j ezika zanimivejša angleška revija kot ru ska. Tudi papir in
tisk "Qua nt um a" st a precej bolj ša, slike in risb e pa se še vedno precej
zgledujejo po "Kvant u" . Podobne revije v angleščini doslej ni bilo , zato
se bo "Quant um" najbrž dobro uveljavil, začetne težav e j e že prebrodil.
Pri nas j e "P resek" imel nar avno ozadje v Društvu matematikov , fizikov
in astronomov , v tujini pa takega ozadj a ni, ker imajo m atematiki in fi-
ziki sam ostoj na društva . "Q uantum" ima pod obne rub rike kot "Kvant"
in "Presek" . Objavlja članke iz matematike in fizike, matematične in
fizika lne naloge, opise posk usov, novost i in posveča pr ecej pozornosti pri-
pravi na m ednarodna tekmovanja iz matematike in fizike. Zanimivo je
"Q uantum" primerjati s prvovrstno polj udno-zn anstveno revijo " Scient i-
fic American" . V "Američana" pišejo vrhunski strokovnj aki , a članki so,
INovice
so, čep rav brez enačb, pogosto dokaj zahtevni . V "Qua ntum" ne pis ejo
tako znani razisk ovalci , a članki so manj zahtevni, četudi se ne izogibajo
enačbam. Po zahtevn osti na spl ošno nekoliko presega "Presek" in je na-
menjen predvs em srednj ešolcem . Podobno kot ima "Scient ific American"
izd aje v drugih jezikih , se obetajo tudi "Quantumu" izdaje v tujih jezikih,
pred kratkim so ga začeli izdajati v grščini.
Ob začetku izhajanja "Quantuma" je nekaj misli zapisal W. P. Thur-
ston. Te je urednik Bill K. Aldridge povzel v letošnji marčni oz. aprilski
št evilki:
"Naravoslovno in še posebno matematično pisanje se nagiba k temu,
da je gosto in polno nevarnih zavojev in zahrbtnih jam z 'ž ivim peskom. Ko
sem bil otrok , sem bil ponosen na to, da sem prebral veliko strani na uro.
Na kol edžu sem spoznal, kako neumen sem bil. Pri branju matematike je
lahko deset stran.i na dan zelo velika hitrost. Celo stran na dan utegne biti
precejšnja hitrost.
Članki v "Quantumu" niso napisani kot članki v raziskovalnih revijah,
toda ko jih beremo, lahko uporabimo nekatere podobne navade. Ne bojte
se zaustaviti sredi odstavka ali sredi stavka, če vas kaj preseneti ali se vam
zdi uganka. Hitrost ni pomembna. Ne mislite si, da je nekaj očitno, četudi
'se tako zdi piscu. Kar pri strani sami izp eljete , zahteva veliko več časa, aje
veliko več vredno, kot tisto, kar ste prebrali na hitro."
Za poku šnjo si iz omenjene številke "Quantum a" sposodimo podatke
iz naloge "St ehtaj mo vesoljca" . Obdelala sta jo Arthur Eisenkraft in
Lary D. Kirckpatrick , ki skrbita tudi za ameriško moštvo na fizikalnih
olirnpiadah.
Darila se ni težko stehtati. Stopite na osebno tehtnico, ki pokaže težo
in iz nje sklepamo na maso, kolikor tehtnica ni že urnerj ena v kilogramih.
Navadno težo uravnovesi sila prožnega telesa v tehtnici. To silo izmerimo
po spremembni oblike telesa , ki jo povzroči. V vesoljski postaji, ki se giblj e
okoli Zemlje kot umetni satelit, to ni mogoče . Telo v prostem padanju ne
čuti teže. (Albert Einstein je imel spoznanje, da krovec med padanjem
s strehe, ne čuti teže, za eno izm ed svoj ih najbolj posrečenih zamisli , na
njej je zgradil teorijo gravitacije - splošno t.eorijo relativnosti.) V postaji
bi osebna tehtnica leb dela enako kot vesoljec in bi kazala ničlo. O teži
prosto padajočega telesa ni mogoče preprosto govoriti. Zato maso vesoljca
merimo. Ta masa je zelo pomembna, ker pove nekaj o zdravstvenem
stanju vesoljca.
No vice I
Za merjenj e kot pr ej izkoristimo prožno telo, tod a zdaj ne meri mo
spremembe oblike v ravnovesju ampak nih anj e. Nekakšen st ol so opremili
na nogah z vzmetmi v obliki ukrivljenih t rakov, ki so bil i pri trj en i na
ladj o. Vesoljec se usede na stol, se pri veže kot v let alu, se s pri tiskom nog
na steno odrine, popusti in izmeri nihajni čas. Najbolje je izm eriti čas
t rajanja desetih nihaj ev in izme rek deliti z deset . Deli stola in vesolj ca se
gibljejo premo , zato lahko upor abimo zna no enačbo za nih ajni čas nih ala
na vijačno vzm et:
2 Jm+ moto = 'Ir k.
m je m asa vesolj ca , m o masa sto la in k koeficient vzmeti. Napravo za
m erj enje teles ne mase BMMD so umerili na Zemlji , tako da so ugotovili
zvezo med dod atno m aso m in nihajnirn časom to (slika 1):
2
to s
0,00 0,901
14,06 1,250
23,93 1,444
33,80 1,615
45,02 1,788
56,08 1,944
67,05 2,088
20 30 40 50 60 m
Slika l . Z m erjenjem z napravo za m erjenje telesn e m as e BMMD u gotovljena odvisnost
nihajnega časa to od d odatne m ase m in krivulje za k = 744 NI m in m o = 15 ,3 k g , ki
se p odatkom n ajbolje prilega .
Novice - Naloge
Naj prej za vsako izmed vrst ic izračunamo {tO /2 1r)2 in od pod a tkov
za m in (tO/21r)2 v da ni vrs t ici odštejemo podatka iz zgornj e vrsti ce.
Tako dob imo 6.m in 6.(t O/ 21r)2 in i zračunamo koeficient vzmeti k =
= 6.m /6.(t o/21r)2. Nat o v vsaki vrstici izračunamo maso st ola mo =
= k(t o/21r)2 - m . Kratek račun , pri katerem si pom agamo z žepnim
računalom, da
k =(744±7)N/m lil mo =(15,3 ± 0,3) kg.
Kot pon avadi računamo na to liko mest , da je zadnj e negotovo kvečj emu
za nekaj eno t .
Owen K.Garriot t , ki j e prebil v Sky labu 58 dni , j e imel na z ačetku
na stolu nihajni čas 2,012 s in na kon cu 1,981 s . Enačba m = k(to/2 1r )2-
- mo da za m aso na začetku 61,1 kg in na koncu 58,8 kg. Navadno se
vesoljc em zaradi tega, ker ne ču t ijo teže, masa nekoliko zmanjša . Merj enj
med začetkom in kon cem bivanj a v Skylabu , ki so dala pod atke o telesnem
st anj u vesoljca med polet om , članek ne nav aj a. Kljub temu je mogoče že
po povedan em ugotoviti , da "Q ua nt um" ponuja zanimivo čtivo.
Jan ez Strnad
MANJKAJOČEŠTEVILO
Dobili sm o magnetni tr ak , na katerem je zelo velika da tot eka , ki vsebuje
naravna števila od 1 do neznane zgornje meje . Vem o še, da je zgornja
meja zelo velika , recim o nekaj deset milijonov . Obvestilo tudi pr avi , da
na datoteki manjka natanko eno št evilo s tega intervala, vsa ostala štev ila
pa so na datoteki zapisana na tanko enkra t . Seveda števila na datoteki
niso zapisana urejeno.
Naša naloga je, da poiščemo manjkajoče št evilo. Žal pa im amo na
razpolago le računalnik z zelo majhnim pomnilnikom , majhnim diskom in
počasno tračno enoto. Zato mora biti program, ki bo poiskal manjkajoče
šte vilo, kr atek, uporabiti m ora malo dodatnih sprem enljivk , pa tudi da-
toteko mora prebrati čim manjkrat, da iskanje ne bo trajalo predolgo .
Martin Ju van
Fizika I
PRESENETLJIVI PRIKAZ POPOLNEGA
NOTRANJEGA ODBOJA
1. PRIKAZ
Slika 1 prikazuje stekleno bučko, napolnjeno približno do polovice s frni-
kulami. Bučka stoji na tleh velike st eklene posode, delno napolnjene z
vodo.
svetlob"i
žarek. ~
za-mašek $veUohni žarei:
:l,
Slika l.
Slika 2 je fotografija z vrha steklene bučke navpično navzdol. Črni
krog na sredini steklene bu čke j e gumijasti zamašek . Frnikule lahko vi-
dimo skozi tisti del steklene bučke, ki j e nad vodno gladino .
Slika 2.
Fizika 27
Če v posodo dotočimo vodo, frnikul ne vidimo več. (Glej sliko 3.)
Slika 3.
Na sliki 4 vidimo, da so frnikule še zmeraj skrite, tudi če se opazovalec
nekoliko odmakne od navpičnice. Pri večjem odmiku postanejo frnikule
spet vidne. Na sliki vidimo označbo, ki j e natisnjena na zunanji površini
steklene bu čke, in njeno podobo, ki je nastala zaradi odboja od notranj e
površine.
Slika 4.
Fizika I
2. RAZLAGA
Oglejmo si podrobneje svetlobna žarka 1 in 2 s slike 1.
Robovi steklene bučke so strmo nagnjeni , Svetlobni žarek 1, ki gre
od fmikule proti opazovalcu , potuje skozi zrak, nato skozi steklo v vodo,
ter na koncu v zračni prostor (glej sliko 5).
Najprej prehaja iz optično redkejše snovi v optično gostejšo snov, kjer
se svetlobni žarek lomi proti vpadni pravokotnici. Pri prehodu iz stekla
v vodo pa se svetlobni žarek lomi od vpadne pravokotnice. Prav tako se
svetlobni žarek lomi od vpadne pravokotnice, ko gre iz vode v zrak.
Zato frnikul ne vidimo, če gledamo od vrha steklene bučke navpično
navzdol. Potopljeni del bučke je videti zelo svetal zaradi popolnega od boja
svetlobe iz okolice.
Na sliki 6 vidimo potek svetlobnega žarka 2 s slike 1. 'PI predstavlja
vpadni kot, 'P2 lomni kot znotraj steklene bučke, 'P3 pa kot žarka v bučki.
Slika 5. Slika 6.
Če se kot 'PI povečuje, se povečuje tudi kot 'P3. Pri mejni vrednosti
kota 'PI postane kot 'P3 enak 900 . Za kote 'PI, ki so večji od te mejne
vrednosti, se žarek na meji med steklom in zrakom v celoti odbije. Zato
govorimo o popolnem odboju, Mejni kot 'PI lahko izračunamo takole:
Fizika - Naloge
Upoštevamo lomni zakon za vsako ploskev na sliki 6 in za 'P3 posta-
vimo 90° , dobimo n1 sin 'P1 = n2 sin 'P2 = n3 sin 'P3 = n3·
Če vstavimo za ni = 1.3:3 (lomni kvocient za vodo) in n3 = 1.00
(lomni kvocient za zrak) , sledi:
1.33 sin 'PI = 1.00
sin'P1 = 1/1.33 = 0.752
'P1 ~ 49°.
Tako sm o, neodvisno od lomnega kvo cienta za steklo n2 , dobili mejni
kot totalnega odboja za prehod iz vode v zrak . Žarki, ki imajo vpadni
kot manj ši od 49° , se le delno odbijejo .
Če j e st eklena bučka v zraku , sta 111 in n3 enaka 1.00 in pop olnega
odboja ni , saj je 'P1 = 'P3.
Pri poskusu smo uporabili:
- st ekleno posodo (27 cm x 17 cm x 20 cm) ,
- stekleno bučko (1000 ml) ,
- 100 frnikul s premerom 1.5 cm,
- zamašek .
Za popestritev lahko v majhnih skupinah prikažemo, kako frnikule
postopno izginjajo , ob dodaj anju vode, v zunanjo posodo. Po razgovoru
in razl agi tega eksperimenta odstranimo zamašek in natočimo vodo v ste-
kleno bu čko , da bodo frnikule postale ponovno vidne. Namesto frnikul
uporabimo bonbone, s katerimi se po poskusu lahko tudi posladkamo .
