OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2008, letnik 55, številka 4, strani 121–160 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: Zaloznistvodmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Devizna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Irena Drevenšek Olenik (urednica za fiziko), Damjan Kobal, Peter Legiša, Aleš Mohorič, Petar Pavešić, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1300 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 33,38 EUR, za tujino 30 EUR. Posamezna številka za člane stane 4,18 EUR, stare številke 2,17 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2008 DMFA Slovenije – 1717 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 121  #1 NEKAJ PRIMEROV DVOJNEGA ’TETJASANDI KLAVšARFakulteta za matematiko in zikoUniverza v LjubljaniMath. Subj. Class. (2000): 05-01, 20B05Predstavljena je metoda dvojnega ²tetja ter nekatere njene uporabe v kombinatorikiin teoriji grup. SOME EXAMPLES OF DOUBLE COUNTINGDouble ounting is presented and some of its appli ations in ombinatori s and grouptheory are given. 1. UvodRe imo, da ste na kon ertu simfoni£nega orkestra, kjer poleg dveh skladb,zaradi katerih ste pri²li v dvorano, izvajajo tudi dolgo£asen klavirski kon ert.Od samega dolg£asa ne veste, kaj bi, pa se odlo£ite pre²teti glasbenike v or-kestru. Najprej se lotite violinistov in violistov, preidete na £eliste in takonadaljujete do zadnje skupine in²trumentov. Kaj pa, £e ste se zmotili? Zatoglasbenike pre²tejete ²e enkrat, tokrat po vrstah, v katerih sedijo. In dobiteisto ²tevilo. Tako ste ubili dve muhi na mah. Ne samo, da ste ugotovilito£no ²tevilo glasbenikov, tudi klavirski kon ert je ºe skoraj pri kraju.Opisani primer prevedemo v matemati£ni jezik takole:ƒe elemente iste mnoºi e pre²tejemo na dva razli£na na£ina, je rezultatenak.Ugotovitev poimenujemo metoda dvojnega ²tetja, v£asih ji re£emo tudiprin ip dvojnega ²tetja. Metoda je na videz zelo preprosta, vendar je prvi vtisvarljiv. Izkaºe se namre£, da je izjemno mo£no orodje, ki ni uporabno samov kombinatoriki in teoriji mnoºi , temve£ tudi na mnogih drugih podro£jihmatematike.V nadaljevanju tega razdelka si bomo pobliºe ogledali metodo dvojnega²tetja ter med drugim prepoznali pravilo ²tetja parov kot njen posebni pri-mer. Nato bomo v treh razdelkih nanizali nekaj zna£ilnih uporab metode.Ko na dva razli£na na£ina pre²tevamo elemente mnoºi e, nas poleg mo£imnoºi e lahko zanima ²e kak²na druga njena lastnost. Za ilustra ijo, kaj Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 121 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 122  #2 Sandi Klavžarimamo v mislih, si izberimo matriko A reda m × n z elementi aij ter vsemznano enakost m ∑ i=1 n ∑ j=1 aij = n ∑ j=1 m ∑ i=1 aij . (1)V enakosti (1) na levi se²tejemo tako, da najprej se²tejemo po vrsti ah, natopa se²tejemo vrsti£ne vsote, medtem ko na desni se²tejemo tako, da najprejse²tejemo po stolp ih ter nato se²tejemo stolp£ne vsote. Zato enakost (1)pomeni dvojno ²tetje, kjer pa smo hkrati, ko smo na dva na£ina pregledalielemente matrike A, te tudi