Tilka Jakob
IZ DRUŽINSKE KRONIKE
Andrej je brskal po družinski kroniki in v zapisu za leto 1918 odkril po-
datek , da je bila tistega leta starost njegovega pradeda trikratnik vsote
št evk pradedove rojstne letnice. Praded je že tedaj ime l dva sinova, od
katerih je bi l mlajši Andrejev ded. Zanimivo - vsa k od njiju je bil tedaj
v starosti vsote števk svoje rojstne letnice. Koliko je bil star praded ob
rojstvu Andrejevega deda?
Marij a Vencelj
Matematika I
MNOŽENJE ZA TISTE, KI POZNAJO LE
POŠTEVANKO ŠTEVILA 2
Zast avim o si naslednji probl em : Predp ostavimo , da znamo seštevati na-
ravna šte vila, množiti in deliti pa znamo le s šte vilom dve. Ali lahk o s tem
znanjem izračunamo pr odukt po lj ubnih naravnih števil 111 in n? Seveda:
Če zapišem o n-krat šte vilo 111 v stolpec in sešteje mo, dobimo rezultat .
Tu si oglej mo nekoliko kraj šo meto do . Mend a so j o poznali že stari
Egipčani , sedaj pa jo nekateri imenujejo metoda ruskih kmet ov . Zan imiva
je tudi zato, ker je vseeno , v kat eri osnovi št evila zapisuj cmo. Važno je
le, da znamo množiti z dve, deliti z dve in sešte vat i.
Postop ek je takl e:
1. Šte vili , ki ju želimo zmnožiti , zapišem o na vrh sto lpce v.
2. Št evila v prvem sto lpcu zaporedoma delimo z dve, kvocient e podpi-
suj em o in ostanke enostavno pozabimo. Končamo, ko pridem o do 1.
Števil a v drugem stolpc u pa zap oredom a množimo z dve. Ko pridem o
vzporedno z enoj ko na levi , končamo .
3. V desnem st olp cu prečrtamo šte vila v tistih vrsticah, kjer je v levem
st olpcu sodo šte vilo.
4. Št evil a v desnem stolpcu , ki jih nismo prečrtali , seštejemo. Vsota je
pr odukt števil 111 in n .
Oglejmo si post opek na primeru 111 = 76 in n = 27.
76 ...!It-
38 --54-
19 108
9 216
4 4&:2-
2 864-
1 1728
Sešt ejemo 108 + 216 + 1728 = 2052 , kar je res enako 76 x 27.
Poglejmo še, zakaj ta metoda deluje.
S šte vilom m se dogaja sledeče: Najprej ga delimo z 2 in dobimo
kvocient ml ter ostanek bo. Nato delimo z 2 število ml in tako dalj e.
IMatematika - Naloge
Kvociente označimo z ml, m2, ..., mk, ostanke pa z bo , bl, . . " bk.
m 2 · ml + bo
ml 2 ·m2 + bl
mk-l 2 , mk + bk- l
mk bk
Končamo pri mk = bk = 1. Števila bo , bl , " " bk so ostanki pri
deljenju z dva in so enaka O ali 1. Vstavimo sedaj izraz za mk v izraz za
mk-l, izraz za mk-l v izraz za mk-2 in tako vse do m . Dobimo:
m = 2(2(2(2·· · (2bk + bk-d + bk-2) + ...)+ bl) + bo.
Od tod sledi:
Pomnožimo sedaj tako zapisani m s številom n :
Ker so bo ,bl,' .. , bk enaki 1 ali O, je produkt m . n zapisan kot vsota ne-
katerih od števil n, 2n, 4n, 8n, .. .,2kn . V zgornji vsoti so od nič različni
sumandi seveda tisti, pri katerih je ostanek po deljenju z dva, to je pripa-
dajoči bi, enak 1. To pa je tam, kjer imamo v levem stolpcu liho število,
Če je v levem stolpcu soelo število, je ustrezen produkt s potenco dvojke
pomnožen z O, zato smo ga prečrtali. To pomeni, daje naš način množenja
pravilen .
Vidimo, ela je vseeno vredno se naučiti vse poštevanke. Št evilo ope-
racij (množenj in delj enj z 2 ter seštevanj ), ki jih moramo izvesti pri tem
množenju, je namreč zelo veliko v primerjavi z ustreznim številom operacij
pri običajnemmnoženju.
Mirko Dobovišek
SLAMICA
Koliko sme največ biti dolga ravna slamica, da po njej še lahko navpično
iz kozarca pijemo sok?
Matjaž Vencelj
Zanimivosti - Razvedrilo I
KRIŽANKA "STAROGRŠKI MATEMATIKI"
Tokrat je pred vami križanka, v kateri boste našli 13 starogrških matematikov
in filozofov . Opisi zanje so v debelejšem tisku.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14
15 16
17 II 18 II II 19 20
21 II 22 23 24 II 25
26 II 27 28
29 30 II 31 II II 32
33 II II 34 35 36 37
38 39 40 II II 41
42 43 II 44 II II 45
46 47 II II 48
49 II 50 II 51 52 53
54 II 55 56 II 57
58 59 II 60 II 61
62 II 63 64 II 65
66 67 68 69
70 71
IZanimivosti - Razvedrilo
VODORAVNO:
1. kli c , poziv ljudstvu, 5. grški matematik iz 3.stoletja, ki je prvi sistematično
obravnaval algebro in preučeval enačbe z racionalni mi rešitvami, te se še danes
imenujejo po njem, 12. atensko pristanišče, 14. največji antični matematik, ki se
je ukvarjal s ploščinami ravninskih liko v in prostornino teles ter med drugim
izračunal zelo natančen približek števila IT, 15 . trava druge košnje, 16. grški mate-
matik iz 4 . stoletja pred našim štetjem, ki j e obravnaval števila, uvrščamo ga
med pitagorejce, 17. prečni drog v kozolcu, 18 . igralna karta z enim znakom na sredini ,
19 . večja reka v južni Sibiriji, ki izvira v Mongoliji in se izl iva v Amur, 21. j egu lj i podobna
velika roparska morska riba, 22 . industrijsko oblikovanje (naša pisava), 25. začetnici igralca
Rozmana, 26 . izbočen del obraza, 27. slovenska igralka (Stanislava), 29 . najdaljši pritok Oba,
31. oče, 32 . začetnici dirigenta in sk ladatelja Danona, 33. mesto s katedralo v južni Španiji ,
34 . večji kraj pri Domžalah z zelo razvitim drobnim gospodarstvom, 38. večje mesto v Zam-
biji ob meji z Zairom, 41. začetnik starogrške geometrije in astronomije, trgovec iz
Mileta, 42. začetnici avstrijskega pisatelja Handkeja, po materi slovenskega rodu, 44. dan
v sredini meseca po starorimskem koledarju, 45 . sprednji del trupa, 46. kraj nad Slovensko
Bistrico, 48. čebelji samec, 49 . zdravilo, pridobljeno iz opija, 50. kozje parjenje, 51. m ehiški
pesnik, dobitnik Nobelove nagrade leta 1990 (Octavio), 54 . zaščitno premazno sredstvo ,
55. skupek med seboj povezanih stvari, 57. slovenski skladatelj zabavne glasbe (Mojmir),
58. star angleški kolidž zahodno od Londona, 60. tanek izrastek na glavi, 61. grški ma-
tematik, ki je izpeljal (po njem imenovan) obrazec za ploščino trikotnika in
računal prostornine teles, 62 . ime teniške igralke Jaušovec, 63. veliki grški mate-
matik, ki je postavil temelje današnji geometriji, 65. začetnici ilustratorke Osterc,
66. predsednik Toga [Et.i enne}, 68 . del večje vojaške enote v razporeditvi eden za drugim,
70. j ezd ec , jahač, 71. gora nad Bovcem z najvišje ležečimi smučišči v Sloveniji .
NAVPIČNO :
1. grški matematik, preučeval je krivulje, k i jih dobimo pri preseku okroglega
stožca, 2 . grški filozof s Samosa, ki j e svetu znan predvsem po izreku o pravoko-
tnem trikotniku, 3. grški matematik in geograf, ki je izračunal obseg Zemlje iu
odkril rešeto za določanje praš tevi l, 4. slovenski igralec in gledališki vzgojitelj (I van,
1888 - 1950), 5. p oklonjen predmet, 6. mehko usnje iz kož divjadi, 7. zunanji, varovalni
del naprave, okrov, 8. vezni kos z navoj em pri ceveh hišne napeljave, 9 . šiitska milica v Li-
banonu, 10. neubranost, disharmonija, 11. različna soglasnika, 13. začetnici igralke Avbelj,
16 . otok pred severozahodnim rtom Sardinije, 18. ime tenorista in glasbenega pedagoga Da-
riana, 20 . sto kvadratnih metrov, 23 . zadnja avstrijska kraljica, 24 . sirski predsednik (Hafez
el), 27 . začetnici filmskega režiserja Šprajca, 28 . slovenski operni baritonist in režiser, or-
ganizator slovenske opere (Josip, 1841 - 1902), 30. velika azijska država, 35 . človek v prvih
letih življ enj a , 36. maščoba v trdnem stanju, 37 . znižana nota "e", 39 . ameriški dramatik,
pisec filmskih scenarijev (Clifford, 1906 - 1963), 40 . avtomobilska oznaka italijanskega m e-
sta Lecceja, 42. a leksandrijski matematik in astronom, začetnik trigonometrije,
avtor "Velikega zbornika astronomije" ali Almagesta, 43. edina omenjena sta-
rogrška matematičarka, avtorica komentarjev o klasičnih matematikih, 45. ze-
mlja, 47. aleksandrijski matematik, razlagalec pitagorejske aritmetike, 48 . zelo
slišen zvok ob udarcu a li padcu, 50. kakovostno dalmatinsko črno vino , 51. slovenska igralka
(Vera, poročenaEržen), 52. grški bog sonca, 53. grški filozof in matematik iz Ele e , ki
se je ukvarjal z neskončno velikim in neskončnomajhnim, a vtor več paradoksaI-
nih p roblcrnov (npr. o Ahilu in želvi), 56. rodovna grupacije v praskupnosti, 57. mesto
ob reki Meuse v severovzhodni Franciji, 59 . ime slovenske sopranistke Vidmar, 61. bivalna
zgradba, 64 . albanska denarna enota, 67 . začetni ci TV voditeljice Longyke, 69 . simbol za
litij .
Marko Bokalič
Računalništ vo I
o PRESLIKAVAH RAVNINE, PRAPROTI IN
STISKANJU PODATKOV
Kaj im ajo skupnega preslikava ravnine, praprot , kot jo vidite na sliki 1,
in sti skanje podatkov? Na prvi pogl ed nič . Kot bomo videli s pomočjo
članka iz novembrske številke revije pe Magazin e, pa zveza med njimi
obstaj a . Tako smo pr aprot nari sali s pomočjo štirih preprostih preslikav
ravnine. Če sliko dobro pogl edate , lahko opazite, da j e vsak list kopija
celotne pr aproti . To lastnost pa uporablja tudi postopek , ki ga usp ešno
uporabljajo za stiskanj e (kompresijo) podatkov.
Slika 1.
Točkam, ki so nekaj časa mirno ždele na koordinatni ravnini , j e po-
stalo dolgčas. Zato so se odločile , da si malo pretegnejo noge. Ker tako
odlična združba ne more početi ničesar , ne da bi to dobro pretehtala , so
to pretegovanj e nog opravile po načrtu . Tako se je vsaka točka T s svo-
jega starega mesta, podanega kot par koordinat (x ,y) , odpravila na novo
mesto TI , katerega položaj j e bil dan z (Xl, yI) . Pri tem je veljalo
XI = ax + by+ e
yI = cx + dy + f .
Da bi bilo potovanje zanimivejše, so se vrednosti koeficientov a , b, c, d, e
in f od časa do časa sprem enile.
Tako se je na pot odpravila tudi točka (O, O) . Ker točke hodijo zelo
hitro , j e dokaj hitro opravila 10000 korakov. Kot zelo sistematična oseba
si je skrbno beležila vsa mest a, ki jih j e obiskala , pa tudi koeficiente, ki
j ih je pri vsakem premiku uporabila za izračun svojega novega položaja.
IRačunalništvo
Op azil a j e, da so se izrnenj evali le štirje nabori koeficien tov, vendar so
neka teri nastopali pogosto , drugi pa redk eje. Zložila jih je v tabelo:
a b c cl e f koliko
0.00 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 100
0.85 0.04 - 0.04 0.85 0.00 1.60 8500
0.20 -0 .26 0.23 0.22 0.00 1.60 700
-0.15 0.28 0.26 0.24 0.00 0.44 700
Nad sliko obiskanih točk (slika 2) pa se je še sama začudila: "Saj to je
čisto prava praprot ."
Slika 2.
Preslikavam, kot so j ih opravile naše točke , učeno rečemo afine pr e-
slik ave. Morda se bomo z njimi natančneje spoznali kd aj drugič . Ker pa
smo tokrat v računalniškem delu Preseka, nas predv sem zanima, kako bi
tudi mi narisali takole praprot . Zad eva je preprosta . Kot vidimo , mo-
ramo up or abi ti štiri afine pr eslik ave. Vsaka preslikava im a prirej eno še
pogost ost uporabe, ki določa nj eno pomembnost. V našem primeru je
najpomembnejša druga preslikava, ki na stopa v 85% primerov.
Začnemo s točko (O, O) in spodanimi verj etnostmi izberemo eno od
afinih pr eslikav. Izračunamo novo točko in to ponavljamo. Sprva nesmi-
selni razpor ed točk se nam bo ob dovolj ponovitvah izoblikoval v sliko
pr aproti. Slike zaradi naključne izbire pr eslikav sicer niso vedno povsem
Računalništvo I
enake, vendar pa jih pri dovolj velikem številu točk s pr ostim očesom sko-
raj ne m orem o lo čiti. Čeprav ne dvomim, da bi znali pr ogram, ki nariše
sliko, napisati tudi sami , ga vseeno zap išimo še t ukaj.
SCREEN 12
WINDOW ( - 4 , 0)- (6 , 10)
RANDOMIZE TIMER
X = O : Y = O
WHILE INKEY$ = liII
R = RND
IF R < .01 THEN
A = o: B = O: C = o: D = .16: E = o: F = O
ELSEIF R < . 86 THEN
A = . 85: B = . 04 : C - . 04: D = .85: E = O: F = 1. 6
ELSEIF R < . 93 THEN
A = .2: B - . 26 : C .23: D = .2 2: E = O: F = 1.6
ELSE
A = - . 15 : B .28: C = .26: D = . 24 : E = O: F = .44
END IF
NOVIX = (A * X) + ( B * Y) + E
NOVIY = (C * X) + (D * Y) + F
X = NOV IX
Y = NOVIY
PSET (X, Y), 2
WEND
P rogram je zapisan v QB ASIC U, prog ramskem j eziku , ki ga lahko
uporabljajo vsi, ki imajo na računalnik ih operaci jski sist em MS-DOS , pa
čeravno za t a prog ramski j ezik verjetno še vedo ne. Pokličemo ga z uka-
zom Q BAS IC in vt ipka mo gornje ukaze. S stavkom SCREEN 12 pov emo,
da uporabljamo grafični način VGA . Točke , ki ji h določajo naše štiri afine
pres likave, ležij o v kvadra tu (- 4, 6) x (0 , 10). Zato s ukazom WINDOW po-
skrb imo , da bomo sliko dobili raztegnj eno na cel zas lon . No, včasih nam
kakšna točka pobegne z zas lona, vendar takih enost avno ne upoštevamo.
Glav na zanka , v kateri gen eriramo točke , se po navlja, dokl er ne pr it i-
snemo poljubne ti pke. V nj ej glede na vred nost naključnega št evila iz-
be remo ustrezno pres likavo in s stavkom PSET CX,Y), 2 na rišemo zeleno
(to barvo določa št evilo 2) točko .
Sedaj , ko j e program napisan, se lah ko malo po igramo s koeficient i
v tabeli. Z nekaj poskušanja in kombiniranj a lahko ust varimo prav za-
nimive slike. Nekaj jih vidimo na slikah 3, 4 in 5. S posku šanjern tudi
ugotovimo, da če izpustimo tretj o pr eslikavo, izgubimo levo polovico veje,
četrta pr eslik ava pa j e za dolžena za desno stran . Koeficien ta bin c skrbita
za upognj enost prap roti, koeficen t f pa vp liva na nj eno "po tlačenost" .
Razlogov , zak aj s kombin acijo te h št irih pr eslikav dobi mo sliko praproti,
I Računalništvo
ni lahko pojasniti. Osnovni ključ j e samopodobnost slik e - veje, ki se-
stavljajo glavno vejo pr aproti , so same sp et "prapro ti v m alem" . Afine
pr eslikave nam omogočajo , da del ravnine povečamo ali pornanj šamo , ga
zasukamo in prestav im o v poljubni sme ri. Če tor ej vzamemo majhen kva-
dr a tek iz slik e praproti , ga lahko s primernim zap oredj em afin ih preslikav
razm nožimo po vsej ravnini tako, da nam sestavi celot no sliko.
Slika 3. Slika 4.
.~..
\ ..
>\\".
.....,..:.?::'~: ::;!1-~~: /){.'~.:; .~\.!;~;.:::/~:.~::': .~ ... ~~..~.. .;,.-"
....' . . , .- ,, ~. ~..:.'.: ~
\>~~>i5<"
Slika 5.
Računalništvo I
In kje je tukaj sti skanje podatkov? Da bi v računalnik shra nili celo-
tn o sliko 2, nam ni potrebno shra niti podatkov, kat era izm ed 640·480 =
= 307200 točk zaslona je pob arvana in katera ne, ampak le tabelo koefi-
cientov štirih afinih preslikav . V prvem primeru bi potrebovali približno
307200/ 8 == 38000 zlogov pomnilnika. Ker za hranjenje realn ega šte vila
ponavadi potrebuj emo štiri zloge, za hranj enje tabele koeficientov potre-
buj emo le 4·7·4 = 112 zlogov. To pa je kar 340-kratni prihranek . Si pred-
st avljate, da bi lahko vse podatke v računalniku hranili tako učinkovito .
Na eno samo disketo bi šlo več podatkov kot na disk velikosti 400 MB . Ko-
nec problemov z vedn o premajhnimi diski! In kako to , da nam na diskih
naših računalnikovše vedno primanjkuje prostora? Zarota prodajalcev di-
skov? Žal ni tako. Post opek st iskanja je namreč zelo počasen in računsko
zah teven. Prvotne po datke v nestisnj eni obliki lahko dobimo precej hitro
- naš program nam je iz stisnj enega zapi sa slike pra proti (tab ele koefici-
entov in verjetnosti izbir pos am eznih afinih preslikav) kar hitro prikazal
nj eno podobo na zaslon . Določiti, kako podatke stisniti, pa gre veliko
počasneje. Izredn o težavno je namreč določi t i vse potrebn e pr eslikave ,
njihovo št evilo , koeficiente in verjetnosti. Dru gi razlog je, da običajno
podatki niso dovolj "samopodobni" . Zato jih ni mogoče učinkovito opi-
sa t i z nekaj afinimi transformacijami. Bolj uspešno je tako opisovanje pri
slikah. Tam namreč "samopo dobnost" delov slike lažj e dosežemo , če malo
"pogoljufamo" . Pri sliki namreč (običajno) ni nič hud ega , če kako točko
malo "popravimo" , saj tega praktično ne bomo opazili. Res pa j e, da
slika, ki jo bomo dobili iz opisa z afinimi tr ansformacijami, ne bo povsem
enaka originalu. To si pri sliki lahk o dovolimo, pri drugačnih po datkih
pa seveda ne. Zato tam up orabljamo drugačne metode st iskanj a, ki pa
so veliko manj učinkovite. Ponavadi prihranimo največ pol pro stora -
dosežemo torej faktor 2.
Kot smo že om enili, je postopek opisovanja slike z afinimi preslika-
vami zelo zapleten in zahteva veliko časa . Dva znanstvenika sta razvila
postopek , s katerim lahko to naredimo pri poljubni sliki v spreje mlj ivem
času . Tako je kar nekaj slik, predvsem v mu ltimedijskih enciklopedij ah
(npr. v Microsoftovi Encar ti), zapisanih na ta način. Vsi podatki o po-
stopku niso znani , saj j e sam postopek naprodaj v obliki programa. O
njem vemo to, da sliko razdeli na posam ezna nepravilna območj a in po-
tem določi ustrezne afine preslikav e. Te niso vedno le štiri. Lahko j ih je
tudi več deset ali pa tudi več kot sto . Nata način dosežejo, da za zapis
posamezne slike porab ijo v povprečju okoli stokrat manj prost ora .
Matija Lokar
I Naloge
DEVET VPRAŠANJ O ŠIROKIH ŠTEVILIH
Naravno število bomo imenovali široko, če je vsota njegovih števk v de-
setiškem zapisu enaka njihovemu produktu . Vsoto št evk bomo imenovali
širina števila. Opremlj eni s tema definicijama poskusimo razrešiti nasle-
dnja vprašanja:
l. Katera med naslednjimi števili so široka:
7, 22, 123, 1234, 13131, 121212?
2. Poi š či vsa dvomestna široka števila. Namig: takih števil je zelo malo.
3. Opiši vsa široka števila, ki imajo vse števke enake.
4. Poišči vsa široka števila širine 3. Poišči še vsa s širino 4.
5. Ali za vsako naravno število n obstaja široko število širine n? Za
n = 1,2, ... ,9,10 trditev drži . Na primer, za n = 9 lahko vzamemo
kar število 9, pri n = 10 pa število 11125.
6. Poišči vsa široka števila s širino 1995.
7. Izmisli si opis poljubno velikih širokih števil.
8. Prejšnja točka trdi, da je širokih števil neskončno. Utemelji, da
širokih števil z enako širino ne more biti neskončno.
9. Za konec pa še ena programerska. Videli smo, da je širokih števil
neskončno. Ni pa jasno, ali jih j e kar nekaj, bolj malo, zelo malo
ali celo zelo zelo malo. Ugotovi torej, koliko je širokih št evil, ki so
manjša od milijarde (ali pa vsaj od mi lijona) .
Martin Juvan
Mat ematika I
GEOMETRIJSKA IN HARMONIČNAVRSTA
Seštevanje realnih šte vil j e po definiciji preslikava
x,y -+ x + y,
ki paru dveh (poljubnih) realnih štev il priredi tr etje, njuno vsoto; mn oži-
ca realnih števil j e za to ope rac ijo komu ta tivna grupa, pri čemer j e eno ta
število O, nasprotni eleme nt števila z pa je - z .
Sešt evanj e je potemtakem sešte vanje dveh števil. Ker velja zakon
asoc iativnos ti, lahko vsoto posplošimo tako, da je v njej poljubno mn ogo
sumandov:
Xl + X2 + X3 := ( X l + X2 ) + X3,
Xl + X2 + X3 + X4 := ( X l + x2 + X3) + X4
in tako naprej. V vsakem pr imeru pa je v vsot i le končno število členov .
Če j e v vsoti veliko členov , ji včasih rečemo končna vrsta in uvedemo
zanjo poseben simbol : Il
Xl +X2 +" ,+xll = : Lxk. (1)
k =l
Znak za seštevanje j e podan z veliko grško črko sigma, ki označuje isti glas
kot latinski S in nam iguj e na začetnico la tin ske besede sum m a = vsota.
Nekaj pr eprostih primerov:
Il
La = a+a+ ··· + a = na .
k =l
Il
L k = 1 + 2 + ...+ n = n(n + 1)/2.
k=l
n
L(a + kd) = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd) = (n + 1)(a + nd/2)
k= O
(vsota aritmetičnega zaporedja).
Il
L apk =a+ ap +ap2+ ... +ap" =a(1 -pn+I)/(1 -p) (2)
k =O
(vsota geometrijskega zap oredja).