se²teli.Poseben primer metode dvojnega ²tetja je tudi pravilo ²tetja parov. Najbo R ⊆ A × B binarna rela ija, kjer sta A in B kon£ni mnoºi i. Za dani a ∈ A naj bo aR = {(a, b) | b ∈ B, (a, b) ∈ R}ter podobno, za izbrani b ∈ B, naj bo Rb = {(a, b) | a ∈ A, (a, b) ∈ R} .Za kon£no mnoºi o X ozna£imo z |X| ²tevilo njenih elementov. Tedaj pravilo²tetja parov pravi, da velja |R| = ∑ a∈A | aR| = ∑ b∈B |Rb| . (2)Pravilo torej na dva razli£na na£ina dolo£i mo£ rela ije R. Ker zapis (2)verjetno marsikomu ni najbolj nazoren, si ga je koristno predstavljati s po-mo£jo matrike M(R) rela ije R. M(R) je matrika, katere vrsti e ustrezajoelementom iz A, stolp i elementom iz B, pri £emer je element matrike, kiustreza paru a ∈ A in b ∈ B, enak 1, £e je (a, b) ∈ R, si er pa 0. Iz tegazornega kota pravilo ²tetja parov postane poseben primer enakosti (1), sajv matriki rela ije na dva na£ina se²tejemo njene eni e.2. Trije preprosti primeriPrimer 1 (Lema o rokovanju). Kot prvi preprost primer uporabe pra-vila dvojnega ²tetja si oglejmo naslednji osnovni rezultat teorije grafov, kiga bomo potrebovali tudi v nadaljevanju. Spomnimo se, da je stopnja voz-li²£a ²tevilo njegovih sosedov.122 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 123  #3 Nekaj primerov dvojnega štetjaLema (o rokovanju). Naj bo G = (V, E) graf. Tedaj je vsota stopenj voz-li²£ enaka dvakratniku ²tevila povezav: ∑ v∈V d(v) = 2|E|.Dokaz leme o rokovanju je preprosta uporaba pravila ²tetja parov. Rela ijo R ⊆ V ×E vpeljemo tako, da je vozli²£e v ∈ V v rela iji s povezavo e ∈ E, £eje v kraji²£e od e. Potem nam prva vsota v (2) se²teje stopnje vozli²£, drugapa vrne dvakratnik povezav. (Ve£ o lemi o rokovanju si lahko preberemov [5℄.)Primer 2 (Tringula ije sfere). Imejmo poljubno triangula ijo sfere. (Natak²no triangula ijo lahko ekvivalentno gledamo tudi kot na ravninski graf,ki je vloºen v ravnino tako, da je vsako li e omejeno s iklom dolºine 3.)Glej sliko 1. Slika 1. Ravninska triangula ijaNaj bo E mnoºi a robov triangula ije sfere ter T mnoºi a njenih (triko-tni²kih) li . Na primer, triangula ija s slike 1 premore 8 li (ne pozabimozunanjega li a) ter 12 robov. Vpeljimo rela ijo R ⊆ E×T na naraven na£in:rob je v rela iji s trikotnikom, £e tvori njegovo strani o. Potem pravilo ²tetjaparov pove, da velja naslednja zveza med ²tevilom robov in li triangula ijesfere: 2|E| = 3|T | .Primer 3 (Vsota prvih n naravnih ²tevil). Nazadnje poglejmo kva-dratno matriko A reda (n + 1). Dolo£imo ²tevilo elementov matrike A na 121–128 123 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 124  #4 Sandi Klavžardva na£ina. Seveda je ²tevilo elementov v A enako (n + 1)2. Po drugi stranimatriko A sestavljajo diagonala ter zgornji in spodnji trikotnik: × • • • · · · • ◦ × • • · · · • ◦ ◦ × • · · · • ◦ ◦ ◦ × · · · •... ... ... ... . . . ... ◦ ◦ ◦ ◦ · · · × . Trikotnika vsebujeta isto ²tevilo elementov, ki ga ozna£imo z x. Vseh ele-mentov v A je tako (n + 1) + 2x. Od tod po metodi dvojnega ²tetja dobimo (n + 1)2 = (n + 1) + 2x ,od tu pa preberemo x = n(n + 1) 2 .Ker imamo v zgornjem trikotniku matrike A ravno 1+2+ · · ·+n elementov,smo izpeljali formulo za vsoto prvih n naravnih ²tevil. Ta izpeljava ni takopoznana, kot je slavna Gaussova ideja, da se²tejemo prvi in zadnji element,drugi in predzadnji, . . ., pa tudi induk ija ni potrebna.3. Binomski izrek in n-ko keKombinatori£ne enakosti so seveda zanimive same po sebi. ’e dodatnovrednost pa pridobijo, £e imajo kak²no interpreta ijo. Eden pomembnihna£inov pri iskanju interpreta ije je ravno uporaba dvojnega ²tetja. V temrazdelku bomo opisali tak primer iz [2℄.Ko po binomskem izreku zapi²emo (1 + x)n = n ∑ k=0 ( n k ) xk (3)in odvajamo (3), dobimo n(1 + x)n−1 = n ∑ k=1 k ( n k ) xk−1. (4)124 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 125  #5 Nekaj primerov dvojnega štetjaZa x = 1 enakost (4) postane: n2n−1 = n ∑ k=1 k ( n k ) . (5)Sedaj pa si poglejmo drug na£in, kako pridemo do enakosti (5). Kotsmo ºe omenili, pri tem ne gre samo za to, da enakost izpeljemo na drugna£in, pomembneje je, da nam bo drugi na£in podal tudi vsebinsko razlagoza enakost.Razred n-ko k je ºe bil vpeljan v Obzorniku [3℄, zato se tu le na hitrospomnimo deni ije. Za n ≥ 1 je n-ko ka Qn graf, katerega vozli²£a so vsibinarni nizi dolºine n; vozli²£i sta sosednji, £e se razlikujeta na natanko enemmestu. Na sliki 2 je prikazana 3-ko ka Q3. 001 010 100 011 101 110 111 000Slika 2. 3-ko ka Q3Pre²tejmo povezave v Qn = (Vn, En). Najprej opazimo, da ima vsakovozli²£e n sosedov. Ker je |Vn| = 2n, iz leme o rokovanju preberemo n2n = 2|En| ,torej je |En| = n2 n−1.Pre²tejmo povezave v Qn ²e na drug na£in. Posebej odlikujmo vozli²£e v = 00 . . . 0. Vozli²£a n-ko ke razdelimo v mnoºi e V0, V1, . . . , Vn ,kjer so v mnoºi i Vk, 0 ≤ k ≤ n, vozli²£a, ki imajo natanko k eni . Naprimer, v V1 imamo n vozli²£, saj imamo eno eni o lahko na enem izmed n 121–128 125 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 126  #6 Sandi Klavžarmest, medtem ko sta v V0 in v Vn le po eno vozli²£e. V splo²nem, mnoºi a Vkvsebuje (n k ) vozli²£, saj na toliko na£inov lahko izberemo k mest, na katerihso eni e.Naj bo e poljubna povezava n-ko ke Qn. Tedaj se njeni kraji²£i raz-likujeta na enem mestu. Zato obstaja tak indeks k, 1 ≤ k ≤ n, da enokraji²£e povezave e leºi v mnoºi i Vk, drugo kraji²£e pa v Vk−1. Situa ija jeshemati£no prikazana na sliki 3. (Primerjaj tudi sliko 2.) V V V V V 1 0 k k-1 n Slika 3. Razdelitev vozli²£ n-ko kePovezave zato lahko pre²tejemo tudi tako, da za vsako vozli²£e v, re imoda je v ∈ Vk, pogledamo, koliko sosedov ima v Vk−1. Ker je v ∈ Vk, vsebuje k eni . ƒe poljubno njegovo eni o spremenimo v ni£lo, dobimo vozli²£e iz Vk−1, ki je sosed v. Zato ima vozli²£e v v mnoºi i Vk−1 natanko k sosedov.Torej je vseh povezav v Qn ravno 1 ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + · · · + n ( n n ) = n ∑ k=1 k ( n k ) .Ker smo zgoraj po drugi poti ugotovili, da je vseh povezav v Qn tudi n2n−1,smo tako izpeljali enakost (5).4. Orbite in stabilizatorji permuta ijskih grupZa ilustra ijo ²iroke uporabnosti pravila dvojnega ²tetja se podajmo ²ev teorijo grup.126 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 