Matem atika pa gre še dlj e in uvede neskončno vrsto (ali kar vr-
sto): vzamemo neskončno zap oredje X l, X2 , X3, oo . realnih šte vil in iz njega
naredimo
oo
Xl +X2 + X3 + ·· · = L Xk.
k=l
(3)
IMatematika
Seveda pa je tej reči najprej t reba dati vsebino. Če so vsi člen i od nekega
mesta dalje enaki O, naj bo to kar običaj na vsot a , npr. :
Xl + .. .+ X m + O+ O+ ... := X l + ...+ X m ·
Če pa niso, pač ravnamo "po občutku" , vzamemo računalnik in sešt ejemo ,
recimo, tisoč členov vrst e (3) ; če pri tem ugotovimo, da so nad aljnji členi
vrste že tako majhni, da jih pri računanju z računalnikom lahko zan ema-
rimo , rezultat na ekranu razglasimo za vsoto ali vrednost vrste (3) .
Zadnji stavek ni ravno vzor matematične natančnosti . Že zato ne,
ker je vsota vrste tedaj odvisna od kvalitet e računalnika . Posku simo biti
zato malce bo lj objektivni! Uvedirno delne vsote vrst e (3):
Na splošno to rej velja:
"
s" := L Xk.
k= l
Sedaj pa recimo: Število s' j e vsota vrste (3) :
oo
(4)
če se vse delne vsote z dovolj velikimi ind eksi razlikujejo od S za tako
malo, kot le hočemo . Če j e torej ind eks n delne vsot e s" res zelo velik , j e
razlika IS - s" I manjša od še tako majhne vnaprej postav ljene vrednosti .
To s imbol ično zapišemo takole:
S = lim s",,-oo (5)
in pr eberemo: "S j e limit a zaporedja delni h vsot" ali "Delne vsot e kon-
vergirajo k S " , ali tudi: "Delne vsote gredo k števi lu S " . Simbol lim je
okrajšava latinske besede lim es , ki v dob esednem prevodu pomeni mejo .
Že iz d efinicij e same sledi , d a vrste nimajo zmeraj vs o t e . Če se namreč
vse delne vsote z dovolj velikimi in deksi lo čij o od vsote vrste za poljubno
malo, se tudi med seboj ločij o največ za dva kratni "polj ubno malo". Ker
pa se zapo redni delni vsoti s,, -l in s" lo či ta ravno za X" , j e potemtakem
člen x" z dovolj velikim indeksom n nujno zelo blizu O. Sklepamo tedaj,
da če vrs ta (3) ima vsoto, nujno velja:
lim x" = O.,,- oo (6)
(7)
Mat ematika I
Tako npr. vrsta 1 + 1 + 1 + ... nima vsot e.
Pr avzaprav je na mestu vprašanje , ali sploh ima kakšna vrsta s pre-
težno nen i čelnimi člen i svojo vsot o.
Zanimi vo j e, da so se s tem vprašanjem srečali že antičn i Grki. Slavni
Zenonov par ad oks govori ravno o tem . Ustrelimo proti tarči (v origina lni
verziji paradoksa z Ahilom lovimo želvo); izstrelek najprej preleti pol poti,
potem pol od polovice, pot em še pol od polovice od polovice, pa tako
naprej brez konca. No, in prav zato, ker preletavanj e polovičk nima konca ,
izstr elek mord a nikoli ne prileti do tarče. Dejansko se spr ašuj emo, ali ima
vrs ta
1 1 1 1 oo 1 k
2" + 4" + 8" + 16 + .. . = 2::)2")
k=1
svojo vredn ost . Zdr ava pamet nas u či , da jo mora imeti in da je ta vsota
enaka 1 (to je, cela pot). Vendar ne smemo zato misliti , da je bil Zenon
malce pr eglob oko pogledal v kozar ec. Pr av nasprotno j e res: dejstvo , da je
opazil problem v sicer tako samoumevnem poj avu, jasno kaže na njegove
izjemne intelektualne sposobnosti .
G eometrijska vrsta je
oo
a + ap + ap2 + ap3 + ... =L apk .
k=O
Delno vsot o 8 11 imamo že v (2) . Recimo , daj e -1 < P < 1. Kaj se dogaja
s p"+I , ko n raste preko vseh mej? Natančen račun je nekoliko dolg, za
silo pa se da to ugot oviti tudi z računalnikom. Odtipkajmo kat erokoli
število med - 1 in 1 in pritiskajmo tipko kvadriranje. Primer:
0,9 90000 ~ 0,980100 ~ 0,960596 ~ 0,922745 ~ 0,851458 ~
0,724980 ~ 0, 525596 ~ 0,276252 ~ 0,076315~ 0,005824 ~
0,000034 ~ 0,000000
Torej j e 0,992048 = Ona vsaj 6 decimalk .
Tako eksperimentiranje z žepnim računalnikom ni vselej zanesljivo, v
tem primeru pa j e dobra osnova za (pravilno!) domnevo:
lim p"+l = O.
11-- 00
Od tod in iz (2) lahk o sklepamo, da velja:
oo
'" k aL.,;ap =~.
k= O P
V (7) je a =p = ~ in rezultat j e res l .
(8)
Mat ematika
Če pa ne velj a -1 < P < 1, geometrijska vrsta nima vsot e; precej
oči tno j e, da (6) tedaj ne velja.
Ali j e res pogoj (6) tis ti , ki od loča o tem , ali bo vrsta imela vsoto ali
ne? Glede na to , kako smo ga dob ili (t orej iz predpostavke, da vrsta ima
vsoto) , j e pog oj (6) potreben , če naj vrsta ima vsoto. Zadosten pa ni.
Har-monična vrsta
1 1 1 oo 1
1+-+-+-+ ... ="'-
2 3 4 s: k
k = l
(9)
ima izpolnjen pogoj (6) , saj se člen i res manjšajo in so vse bliže O. Pokazali
pa bomo, da nima vsot e. Drugače rečeno , če bi sešt eli dovolj členov
harmonične vrste, bi dobili poljubno velik rezultat.
V ta namen še malo ekspe rimentiraj mo z žepnim računalnikom. lzb e-
rimo si poljuben pozitiven x in izračunajmo št evili x - 1 ter ln( x ) (naravni
logaritem, torej logaritem z osnovo e). Hitro opazimo, da je ln( x) vedno
manjši od x -I , raz en za x = 1, ko sta oba izraz a enaka O. Tako j e npr .:
1 = 2 - 1 > In(2) = O, 693; -~ = ~ - 1 > ln(~) = - 0, 693. Im ejmo to za
eksperimentalni dokaz ocene
ln(x)~ x-l (x >O). (10)
S posebnim postopkom , ki se mu reče odvajanje, se da (10) tudi strogo
dokazati .
Če narišemo grafa funk cij x -1 in ln( x) , dobi (10) preprosto vsebino:
krivulja y = ln(x ) ima premi co y = x - I za tangent o pri x = 1, pri čemer
j e - razen v dotikališču - pr emi ca nad logaritemsko kri vuljo.
(yJ
2
-1
- 2
3 ~ (x)
Slika 1.
Matematika I
Uporabimo (lO)! Naj bo k naravno št evilo, večj e od 1.
1 1 1
ln(k - 1) = In(k(l - k)) =ln(k) + In(1 - k) ::; ln(k) - k·
Od tod:
1 1 1 1 1 1
In(l) < In(2) - - < In(3) - - - - < . .. < ln(n) - - - -- - . . . - - .
- 2 - 3 2 - - n n -1 2
Če povežemo le začetek in konec izpeljave , dobimo:
1 1 1
1 + - + - + ...+ - < ln( n) + l.
2 3 n -
Ponovno uporabimo (10) , tokr at za k 2: 1.
(11)
1 1 1
ln(k + 1) = In(k(l + k)) = ln(k) + In(l + k) ::; ln(k) + k·
ln(n) < ln(n - 1)+ _ 1_ < ln(n - 2) + _ 1_ + _ 1_ < ... < 11l(1) + 1 + .. .+
- n-1 - n - 2 n -1 - - 1
+ _ 1_ kar nam da:
n- 1 '
1 1 1
ln(n) + - ::; 1+ - + ...+ - .
n 2 n
(12)
Delna vsota Sn = 1+ ~ + ...+ ~ harmonične vrste je torej vkleščena
med meji
1
ln(n) + - ::; Sn ::; ln(n) + 1. (13)
n
Ker z neomejeno naraščajočim n raste preko vseh mej tudi njegov logari-
tem ln(n) ( čeprav res mnogo počasneje) , pa (13) pove, da tudi delne vsote
harmonične vrste neom ejeno rastejo. Potemtakem harmonična vrsta nima
vsot e.
Ocena (13) se da za velike n izboljšati. Pr ecej zahtevna izpelj ava
namreč pokaže, da za dovolj velik n velja poljubno natančno :
S n ~ ln(n) + C,
kar lahko zapišemo tudi takole:
lim (Sn - ln(n)) = C.
n - oo
(14)
Pri tem j e C = 0,57721566... Eulerjeva konstanta, ravno tak čuden
spak , kot sta števili "Ir =3,14159... ali e =2,71828...
Mat ematika - Naloge
Za konec še naloga , ki se jo da rešit i z uporabo (14). Do katerega n
j e tr eba sešte ti harmonično vrsto, da bo doblj ena deln a vsot a Sn približno
1994? Če bi imeli računalnik , ki bi računal z dovolj decim alkami in bi
vsako milij onin o sekunde prištel po en člen harmonične vrs te, kaj menite,
koliko sekund (ur , morda celo dni) bi sešt eval cio vsot e 1994?
(Odgovor : n = 5,4 .108 65 ; čas računanj a = 1,7 .108 52 let)
Anton Cedilnik
NA KOLIKO NAČINOV SE POLICIST
LAHKO ZMOTI?
Poli cist j e ust avil 4 pešc e, ki so šli pri rdeči luči čez cesto . Skupno jih j e
oglobil s 16 tisočaki . Vzel je beležko in svinčnik ter začel računati , koliko
mora vsak plačati . Takole je račun al:
16 : 4 = ...
4 v 6 gre enkr a t, ostane 2; podpišem enico:
16: 4 = l . . .
12
Nato je ugot ovil , da gre 4 v 12 še trikrat in j e dobil rezultat 16 : 4 = 13.
Kolegu policistu se je zdel rezultat nekoliko sumljiv, pa je napravil
pr eizkus s seštevanjem:
13
13
13
13
16
Pri tem je takole računal : 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 16. Štima!
Za vsa k slučaj so šli še h komandirju. Ta je vzel svinčnik in računal :
4 x 3 = 12, 4 x 1 = 4, sešt ejem 12 + 4 = 16,
ter potrdil pravilnost računa.
In sedaj naloga za Presekove bralce: Po išči vsa dvomestna š te vi la, za
katera dobi š po zgornje m vzorcu "pravilen" rezultat, ki naj bo tudi dvo-
m est na šte vi lo; delit elj naj bo eno meste n.
Anton Suhadolc
Tekmovanja - Nove knjige I
LEPI USPEHI SLOVENSKIH DIJAKOV NA
OLIMPIADAH IZ MATEMATIKE, FIZIKE IN
RAČUNALNIŠTVA
Z računalniške olimpiade na Nizozemskem je naša srednješolska ekipa pri-
nesla dve srebrni in eno bronasto medaljo, na fizikalni v Avstraliji so tek -
movalci dobili eno bronasto in eno pohvalo, matematiki pa so v Kanadi
dosegli tri pohvale.
ČESTITAMO!
Željko, M. s sodelavci: ALTIUS, CITIUS, FORTIUS,
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije,
Učbeniki in priročniki, Ljubljana 1995, 212 str.
Knjiga z olimpijskim geslom v naslovu je delo osmih mladih avtorjev,
študentov in asistentov matematike, ki so leta 1994 vodili priprave slo-
venske ekipe na mednarodno matematičnoolimpiado. Svoje zapiske s teh
priprav so združili v enajst izbranih poglavij: Geometrija, Analitičnageo-
metrija, Kompleksna števila, Teorija števil, Neenakosti, Polinomi, Kombi-
natorika, Teorija grafov, Zaporedja, indukcija in še kaj, Diferenčne enačbe
in Rodovne funkcije. Dodatno dvanajsto poglavje prinaša rešene naloge z
mednarodnih matematičniholimpiad od leta 1987 do lani.