127  #7 Nekaj primerov dvojnega štetjaNaj bo X kon£na mnoºi a. Tedaj bijektivni preslikavi X → X pravimopermuta ija mnoºi e X. Mnoºi a permuta ij mnoºi e X tvori permuta ijskogrupo, £e tvori grupo za obi£ajno komponiranje funk ij. Kadar pa grupa vse-buje vse permuta ije mnoºi e X, permuta ijsko grupo imenujemo simetri£nagrupa nad X.Naj bo torej G permuta ijska grupa na kon£ni mnoºi i X. Glede nagrupo G lahko v mnoºi o X vpeljemo rela ijo ∼ s predpisom: x ∼ y, £eobstaja g ∈ G, da je g(x) = y. Rela ija ∼ je ekvivalen£na rela ija, njeneekvivalen£ne razrede imenujemo orbite grupe G na X. Orbito, ki ji pripada x ∈ X, ozna£imo Gx, torej Gx = {y ∈ X| ∃g ∈ G : g(x) = y} .Vpeljimo ²e mnoºi o permuta ij G(x → y) s predpisom G(x → y) = {g ∈ G| g(x) = y} . G(x → x) imenujemo stabilizator elementa x in ga ozna£imo z Gx.Lema 1. Naj bo y ∈ Gx. Tedaj velja |Gx| = |G(x → y)|.Lema 1 hitro sledi iz deni ij, zato vabimo bral a, da se sam prepri£a o njeniveljavnosti. Mi pa dokaºimo naslednji pomemben izrek, ki je tudi ilj tegarazdelka.Izrek 2. Naj bo X kon£na mnoºi a in G permuta ijska grupa na X. Tedajza vsak element x ∈ X velja |G| = |Gx| · |Gx| .Dokaz. Izberimo poljuben element x mnoºi e X in ga ksirajmo. Naj bo M matrika reda |G| × |X|, katere vrsti e so indeksirane z elementi grupe G,stolp i pa z elementi mnoºi e X. Potem za g ∈ G in y ∈ X ustrezen elementv M postavimo na 1, £e je g(x) = y, si er naj bo 0.’tetje eni matrike M po vrsti ah je preprosto: ker je g ∈ G permuta ija,imamo v vsaki vrsti i natanko eno eni o, torej imamo po vseh vrsti ah |G|eni .Poglejmo ²e stolp e. Naj bo y ∈ X. Tedaj imamo v pripadajo£emstolp u po deni iji mnoºi e G(x → y) ravno |G(x → y)| eni . ƒe je y ∈ Gx,je po lemi 1 v tem stolp u |Gx| eni . ƒe y ni v orbiti elementa x, ni v stolp unobene eni e. Torej je ²tevilo vseh eni po stolp ih enako |Gx|·|Gx|, in dokazje kon£an. 121–128 127 DvojnoStetjeRevised  2008/10/2  19:54  page 128  #8 Sandi KlavžarLITERATURA[1℄ P. J. Cameron, Combinatori s: Topi s, Te hniques, Algorithms, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1994.[2℄ M. L. Gargano, J. F. Malerba in M. Lewinter, Hyper ubes and Pas al's triangle: Atale of two proofs, Math. Mag. 76 (2003), str. 216217.[3℄ S. Klavºar, Ze kendorfov izrek in Fibona ijeve ko ke, Obzornik mat. z. 50 (2003) 6,str. 175183.[4℄ J. Matou²ek in J. Ne²et°il, Invitation to Dis rete Mathemati s, Clarendon Press, Ox-ford, 1998.[5℄ R. J. Wilson in J. J. Watkins, Uvod v teorijo grafov, Knjiºni a Sigma 63, DMFASlovenije, Ljubljana, 1997.VESTI NOVI ƒLANI DRU’TVA V LETU 2007∗Lani se je v Dru²tvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije v£la-nilo 28 novih £lanov:2246. An£ev Doroteja2247. Banko Jaka2248. Br ar Savina2249. Bregar Rudi2250. ƒede Ur²ka2251. Dominko Rok2252. Frangeº Herman Mateja2253. Gori²ek Angela2254. Gornik Lidija2255. Harb Nada2256. Jagodi£ Marko2257. Jazbe Simona2258. Knap šiga2259. Koderman Ivo 2260. Kukovi£ Nata²a2261. Majaron Tinka2262. Markun Bo²tjan2263. Markun Ur²ka2264. Novak Vehovar Jana2265. Petek Jasmina2266. Plemenita² Albina2267. Povh Janez2268. Praprotnik Matej2269. ’trukelj Mitja2270. Tajnik Fran 2271. Toplak Stanislava2272. Tratnik Miran2273. Vidmar MarkoVladimir Bensa ∗Novi £lani DMFA Slovenije za leto 2006 so bili objavljeni v Obzorniku za matematikoin ziko 54 (2007) 3, stran XIX.128 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 129  #1 ENERGETIKA DOGAJANJ V OZRAƒJU1II. DEL: ENERGIJSKE PRETVORBEJOšE RAKOVECFakulteta za matematiko in zikoUniverza v LjubljaniPACS: 92.60.Vb, 92.60.BhV drugem delu pa s pomo£jo energijskih ena£b podrobneje prikaºemo, katere pre-tvorbe energije uravnavajo vremenska dogajanja: iz diferen ialnega dovoda in odvodatoplote s son£nim obsevom in infrarde£im zemeljskim izsevom prek razpoloºljive skupnepoten ialne energije v kineti£no energijo ozra£ja in iz te prek viskoznega trenja v notranjoenergijo. ENERGETICS OF ATMOSPHERIC PROCESSESPART II.: ENERGY TRANSFORMSIn Part II is explained, with a help of the energy equations, whi h are the energytransforms that govern the weather pro esses: from the dierential heating/ ooling bythe solar irradian e and the infrared terrestrial radiant exitan e trough the availablepotential energy into the kineti energy of the atmosphere, and from it by the vis ousfri tion into the internal energy.4. Notranja in poten ialna energijaKer je son£no ogrevanje vir prakti£no vse energije za pro ese na Zemlji,torej tako kineti£na kot tudi poten ialna in notranja energija ozra£ja izvirajoiz dovoda toplote, ki jo zrak dobiva preteºno prek tal; le manj²i del, okrog20 % od povpre£nega son£nega obseva se namre£ neposredno absorbira vozra£ju. Od tal dobiva toploto prevsem spodnja plast ozra£ja: z infrarde£imsevanjem, s tokom zaznavne in s tokom latentne toplote. Za sedaj za£asnozanemarimo latentno in obravnavajmo samo zaznavno notranjo energijo.Zraku dovedena toplota delno pove£uje zaznavno notranjo energijo dWnz = mcv dT , delno pa se porablja za to, da ob razpenjanju  pove£evanju volumna dV zrak odriva svojo okoli o in opravlja delo: dA = p dV . Energijski zakon(brez upo²tevanja latentne notranje energije) lahko zapi²emo na dva na£ina: dQ = mcv dT + p dV = mcp dT − V dp .Ker pa je zra£ni tlak pri tleh hidrostati£ni tlak  torej odvisen samo od masezraka v elotnem stolp u nad obravnavano povr²ino  se tlak ob dodajanju1Predavanje 20. mar a 2007 na Institutu Joºef Stefan v okviru Stefanovih dnevov Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 129 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 130  #2 Jože Rakovectoplote prakti£no ni£ ne spremeni. Zato je zadnji £len na desni strani ena£be V dp ≈ 0: dQ ≈ mcp dT .Torej se ob segrevanju zra£nega stolp a vsa dovedena toplota porabi za spre-membo entalpije mcp dT , in zato je dQ = cv/cp dQ + p dV , od koder izra£u-namo deleº, porabljen za delo ob razpenjanju: dA = p dV = ( 1 − cv cp ) dQ = 0,29 dQ ,(pri £emer smo upo²tevali, da je za zrak cv = 717 J/kgK in cp = 1004 J/kgK)in tistega za pove£evanje notranje energije dWnz = 0,71 dQ .