V teoretičnem delu posameznega poglavja najdemo definicije in trdi-
tve, potrebne za reševanje nalog, ki slede v nadaljevanju poglavja. Dokazi
trditev niso navedeni, čeprav se jih da večino izpeljati s srednješolskim
znanjem matematike. Gre torej za nekakšen priročnik, s katerim na hitro
spoznamo ali ponovimo določeno snov iz naslova poglavja.
Učencem, ki imajo radi matematiko, in njihovim mentorjem bodo
dobrodošle naloge, ki jih v zbirki ni malo. Njihova posebna vrednost je
v tem, da so dodane precej podrobne rešitve, iz katerih se da še marsikaj
naučiti, četudi smo nalogo znali sami rešiti.
Naj zaključim z opozorilom, ki ga je v predgovoru knjige zapisal Ma-
tjaž Željko, avtor z največ zaslugami za nastanek priročnika: Knjiga ni
zaključena zbirka napotkov in formul, namenjenih tekmovalcem iz mate-
matike - je le zvezek, namenjen srednješolcern, ki jim šolski orehi niso
dovolj trdi .
Knjigo lahko kupite pri Komisiji za tisk DMFAS, Ljubljana, Jadran-
ska 19.
Marija Vencelj
I Tekmovanja
31. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNA-
NJE V ŠOLSKEM LETU 1994/95
Najboljši sedmošolci in osmošolci z obč insk i h tekmovanj so se v soboto,
20. maja 1995, pomerili v šestih regijah v nasl ednj em št evilu:
REGLJA 7. razred 8. razred
- Ljubljana 86 133
- Maribor 52 70
- Celje 26 37
- Kop er 15 21
- Nova Gorica 9 16
- Novo mesto 15 23
SKUPAJ 203 300
Zlato Vegovo priznanj e so prejeli sedmošolci , ki so osvoj ili najmanj 13
od 25 možnih točk , in osmošolci, ki so osvoj ili najmanj 16 od 25 možnih
točk.
Vsem učencem , ki so osvoj ili zlato Vegovo priznanj e, j e Dru štvo
matem atik ov, fizikov in as tronomov Slovenij e poklonil o knjigo Št evilsk e
kri žanke.
Novost : V pr ihodnjem šolskem letu bo dosedanj e občinsko tekmova-
nje nadomestilo področno tekm ovanj e za srebrno Vegovo priznanj e.
Nagrade najuspešnejšim tekmovalcem:
7. razred
l. nagrada:
Miha J UKIC , OŠ Center, Novo mest o;
Jure BEZGOVŠEK, OŠ Miha Pintarja Toleda , Velenje;
Barbara GROBELNIK, OŠ Nade Cilenšek, Gri že;
Tina TONI , OŠ Not ra njskega odreda , Cerknica.
II. nagrada:
Katja BAJEC, OŠ Center, Novo mesto ;
Jaka HAJNŠEK, I. OŠ Rogaška Slatina, Rogaška Slatina;
Črtomir PREŠERN , OŠ Leclina , Ljubljana ;
Mih a ŠUŠTERŠIČ , OŠ Miroslava Vilharja , Postojna;
Sašo JELENČIČ , OŠ Stična , Ivančna Gorica.
Tekmovanja I
III. nagrada:
Tomaž NAHTIGAL, OŠ Dr. Vita Kraigherja, Ljubljana;
Črto KREFT, OŠ Mladika, Ptuj .
8. razred:
1. nagrada:
Klemen ČADEŽ, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka ;
Rok ŠKUFCA, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka ;
Samo JURETIČ, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica;
Ajda SKARLOVNIK, OŠ Prežihovega Voranca, Ljubljana;
Igor JAUŠOVEC, OŠ Slivnica, Orehova vas;
Tomaž WEISS, OŠ Tabor 1, Maribor.
II. nagrada:
Jure KALIŠNIK, OŠ Bratov Juhart, Šempeter;
Nina JAMŠEK, OŠ Ivana Cankarja, Trbovlje;
Marjeta BUH, OŠ Šmartno pod Šmarno goro, Ljubljana-Šmartno.
III. nagrada:
J ani SLIVNIK, OŠ Cirkovce, Cirkovce;
Miha RENKO, OŠ Marjana Nemca, Radeče;
Gorazd KARER, OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica;
Justin ČINKELJ, OŠ Ob Rinži, Kočevje;
Dejan LAVBIČ, OŠ Šmarje pri Jelšah;
Filip ŠRAMEL, OŠ Šmarje pri Jelšah;
Danijel KOVAČIČ, OŠ Valentina Vodnika, Ljubljana.
Aleksander Potočnik
10. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ ZNANJA
RAČUNALNIŠTVAZA OSNOVNOŠOLCE
Tudi v letošnjem letu so se najboljši računalničarjiosnovnih šol Slovenije
pomerili v znanju računalništvana državnem tekmovanju, ki je potekalo v
sklopu FESTIVALA RAČUNALNIŠTVAna Fakulteti za elektrotehniko
in računalništvo v Ljubljani od 12. do 14. 5. 1995.
10. jubilejno tekmovanje, kakor tudi vsa predtekmovanja (šolska in
področna), že od vsega začetka uspešno vodi Komisija za računalništvo
Zveze organizacij za tehnično kulturo Slovenije. Tokrat se je organizator
še posebej potrudil, saj je ob tekmovanju potekalo še niz drugih dejavnosti,
I Tekmovanja
kot npr. srečanje mladih raziskovalcev (zagovori raziskovalnih nalog iz po-
dročj a računalništva) , t ekmovanj e programov , okrogle mize za mentorj e,
predavanja in pr edstavitve, razstave itd . Izkazali so se t udi spo nzorji , ki
so prispevali izredno lepe in uporabne nagrade; glavni spo nzor tekmovanja
j e bil HERM ES SoftLab .
Tekmovanj a se j e udeležilo 118 osnovnošo lcev iz vse Slovenije. P red-
hod no so tekmovali na 140 osnovnošo lskih in 8 področn i h tekmovanj ih .
Skupno se je tekmovanj v preteklem šolskem letu udeležilo okoli 2000
osnovnošo lcev . Tekmoval ci so imeli na vseh nivoj ih (šolsko, področna in
državn o) na voljo 2 šolski ur i časa za reševanj e nalog. Pri delu so lahko
uporablj al i poljubno litera turo, ur adni programski jezik i tekmovanj pa so
bili: LOGO , BASIC , VISUA L BASIC in PASCAL . Na dr žavn em tekmo-
vanj u so učenci lahko reševali naloge t udi v dr ugih progra mskih j ezikih .
Tekmovanja zaht evajo znanje:
- osnov informatik e in računaln ištva ,
- programiranj a v izb ran em pr ogr amsk em j eziku in
- prak tično delo na računalniku.
Značilnost letošnj ega jubilejn ega tekmo vanja osnovnošo lcev je bila
med drugim tudi uvedb a nove tekmovalne skup ine, in sicer objekt no orien-
t irano prog ra mi ranje v okolj u Windows s programskim j ezikom VISUAL
BASIC. To tekmovanje je letos pot ekalo le na državn em nivoju . Vsaka
ekipa je naj prej predstavila projekt oz. programski izdelek , ki ga je na
šoli izdelal a v sklopu priprav na tekmovanj e. Republiška komisij a je ta
pr ojekt ocenila, ekipe pa so v omejenem času (d ve šolski uri) še dodatn o
reševale enostavnej še nalogo.
Osnovnošolci so tekmovali v šestih starostnih skupinah in dodatni
skup in i VISUAL BASIC. V prvih dveh skupinah so uporablj ali prog ra m-
ski jezik LOGO , v ostalih štirih pa LOGO , BASIC ali PASCAL. Med
najboljšimi so letos bili :
1. skupina (1. - 3. razred):
1. Rok Mej ač , Osnovna šola Mar tina Krp an a , Ljublj an a;
2. Mitj a Trampuš , Osnovna šola Maj de Vrhovn ik, Lju bljan a ;
3. Urban Čuj eš , Osnov na šola Ob Dravinji , Slovenske Konjice;
4. Matj až Veber, Osnovna šola Oskarj a Kovačiča , Ljublj ana .
2. sk u p in a (4. razred):
1. Andrej Osterman , Osn ovn a šola Mengeš;
2. Andrej Veber , Osnovn a šola Oskarj a Kovači ča , Ljublj an a ;
3. Vito Tič , Osnovna šola Pod Go ro , Slovenske Konjice;
4. Borut Likar , Osnovn a šola Ledina , Ljublj an a.
150 Tekmovanja I
3. skupina (5. razred):
1. Primož Bratanič , Osnovna šola Louisa Adamiča , Grosuplje;
2. Ivo List , Osnovna šola Oskarj a Kovači ča , Ljubljana;
3. Jure Merčun , Osnovna šola Maksa Pečarja , Ljubljana;
4. Marko Dolenc, Osnovna šola Polhov Gradec.
4. skupina (6. razred):
1. Aleš Zamuda, Osnovna šola Velika Nedelja;
2. .Jan ez Langus , Osnovna šola Križe;
3. Davorin Lešnik , Osnovna šola Maj šperk ;
4. Aleš Hribar, Osnovna šola Mengeš.
5. skupina (7. razred):
1. Andraž Tori , Osnovn a šola Oskarja Kovačiča, Ljubljana;
2. Dejan Dolenc, Osnovna šola Simona J enka, Kranj ;
3. Matej Breznik , Osnovna šola Valentina Vodnika, Ljubljana;
4. Miha Pirnat , IV . osnovna šola, Celje.
6. skupina (8. razred):
1. J ure Leskovec, Osnovna šola Polhov Gradec;
2. Miha Kadunc, Osnovna šola Josipa Plemlja, Bled ;
3. Matevž Harlander , Osnovna šola Grm, Novo mesto;
4. Damjan Cvetko, Osnovna šola Prule, Ljublj ana.
7. skupina (Visual Basic):
1. Izt ok Heric, II. osnovna šola , Murska Sobota;
2. Blaž Fortuna, Osnovna šola Gorenja vas, Škofja Loka ;
3. Egon Ko cjan, Osnovna šola Jurija Dalmatina, Krško .
Vsem tekmovalcem iskr eno čestitamo!
I van Gerlič
DRŽAVNO TEKMOVANJE OSNOVNOŠOLCEV
IZ FIZIKE ZA ZLATA STEFANOVA
PRIZNANJA 1994/95
Dru štvo matematikov, fizikov in as tronomov Slovenij e in Oddelek za fiziko
na Pedagoški fakulteti v Ljubljani sta bila organizatorja 15. državnega
tekmovanja iz fizike za osnovnošolce. V predavalnicah in laboratorijih
Pedagoške fakultet e v Ljubljani se je v soboto 6. 5. 1995 pomerilo v
znanju fizike 33 ekip sedmih in 33 ekip osmih razredov.
Tekmovanja
Na državnem tekmovanju so sodelovali najbolje uvrščeni učenci na
področnem tekmovanju, ki je bilo 1. 4 . 1995 v devetih mestih Slovenije.
Sodelovalo je 312 ekip sedmih in 352 ekip osmih razredov, skupaj 1328
učencev. Tretjina udeležencev je prejela srebrna Stefanova priznanja.
V letošnjem šolskem letu so učenci sedmih in osmih razredov prvič
prejeli za sodelovanje na tekmovanju enotne bronaste, srebrne in zlate
Stefanove značke.