ƒe torej za zdaj ne obravnavamo energije, potrebne za izhlapevanje (in stem pove£evanje latentne notranje energije), gre torej pribliºno 29 % zrakudovedene toplote za raztezanje zraka, pribliºno 71 % pa za pove£evanje za-znavne notranje energije. Kam pa se zrak razteza? Na vse strani? Ne, kerje obdan z drugimi deli zraka, ki se tudi segrevajo in raztezajo, se lahkoraztegne samo navzgor. Ob tem pa se mu dvigne teºi²£e in s tem pove£apoten ialna energija. Za koliko? Oglejmo si poten ialno energijo elotnegastolp a zraka nad povr²ino S: Wp S = 1 S ∫ m gz dm = ∞ ∫ 0 ρgz dz = − 0 ∫ p0 z dp = −zp ∣ ∣ ∣ 0,p0 ∞,0 + ∞ ∫ 0 p dz = ∞ ∫ 0 ρRT dz .Vidimo, da je poten ialna energija odvisna od temperature v zra£nemstolp u  tako kot seveda zaznavna notranja energija: Wn S = 1 S ∫ m cvT dm = ∞ ∫ 0 ρcvT dz .Izraza za obe obliki energije sta si do konstante podobna: Wp S = R cv Wnz S .V ozra£ju sta torej poten ialna in zaznavna notranja energija elotnegastolp a zraka od tal do vrha ozra£ja med seboj tesno povezani in obe odvisni130 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 131  #3 Energetika dogajanj v ozračju – II. del: Energijske pretvorbeod temperature. Zato je smiselno denirati polno poten ialno energijo PE elotnega zra£nega stebra: PE ≡ Wp S + Wnz S = ∞ ∫ 0 ρcpT dz .Polna oziroma skupna poten ialna energija zra£nega stolp a je torej za-znavna entalpija tega stolp a  to je koli£ina, za katero smo ºe ugotovili, dase zanjo porablja en del dovoda toplote; drugi del pa se porabi za izhlapeva-nje in s tem skoraj izklju£no za pove£evanje latentne notranje energije, karsmo dosedaj pustili ob strani.5. Energijske pretvorbeUgotovili smo, da son£no obsevanje pove£uje totalno poten ialno energijoin latentno notranjo energijo ozra£ja. Ker se morajo energijska neravnovesjana Zemlji izravnavati s prenosi energije z zra£nimi in morskimi tokovi, nasseveda zanima, kako iz son£ne energije dobimo kineti£no energijo gibanj vozra£ju. Zato zapi²emo ena£be za vse tri vrste energije: kineti£no, poten- ialno in notranjo energijo. Izhajamo iz sistema meteorolo²kih ena£b inza£nemo z gibalno ena£bo: d~v dt = − 1 ρ ∇p + 1 ρ ∇ · P − 2~Ω × ~v + ~g ,ki pove, da se zrak pospe²uje ali zavira zaradi (spe i£nih) sil, ki nanj delu-jejo: sile gradienta tlaka −1 ρ ∇p, viskoznostnih sil 1 ρ ∇ ·P (P je viskoznostnidel napetostnega tenzorja), zaradi (sistemske) Coriolisove sile na vrte£i seZemlji −2~Ω × ~v in zaradi teºe, ki je vsota gravita ijske sile in radialnegapospe²ka na vrte£i se Zemlji, ~g = −∇Φ∗−Ω2 ~R. To ena£bo skalarno pomno-ºimo z ρ~v in dobimo ena£bo za kineti£no energijo na enoto volumna: ρ 1 2 dv2 dt = m V dwk dt = −~v · ∇p + ~v · (∇ · P) − 0 + ρ~v · ~g .Zapi²emo jo v bilan£ni obliki, kar pomeni, da lokalno spremembo, ki jo iz-raºa par ialni odvod po £asu, zapi²emo skupaj s konvergen o vseh razli£nihpretokov energije na eni strani ena£be, morebitne vire in ponore kineti£neenergije pa na desni strani: ∂ ∂t (ρwk) + ∇ · (ρ~vwk + p~v − P · ~v) = p V dV dt − ε + ρ~v · ~g . 