Najuspešnejši tekmovalci za zlata Stefanova priznanja:
Šola Prvi tekmovalec Drugi tekmovalec Točke
Č:rtomir Prešern Matej Kalan
Jaka Hajnšek Lidija Prah
Eva Furst
Dejan Dolenc
Žiga Jan
Metka Osredkar
Vita Vukasinovič 13
Gregor Hribar 13
Jure Slivnik 13
Janez Svetlin 13
7. razred
1.nagrada
OŠ Ledina, Ljubljana
OŠ Rogaška Slatina
3. nagrada
OŠ Maksa Pečarja, Ljubljana
OŠ Simona Jenka, Kranj
OŠ Josipa Plemlja, Bled
OŠ Dob
Priznanja
OŠ Oskarja Kovačiča, Ljubljana Andraž Tori
OŠ Dravlje, Ljubljana Matija Lešnjak
OŠ Miha Pintarja Tolede, Velenje J ure Bezgovšek
OŠ Mirna Peč Špela Zaletel
OŠ Lenart Lovro Žiberna
OŠ Rače Matjaž Ogrizek
8. razred
1. nagrada
OŠ Tabor 1, Maribor Tomaž Weiss
2. nagrada
1. OŠ Slovenj Gradec Matej Perkuš
3. nagrada
OŠ Milojke Štrukelj, Nova Gorica Gorazd Karer
Miha Ravnik
Alja Brajič
Sonja Cinsegar
Matej Bobnar
Zoran Duh
Tadej Vindiš
Klemen Sitar
Luka Pušnik
Samo Juretič
13,5
13,5
12
11,5
11,5
11,5
11
11
17
16
15
Šola
Tekmo vanja I
Prv i tekmovalec Drugi tekmovalec Točke
Priznanja
OŠ Lenart Alen S tanojevič Jasmina Ferk 14,5
OŠ Narodn ega heroj a M. Pe č arj a, Pr imož Bedenk Boris Car 14
Ljubljana
OŠ Dr. Vita Kraigherja, Ljubljan a Luka Lipar Miha Cirman 13
OŠ Bist rica, Trž ič Jur e Kokalj Pr imož Meglič 13
OŠ Lava, Celje Mitja Jurkovnik Vasilij Centrih 12,75
IV OŠ, Celje Jure Svetičič Samo Penič 12,5
OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka Jernej Porenta Jur e Orešek 12,5
OŠ Cirkovce Jani Slivnik Uroš Medved 12
OŠ Koroških jeklarjev, Miha Erjavec Matej Rozman 12
Ravne na Koroškem
Prvih deset ekip osmih r azr edov se bo ud eležilo fizika lnega razisko-
valnega t abora, ki bo na Bledu od 15. do 30. 9. 1995. Nagrado podeljuj e
DMFA Slovenij e v sodelovnaj u in pod pokroviteljstvom Ministrstva za
šolst vo in špo rt Republik e Slovenije.
lelis/a va S akelšek
39. MATEMATIČNOTEKMOVANJE
SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE
V sob ot nem dopoldnevu 22. aprila 1995 se j e 169 dijakov v prostorih
Gimnazij e Kranj sp op adlo z nalogami na 39 . matematičnem te kmovanj u
srednješolcev Slovenij e, pop oldan pa so si lahko ogledali Dovžanovo so te-
sko, pr otokolarni objekt Brdo ali pa J ezersko in Predd vor.
Za uspešno reševanj e nalog je dr žavna te kmo valna komisija podelila
naslednje nagr ad e in poh vale:
PRVI LETNIK:
1. nagrada:
Tadej Starčič, Gi mnazija Bežigr ad , Ljublj an a .
3 . nagrada:
To m až Kosem, Srednj a tehniška šola, Celje; Ma tija Mazi , Gimnazij a
Bežigrad , Ljubljana ; Mar tin Knapič , Gimnazija Šentv id , Ljublj an a .
Tekmovanja
P ohvala:
Matjaž T itan , Gim nazi ja Murska Sobota; Andr ej P ukšič , Srednja
tehni ška šola, Celje; P rimož Berlič , Gim nazija Ledina , Ljublj ana; Matej
Rizman, II. gim nazija Maribo r; Dejan Beznec, Gimnazija Murska Sobota;
Reya Rok, Gimnazija Škofja Loka; Damir Podlesek , Gi mnaz ija Murska
Sobota ; Martin M ilan ič , Gim na zija Kop er ; Andreja Avberšek, Gimn azija
Kra nj .
DRUGI LETNIK:
1. nagrada:
Go ra zd Bizj ak , Gim nazija Bežigrad , Ljublj an a .
2. nagrada:
Matj až Konv alinka , Gimnazij a Bežigrad, Ljublj ana ; Mitj a Šlenc, Gi-
m nazija Bežigr ad , Ljublj an a ; An drej Vodopiv ec, Gimnaz ija Celje.
P ohvala:
Klem en Kenda , Gi mnaz ija Jurij a Vege, Idr ija ; Saša Fratina , Gi m-
nazija Bežigrad , Lj ubljana; Mitj a Luštrek , Srednj a šola Rudolfa Maistr a ,
Kamnik ; Gorazd Lampič , Gim nazija Bežigrad , Ljublj an a .
TRETJI LETNIK:
1. nagrada:
Gorazd Brumen , Gimnaz ija Bežigr ad , Lju blj ana .
3. nagrada:
Polona Grešak , Gimnaz ija in ESŠ, Tr bov lje; Sanj a Fidler, Gimnazija
Bežigra d , Ljublj ana ; J ern ej Tonej c, SŠC - Gimnazija P tuj ; Karl a Šmigoc ,
Srednj a tehniška šola, Celje.
P ohvala:
Anže Slosar , Gimnaz ija Bežigr ad , Ljubljan a ; Kri stij an Cafuta, SŠC
- Gimnazija P tuj ; Blaž Veha r , Gimnaz ij a Šentvid, Ljublj an a; Matj až
Košak, Gi mnazij a Novo mest o; Miha Vuk , Gimnaz ij a Bežigr ad , Ljub-
lj an a ; Andr ej Zork o, Gimnaz ija in ek. sr . šola , Brežice; Sašo Ž i vanov ič ,
Srednja tehni ška šola , Celje; Dr ago Bokal , Gim na zija Bežigrad , Ljublj an a ;
Boj an Pavšič , II . gim naz ij a Maribor .
Tekmovanja I
ČETRTI LETNIK:
1. n agrada:
Mitj a Pi rc, Gimnazija in ek. sr . šola , Brežice; Martin Klanj šek, Gim-
nazija Bežigrad , Ljublj an a.
3 . nagrada:
J ern ej Barbič , Gimnazija Tolmin ; Andrej Stu den , Gimnazija Kranj ;
Dejan Velušček, Gimna zija Bežigrad , Ljublj ana; Tadej Novak, Srednja
šola Rudolfa Maistr a , Kamnik .
Pohvala:
Blaž Mavčič , Gimnazija Bežigrad, Ljublj an a ; Sašo Pukšič , Srednja
tehniška šola , Celje; Pet er Kink , Gimnaz ija in ek. sr . šola , Brežice; Mar-
ti n J esenko, Gimna zija Bežigrad , Ljublj an a ; Mark o Žnidari č, II. gimn azija
Maribo r; Andrej Ša lam un, Gimn azija in ESŠ, Trbovlje; Man ca Cirk , Gi-
m naz ija Kranj ; Matj až Pu gelj , Sr. tehno in zdrav. šola , Novo mesto; An zej
Lemu t , Gimna zija Kranj .
V ekipo , ki j e zastopala Slovenijo na Medn arodni matematični olim-
pi adi v Kanadi, so se uvr stili : J ern ej BARBIČ , Gor azd BRUM EN , Polona
GREŠAK, Mar tin KLANJ ŠEK in Mitj a P IRC .
Matjaž Željko
33. TEKMOVANJE IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE
Krog tekmovanj iz srednj ešolske fizike se je letos začel 8. aprila z regijskim
tekmo vanjem. Udeležilo se ga je okrog 900 tekmovalcev iz 50 srednj ih šol.
Tekmovanje je hkra ti po tekalo na osmih srednj ih šolah: Gimnaz ij i Poljane
Ljublj an a , Gimn aziji Bežigrad Ljublj ana, II. gimn aziji Maribor , Gimna-
ziji Celje - Center, Gimnaziji Kranj , Srednj i šoli Nova Gor ica , Gimnaz ij i
Kop er in Gimnazij i in ekonomski srednji šoli Brežice.
Državno tekmovanj e j e bilo 6. m aj a . Tekmovali so najboljši tekmo-
valci iz vsake skup ine z regijskega tekmo vanja. V skupini A je tako bilo
32 tekmovalcev, v skupini B 33, v skup ini C 30 in v skupini D 31. Skupaj
126 tekm ovalcev iz 26 srednj ih šol.
Tekmovanja
Organizator državnega tekmovanja je bila Srednja tehniška in zdra-
vstvena šola Novo mesto. Medtem ko so tekmovalci reševali naloge, so si
njihovi mentorji ogledovali Dolenjsko . Po kon cu reševanja nalog pa so si
kopanj e v toplicah privoščili tudi tekm ovalci.
Tekmovalna komisij a DMFA Slovenij e, ki so ji pri izvedbi tekmovanja
in ocenitvi izdelkov pom agali študenti Fakultet e za mat em atiko in fiziko,
j e na razglasitvi rezultatov podelila 6 prvih nagrad , 14 drugih , 9 tr etjih
in 40 pohval. Vsi nagraj eni tekmovalci so bili v začetku junija vablj eni na
sprejem k ministru za šolstvo in šport dr. Slavku Gabru.
Letošnje tekmovanje iz srednj ešolsk e fizike se je zaklju čilo v sredini
maja z izbirnim tekmovanj em za olimpijsko ekipo. Udeležili so se ga
nagrajeni tekmovalci iz skupine D, v olimpijsko ekipo pa so bili izbrani
tisti z najboljšim sešt evkom točk z državnega in izbirnega tekmovanja.
Podeljene nagrade in pohvale:
Skupina A
l. nagrada:
Mar tin KNAPIČ, Gimnazij a Šentvid , Ljubljana.
II. nagrada:
Matjaž TITAN , Gimnazija Mur ska Sobota; Matija MAZI, Gimnazija Be-
žigrad , Ljubljana; Tomaž OROZEL, II. gimnazija Maribor.
Pohvale:
Andrej KRA NJC , Srednj a tehniška šola Celje; Miloš FIDLER, Gimna-
zija Ledina, Ljubljan a ; Tomaž KOSEM , Srednja tehni ška šola Celje ; Jurij
ŠTALC, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Denis PETER, l. gimnazija Ma-
rib or ; Klemen ROJNIK , Gimnazija Bežigrad , Ljublj ana; Dejan ŠMALC,
Gimnazija Novo mesto ; Andreja AVBERŠEK, Gimnazij a Kranj; Simon
RANKEL, Gimnazija Škofja Loka ; Andrej VILHAR, Gimnazija Šentvid ,
Ljubljana; Blaž ZUPANČiČ , Gimnazija in ekonomska SŠ Brežice; Drago
ŽERJAV, Srednja tehno in zdr av. šola Novo mesto .
Skupina B
l. nagrada:
Gorazd BIZJAK, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana.
Tekmovanja I
II. nagrada:
Luka PREVODNIK, Srednja elektro in strojna šola Kranj ; Igor VER-
STOVŠEK, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Blaž VEHAR, Gimnazija
Šentv id , Ljubljana.
III. nagrada:
Boštjan GLAŽAR, SŠ za elektro tehniko in rač. Ljubljana; Miloš JEFTIČ,
Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Mitja MAJERLE, Srednja tehniška šola
Celje; Mitja VARDJAN , Gimnazija Bežigrad, Ljubljana; Anita PRAPO-
TNIK, II. gimnazija Maribor.
Pohvale:
.Jan SZILAGYI, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Aleksander SLEMEN-
ŠEK , Srednja teh niška šola Celje; Rok ŠAB.JAN , Gimnazija Bežigrad ,
Ljubljana; Bojan DOLINAR, Gimnazija Kranj ; Matevž KLANJŠEK , Gi-
mnazija Bežigrad , Ljubljana; Saša FRATINA, Gimnazija Bežigrad, Ljub-
ljana.
Skupina C
l. nagrada:
Matej ŠPINDLER, Ginmazija Bežigrad, Ljubljana; Miha VUK, Gimna-
zija Bežigrad, Ljubljana; Klemen ŽAGAR, Gimnazija Šentvid, Ljubljana.
II. nagrada:
Peter JEGLIČ, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana.
III. nagrada:
Andrija LEBAR, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Emil POLAJNAR, Gi-
mnazij a Kr anj.
Pohvale:
Samo BEGUŠ, Gimnazija Jesenice; Andrej RAZPET, Gimnazija Beži-
grad , Ljubljana; Iztok HUMAR, Srednja elektro in strojna šola Kranj;
Iztok .JERAS , Tehniški šolski cent er Nova Gorica; Egon PAVLICA , Sre-
dnja šola Nova Gorica; Zvone SIMONČiČ , Gimnazija Novo mesto; Samir
El SHAWISH, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana; Boštjan GUŠTIN , Gimna-
zija Koper; Franci KOPAČ, Srednja teh niška šola Celje; Darko ŠKERL,
Srednja tehn o in zdrav. šola Novo mesto; Rob ert LESAR, Gimnazija in
ekonomska SŠ Brežice; Drago BOKAL, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana;
Matej JUG , Tehniški šolski cent er Nova Gorica.
I Tekmo vanja
Skupina D
1. nagrada:
Ma rt in K LANJ ŠEK , Gimnazija Bežigrad , Ljublj an a.
II. n a grada:
Mitja P IRC , Gimnazija in ekonomska SŠ Brežice; Aleksander ŽAVCE R,
Srednja elek tro- rač . šola Ma rib or; Boru t DEL FABB RO, Srednja šola
Nova Go rica; Sašo PUKŠi Č , Srednja te hniška šola Celj e; Dejan VELUŠ-
ČEK, Gim nazija Bežigr ad , Ljublj an a ; Marko ŽNIDARIČ , II. Gimnazij a
Maribor ; Andrej BARTOLIČ , Srednja šola Nova Go rica .
III. nagrada:
Jure BAB NIK , SŠ za elekt rotehniko in rač . Lj ubljana ; Peter VEK, Sre-
dnj a tehniška šola Celj e.
P ohvale:
Peter KINK , Gimnazij a in ekonomska SŠ Brežice; David KONČAN , Gi-
mnazija Kr anj ; Tilen KOKLIČ , Gimnazija Celje; Dej an TI NTA , Srednj a
šola Nova Gorica ; Matej BAŽ EC , Gimnazija Koper ; Mark o GLAŽAR ,
Gi mnazija Bežigr ad , Ljubljan a ; Uroš MALI , Srednj a tehn o in zdrav . šola
Novo mesto; Damir OMERČEN , SŠ za elektro tehniko in r ač . Ljublj an a ;
Alen ORBANIČ , SŠ za elekt rotehniko in rač . Ljublj an a.
Po izbirnem tekmo vanju za olimpijs ko ekipo so se na letošnj o XX VI.
olimp iado iz fizike, ki j e bila od 5. do 12. julij a v Canberr i, Avstralija ,
uv rstili:
Mart in KLANJ ŠEK , Gim nazij a Bežigrad , Lju blj an a ; Jure BAB NIK , SŠ
za elektro te hniko in računaln i š tvo Lju bljan a ; Marko ŽN IDARiČ , II. gi-
mnazij a Maribor ; An dr ej BARTOLIČ , Srednj a šola Nova Go rica ; Sašo
PUKŠIČ , Srednja tehniška šola Celj e.
Ciri l Dominko
TEKMOVANJE IZ RAČUNALNIŠTVA ZA
SRED N J E Š O LCE
V letu 1995 je tekmovanj e iz računalništva za srednješolce pot ekalo v
pr ecej prenov ljeni shem i. V prejšnj ih let ih so dijaki izkazali znanj e iz
računalniš tva le na dveh relativno nepov ezanih tekmovanjih : na zagovorih
raziskovalnih nalog in na tekmo vanj u iz znanja računalništva (reševanj e
pisnih nalog). Letos smo ob e tekmovanj i pov ezali t ako, da sm o najboljšim
Tekmovanja I
tekmovalcem omogoči l i nastop na t.i . zak lj učnem tekmovanj u (playoff ),
ki je potekalo na računalnikih . Tekm ovalci so morali v treh ur ah nap i-
sati progr am za dano nal ogo. Najboljši je bil t isti, ki mu je program
deloval pr avilno in najhitr eje. Ker pr vo zak lj učno tekm ovanj e ni povse m
uspelo, smo ga ponovili z ožjim izborom tekmovalcev . V tem delu tek-
movanj a so mo ra li tekmovalci doma v nekaj dneh napisati progra m za
nekoliko sp remenje no nalogo iz prvega zak lj učnega tekm ovanja, napi sati
clokumentacijo in nar editi 5-10 minut dolgo pr edst avitev rešitv e, oboje v
ang leškem jeziku . Najboljši m smo podelili 3 glavn e nagr ad e (praks a v
ZDA) in sestavili ekipo , ki nas je zastopala na računalnišk i olimpiadi.
Poleg ome nje nih tekmo vanj smo uvedli še eno tekmovalno kategorijo:
tekmovanje programov. Dve nalogi sta bili razpi sani 2 meseca pred tekmo-
vanjem (opis se nah aj a na STENAR: :PCS OFT :[TE KMOVANJ E]) , cilj pa
je bil , da vsak tekmovalec napiše program, ki bo tekmoval s progr am i dru-
gih tekmovalcev . Namen tega tekmovanje j e predvsem raz vedrilo , čeprav
na logi nista bili posebej lahki .
Na računalniški olimpia di, ki je po tekala zadnji teden junija na Ni-
zozemskem , se je naša ekipa odrezala od lično. Miha Vuk in Janez Brank
sta dobil a srebrno medaljo, Klem en Žagar pa bronasto.
Rezultati t ekmovanja iz zn a nj a računalništva (3 t ežavnostne
skupine in dve zaključni t ekmovanji):
1. sk u p in a
1. nagrad a : Matej Rizman (Gimnazija Maribor) ;
2. nagr ad a : Dejan Beznec (G imnazija Murska Sobota), Gregor Rot (Sre-
dnja šola Nova Gori ca) , Rok Pahulje (Gimnazija Kočevj e) , Dejan Dul ar
(Gimna zija Novo mesto) ;
3. na grada: Damij an Dolenc (Gi mna zija Škofj a Loka) , Mat ija Pirc (Sre-
dnja šola Krško) , Mitj a Lorenčak (Srednj a elekt ro in rač . šola Mari bor) ;
2 . sk u p in a
1.nagra da: Kleme n Žagar (Gimn azij a Šentvid Lju bljan a) , Klemen Kenda
(Gimnazija Jurija Vege, Idrij a) ;
2. na grada : Andrej Ota (Gimnazij a Vič, Ljublj ana) , Loj ze Šmid (Gim-
nazija Poljan e, Lju blj ana) , Mih a Nahtigal (Gimnazija Novo mesto);
3. na gra da: Damir Cifer (Gi mna zija Murska Sobota) , Matej Artač (Gi-
mnazija Kr anj) ;
Tekmovanja
3. Skupina
1. nagrada: Borut .Jerič (Srednja šola za el. in rač., Ljubljana);
2. nagrada: Miha Vuk (Gimnazija Bežigrad);
3. nagrada: Simon Golob (Gimnazija Jurija Vege, Idrija) .
Najboljša šola: Gimnazija Jurija Vege, Idrija.
Tekmovalci za prvo zaključno tekmovanje: Matej Rizman, Kle-
men Žagar, Klemen Kenda, Borut .Jerič, Miha Vuk, Simon Golob , Drago
Bokal, Tomaž Smrkolj , Igor Klep , Jernej Kovše, Mitja Šlenc, Anže Šlosar,
Borut Lukič, Miha Grčar.
Ožji izbor tekmovalcev za drugo zaključno tekmovanje: Ma-
tej Rizman, Klemen Žagar, Klemen Kenda, Borut .Jerič, Miha Vuk, Simon
Golob, Drago Bokal, Mitja Šlen c, Miha Grčar, .Janez Brank.
Prve tri nagrade (po drugem zaključnem tekmovanju): .Janez
Brank, Klemen Žagar, Borut .Jerič.
Ekipa za olimpiado: .Janez Brank, Klemen Žagar, Mitja Šlenc,
Miha Grčar, Miha Vuk, Tina Kosmač.
Marko Grobelnik
16. MEDNARODNO MATEMATIČNOTEKMOVA-
NJE MEST - POMLADANSKI KROG - Rešitve iz
XXIIjP-6, str. 374
Rešitve nalog prvega dela:
Prva skupina
1. Število vreč po 10 kg , 15 kg in 20 kg označimo z a, b in c. Iz podatkov
naloge sledi
10a + 15b+ 20c = 500
a + b + c = 30 .
Ko pomnožimo drugo enačb o s 1.5 in jo odštejemo od prve, dobimo 5c -
- .5a= 50. Torej je c - a = 10 in je zato c > a.
2. Postavimo kobilice A, B , in C na številsko pr emico zaporedoma v točke
-1, O in 1. Označimo koordinato kobilice A (oz. B, C) po n sekundah z
an (oz . bn, cn) in dokažimo z indukcijo, da so vsa števila an in cn liha,
števila bn pa soda.
Tekmovanja I
Pri n = O trditev drži : ao = - 1, bo = O, Co = 1. V dokazu in-
dukcij skega koraka pa upoštevamo, da kobilica, ki se nahaja v točki s
koord inato x , pri skoku prek y pristane v točki s koordina to 2y - x . Ker
je x (mod 2) == 2y - x (mod 2), je indukcijski korak tako dokazan. Torej
skače le clruga kobili ca po točkah s soclo koordinato in lahko zato le ona
pr istane v srednji točki.
BXALPXQ = LP X O+ LOXQ =
= 60° + ~(1800 - 30°) =
= 135°,
IXPI= ~IAB I = IPOI = IOXI Y
in je zato LPOX = 60°. Sledi LXOQ =
= 90° - 60° = 30°. S slike razberemo
še
3. Pr ivzemimo oznake s slike ; točka O je D
Csredišče krožn ice. Ker je LAPB = 90°, t"':::::::::=:;::::".......,:::::"""7----j
je razpolovišče X stranice AB središče
t rikotniku ABP očrtane krožni ce. Torej
Je
saj je trikotnik XQO enakokrak z vrhom pri O. Ker je LY P S = LX QP,
je LX PY = LXPQ+LXQP+900 . Sledi LY PS = 900+( 1800- LPXQ) =
= 135°.
4. Glej rešitev 4. naloge za drugo skupino.
D ruga skupina
1. Disjunktni intervali [0, 0.2], (0.2,0.4) , [0.4,0.6]' (0.6,0.8) , [0.8, 1] po-
krij ejo int erval [0, 1]. Po Dirichl etovem pr incipu zato v vsaj enem od nji h
(označimo ga z 1) ne leži nob ena izmed točk a , b, c in d. Ker za središče x
intervala 1 velja la - xl2 0.1, lb - xl2 0.1, Ic- x l 2 0.1 in Id - xl2 0.1,
Je
1 1 1 1
--+--+--+ - - < 40.
la- x l lb- x l Ic - xl Id- xl-
Če pri tako izbr anem x velja stroga neenakost, smo točko x že našli, sicer
pa mora veljati la- xl = lb- xl= Ic- x l = Id- xl = 0.1. Torej ležijo točke
a , b, c, d vse v nekem int ervalu dolžine 0.2. Tako točko x, da bo veljalo
I Tekmovanja
la - xl> 0.1 , lb- xl> 0.1 , Ic- xl> 0.1 in Id- xl> 0.1 , potem zlahka
poiščemo .
Opomba. Če razdelimo [O , 1] na podintervale [O, k), [k,n ( ~ , ~ ) , [ ~ , n
G , l], lahko poiščemo bolj šo oceno . Če nob en a izmed točk a , b, c, d ne
leži v nob enem pod in ter valu dolžin e t , vza memo za točko x sred išče tega
in ter val a , drugače pa postavimo x = °ali x = 1. Potem velj aj o ocene
la - xl ~ t , lb- xl~ t , Ic- xl~ t in Id- xl ~ t in zato j e
111 1--+--+--+-- < 32.la- xl lb - xl Ic - xl Id- xl -
Ta ocena j e tudi naj boljša m ožna , saj j e enakost dosežen a pri izb oru točk
a - 1 b - 3 C - 5 1'11 cl _ 7- 8 ' - 8' - 8 - 8'
2. Postavimo kobilice v točke (O , O), (0 ,1) , (1 ,1) in (1 , O) ravninske celo-
št evilske mreže in označimo njihove koordinate po n sekundah z (an , bn),
(cn , dn) , (en , Jn) , (gn, hn) . Kot pri drugi nalogi iz prve skupine tudi t u z
in dukcijo dokažem o, da se parnosti števil an , bn , . . . , hn ohra nj ajo.
Dok ažimo sed aj s prot islovj em , da prva , druga in tretj a kobilica nik oli
ne ležijo na isti pr emi ci. Če bi bile te kobilice kolin earne, bi velj alo
en - an
oziroma
(dn - bn)(en - an) = (Jn - bn)( cn - a n) .
Slednj a enakost j e protislovna , saj j e na levi st ra ni liho št evilo, na desni
pa sodo . Po do bno ovržemo še pr eost ale t ri m ožnosti .
3. Da je naloga smiselna, moramo zahtevati LACB # ~ . Rešim o nalogo
v primeru , ko j e trikotnik ABC ostrokotni , druge primere pa pr epustimo
br alcu .
Ker j e št irikotn ik A B E D tet ivni , j e LDEC = LB AD. Trikotnik
BOC j e enakokrak s kotorn LBOC = 2·LBAD ob vrhu O. Sledi LOCE =
= ~ - LBAD = ~ - LDEC . Torej st a pr emici OC in D E res pravokotni .
4. Predp ostavimo, da j e št evilo aO . . . 09 popolni kvadrat . Potem lahko
zapišem o
Tekmovanja I
kjer je zaradi pr edp os tavke naloge n 2: 2. Ker nobeno izmed števil 109,
209 , 309, . . ., 909 ni pop oln i kvadrat , lahko predpostavimo, da je n 2: 3.
Preoblikujmo gornjo ena č bo : a · lOn = (m - 3) (m +3). Ker j e razlika
m ed šte vilom a (m + 3) in (m - 3) enaka 6, nista obe števil i delj ivi s 5.
To rej j e natanko eno izm ed njih delj ivo s 5n . Če 5n I m +3, j e m +3 2: 5n 1
drugače pa 5n I m - 3, od kod er sledi m + 3 > m - 3 2: 5n . V obeh
primer ih torej velj a m + 3 2: 5n . Sled i m - 3 ~ a . 2n < 10 · 2n = 80· 2n - 3 .
Ker j e 5n = 125 . 5n - 3 , dobi mo pr otislovno oceno
6 = (m + 3) - (m - 3) 2: 125 · 5n - 3 - 80 · 2n - 3 > 6.
R ešitve nalog drugega d ela:
Prva sk u p in a
1. Naj bo P točka z za htevano las tn os tjo. Potem je LABP = LB AP
ali pa LABP = LPAC. Če j e LA BP = LBA P, leži točka P na notranji
sime t rali kota ACB . V drugem primeru pa je
LAPB = 1800 - ( LABP + (600 - LPAC)) = 1200
in leži zato točka na tistem krožnem loku , ki poteka po notranj osti triko-
tni ka, s katerega vidimo stranico A B pod zornim kotom 1200 .
Iskano množico točk to rej pr edstavlj a ta opisani krožni lok in sim et rala
kota ACB .
2. (a) Oštevilčimo zab oj e po vrsti od najlažj ega do naj težjega. Če vp e-
ljemo še "ne vidni" zab oj brez m ase, lahko o štev ilč imo teh 81 za bo jev v
t rojš kern sistemu s števili od 0000(3) do 2222(3).
Pri i-te m tehtanju (i = 1,2 ,3 ,4) položim o na levo stran tehtnice vse
zaboj e, ki imajo v troji škern zapisu i-to števko enako O, na desno stran pa
tis te zaboj e , ki im aj o v tr oji škem zapisu i-to števko enako 2. Pri vsakem
tehtanj u torej polo žim o na vsa ko stran tehtnice po 27 za bojev.
Pri prvem tehtanj u pokaže tehtnica razliko vsot e m as naj težj ih 27
zaboj ev in vsote m as najlažjih 27 zab oj ev. Ker j e s to razliko natančno
določenih 27 najtežjih in 27 najlažjih zab oj ev (mase so namreč različne) ,
j e prva št evka pravilna .
Pri drugem tehtanju pol ožimo na vsako st ran tehtnice po 27 zab oj ev :
9 zaboj ev, katerih oznaka se začne s št evko O, 9 zab ojev , katerih ozn aka
se začne s števko 1, in 9 zab oj ev , katerih oznaka se začne s št evko 2. Ker
pokaže tehtnica največj o možn o razliko vso te m as zab oj ev v tako izbranih
množicah , j e tudi druga števka pr avilna .
Tekmo vanja
Pri t retj em tehtanj u po ložimo na vsa ko st ran teht nice po 27 zaboj ev:
3 zaboj e, katerih oznaka se začne s števkama OO , 3 zab oj e, ka terih oznaka
se začne s štev kama Ol, 3 zab oj e, katerih ozn aka se začne s št evkama 02,
. . ., in 3 zaboj e, ka terih oznaka se z ačne s šte vkama 22. Ker pokaže te h-
tnica največjo možno razlik o vsot e m as zabojev v tako izbranih množicah,
je tudi tr etja št evka pr avilna .
Pri zadnjem tehtanj u pa po ložimo na vsako st ra n tehtni ce po 27
zab ojev , pri katerih so prv e tri števke v trojiškem zapi su paroma različne .
Ker tudi v tem primeru pokaže tehtnica največj o možno razlik o vsote mas
zab oj ev v tako izbran ih mn ožicah , j e prav ilna tudi zadnja - čet r t a št evka .
(h) Pri vsa kem tehtanj u se izbrani zaboj lahko nah aj a na tehtnici (na
levi a li na desni str ani) a li ga pa ni na teht nici. Eno tehtanje to rej ra zdeli
zab oj e v 3 skupnine, t ri tehtanj a pa razdelijo danih 80 zab oj ev v 27 skupin .
Po Dirichlet ovem principu torej obstaja skupina , v kateri sta vsaj dva
zaboj a. Tri t ehtanj a zato res ne zadoščajo .
Druga sk u p in a
1. Označimo točke , kot kaže skica ; A B III DC sta vzporedni stranici
trapeza .
D
A
Po Talesovem izreku sta kota AXD in BY C pr ava . Trikotnika OXD in
OYC sta tako pod obn a in lahko zapišem o 10XI : 10DI = 10YI : 10Cl Iz
podobnosti trikotnikov AB O in C DO pa sledi lOBI: 10AI = 10DI : 10CI .
Iz doblj enih enakos ti izp eljemo
10XI · IOAI = 10YI ·IOBI ·
Točka ° torej leži na potenčni pr emi ci krožnic K l ter K2 in so zato vsi
štirje tangentni odseki enako dolgi .
Tekmo vanja I
2. Opi širno poznanst va z grafom G. Točke grafa naj bodo osebe, povezave
pa poznanst va. Množi co točk grafa G označimo z V(G) .
Trditev bomo dokazali s protisl ovjem , zato predpostavimo še, da sta
poljubni dve razli čni točk i grafa povezani s liho mnogo potmi dolžine 2.
Izb erim o in fiksirajmo točko a E V (G) in z S označimo mn ožico k
a sosednj ih točk grafa G . Postavim o še N = V(G) \ (S u {a}) . Vsaka
točka iz S je povezan a z a sa mo prek točk iz S in ima zato v S liho mnogo
sosednj ih točk . Torej je v S sodo mn ogo točk in je zato stopnja točke a
soda.
Ker ima torej vsa ka točka iz S sodo stopnjo in je povezana s točko
a in z liho mnogo točkami iz S, je povezan a s sodo mn ogo točkami iz N .
Med točkami iz S in točkami iz N je torej sodo mnogo povezav . Ker je
vsaka točka iz N povezana z a le prek S, je povezan a z liho mnogo točkami
iz S. Torej j e v N sod o mn ogo točk.
Prišli smo do protislovja , saj bi pot em imel graf liho mn ogo točk .
Na pomladanskem krogu 16. mednarodnega matematičnega tekmo-
vanj a mest so se naj bolje odrezali Gor azd BIZJAK in Martin KLANJŠEK
iz Gimna zije Bežigrad , Mitj a PIRC iz Gimnazije Brežice, J ern ej BARBIČ
iz Gimnazije Tolmnin in Polona GREŠAK iz Gimnazije ETŠ Trbovlje.
Matja ž Želj ko
P RESEK
list za m lade matemat ike, fi zike , astronome in računalnikarje
23. le t n ik , šols ko leto 199 5/96 , številka 1 , strani 1 - 64
UR E DNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jez ikovni pregled) , Dušica
Bob en (oblikovanje teksta) , Vilko Domajnko, Roman Drnovšek (n ovice) , Darj o Felda
(t ekmovanja) , Bojan Go lli, Marj an Hr ibar, Boš tj an J aklič [tehni čni urednik) , Martin
Juvan (računalništvo) , Sandi Klavžar, Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Mat ija Lokar,
Franc i Oblak, P eter P etek , Marijan Prosen (ast ronomija ), Marjan Smerke (s veto va lec
za fotografij o) , Miha Štalec , Jana Vrabec (nove knj ige), Marija Vencelj (matematika,
odgovorna urednica).
Dop isi in naročnine: Društvo matematikov, fizik ov in astronomov Slovenije - P odruž-
nica Ljubljana - Komisija za tisk, P resek , Jadranska c. 19 , 61111 Ljubljana, p .p . 64,
tel. (061) 1232-460, š t. ŽR 50101-678-47233. Naročnina za šolsko let o 1993/94 je za
p osamezne naročnike 1. 25 0 SIT, za skupinska naročila šol 1. 000 SIT, posamezna
številka 250 SIT , za tuj ino 25000 LIT , devizna nakazila SKB banka d.d. Ljubljana,
val-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana.
List sofin ancira jo MZT, MŠŠ in MK
Ofset t isk DELO - Ti skarna, Ljubljana
Po m nenju MZT št. 415-52/92 z dne 5.2 .1992 š teje revija m ed proizvode iz 13. točke
tarifne št . 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa
proizvodov.
© 1995 Društvo matematikov, fizik ov in astronomov Slovenije - 12 52
PRVA
SLOVENSKA
ASTRO OMSKA
REVIJA
*SPIK3
VSAK MESEC NOVA, BARVNA ŠTEVILKA REVIJE ZA UUBITEUE ASTRONOMIJE,
KI PRINAŠA NOVICE, VSE O SONCU, PLANETIH, ZEMUI, ZVEZDAH,
GALAKSIJAH, ASTROFIZIKI, KOZMOLOGIJI, ASTRONAVTIKI,
ASTROFOTOGRAFIJI, ARHEOASTRONOMIJI•••
ZA AMATERJE MESEČNO SVEŽE EFEMERIDE IN ZVEZDNA KARTA,
O TELESKOPIH, UPORABNIH PROGRAMIH...
IN ŠE OSNOVE ZA ZAČETNIKE, RAZISKOVALNI KOTiČEK, TESTI,
ZNANSTVENA FANTASTIKA, MALI OGLASI TER NAGRADNA IGRA!
Revijo narocajte na naslov: Spika, Poštni predal 9 , 611 09 Ljubljana. Četrtletna
naročnina l' 5% popusta. je 1070,00 SIT, polletna naročnina 120% popusta. je
2015,00 SIT, celoletna naročnina 125% popusta. je 3780,00 SIT.
MOČ
Moč
zdrobim prepečenec
trd kot kamen
z golo roko
v majhne koščke
razstavim skorjo
v prav majhne drobtine
porabirn ogro rgij ,
da razvežem. v i
l)lt d 'gradniki
l~mpak o atomčku ne . e
§In potem ga le rahlo 4tegnem
\ pa mi odgovori ves v~el
'~z enim obrokom ener ' ije
\ ,;e nim fotončkom .
Itm se zavemočna je šib]. , tl t<m razpq,dt 'jeS,ro
~n odd~\~ ~ "lektrdf
ln nevtr ' i
kako m d' a ~}ibko~t in
šibka ~!ko je nib~n 't
ki jo,lŠčem skrita 'j"
tanlnekje zadaj
v ~Adnjem nevtronu ~
kifbo ravnokar razpadel
;~ 1;
v~adnjem kotu "i
•
' . aka na princa \~
i mo hodijo razboir".." 11.1."',"'
" "~Ji'1<""~"'~~";:;:~J'k~'i;~::::
Marko Budiša