129–138 131 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 132  #4 Jože RakovecViri kineti£ne energije so torej opravljeno delo ob razpenjanju zraka ( 1 V dV dt = −∇ · ~v), disipa ija zaradi dela viskoznih sil ε ≡ P : ∇ ⊗ ~v je vedno ponorkineti£ne energije (P : ∇⊗ ~v je vedno pozitivna koli£ina, saj je P enoli£nodeniran s poljem hitrosti), delo zoper teºo pri dviganju zraka pa je ponorkineti£ne energije (ali pa  pri spu²£anju  vir zanjo). Obenem je to sevedaedini vir za teºnostno poten ialno energijo  le-to pridobimo lahko izklju£noz delom proti sili teºe: ∂ ∂t (ρwp) + ∇ · (ρ~vwp) = −ρ~v · ~g .Kaj pa notranja energija na enoto volumna? Spet izhajamo iz termodi-namske energijske ena£be, pri £emer pa delo malo bolj natan£no opredelimo:delo navzven zrak opravlja z raztezanjem in s tem odrivanjem okoli²njihzra£nih mas  v na²em primeru navzgor, pa tudi z delom notranjih visko-znih sil v volumnu V ; to je ravno tisto delo, ki pomeni disipa ijo kineti£neenergije v zaznavno notranjo energijo: dA = p dV − εV . Zato je: ∂ ∂t (ρwnz) + ∇ · (ρ~vwnz −~jQ) = − p V dV dt + ε .Tako vidimo, da so viri in ponori za kineti£no energijo ravno ponori in viripolne poten ialne energije ρ(wp + wnz). Kineti£na energija ozra£ja nastajaiz polne poten ialne energije ozra£ja  to£neje: samo iz t. i. razpoloºljivepolne poten ialne energije APE (available potential energy).6. Razpoloºljiva poten ialna energijaZrak miruje samo, £e so sile, ki nanj delujejo, v ravnovesju. Po vertikalije to ravnovesje med vzgonom (vertikalno komponento gradientne sile zaraditla£nih razlik) in teºo. Za to, da se zrak pospe²uje v gibanje, je potrebnoneravnovesje: po vertikali se pojavi konvek ija navzgor, kadar je spe i£nasila vzgona −1 ρ ∂p ∂z ve£ja od spe i£ne sile teºe g. Po horizontali pa je edinasila, ki lahko spravi zrak v gibanje, horizontalni del spe i£ne gradientne sile −1 ρ ∇hp. Horizontalni gradient tlaka se med ekvatorjem in poloma (torej naplanetarnih razseºnostih) pojavi zaradi diferen ialnega ogrevanja, ko imajorazli£no ogrete zra£ne plasti razli£no visoko teºi²£e (slika 8), pri tem pa semasa zraka v zra£nih stolp ih ni£ ne spremeni in zato tudi zra£ni tlak pritleh ne. Spremembe skupne mase v elotnem stolp u zraka in s tem tudizra£nega tlaka pri tleh (ter s tem nastanke npr. iklonov in anti iklonov), pa132 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 133  #5 Energetika dogajanj v ozračju – II. del: Energijske pretvorbelahko povzro£ijo izklju£no konvergen e in divergen e v zra£nih tokovih (kose zrak torej ºe premika), s katerimi se nekje nakopi£i ve£ja masa zraka alipa se zrak iz nekega obmo£ja razte£e naokrog. Slika 8. Diferen ialno ogrevanje povzro£i nagib posameznih ploskev zra£nega tlaka in stem horizontalni gradient tlaka v vi²inah (na desni sliki vzdolº debele sive £rte), pri £emerpa se zra£ni tlak pri tleh ni£ ne spremeni.V za£etku 18. stoletja je Hadley2 ugotovil, da konvek ija ob najtoplej²ihpredelih ekvatorja povzro£a tam dviganje zraka, zato pri tleh tlak nekolikopade, v vi²inah pa se pove£a, kar povzro£a tok zraka pri tleh proti ekvatorju,v vi²inah pa proti poloma. Hadley si je tedaj zami²ljal, da ta irkula ija segaprav do obeh polov; ºe tedaj pa ga je begalo vpra²anje, zakaj v zmernih invisokih ²irinah prevladujejo zahodniki. Danes vemo, da Hadleyjeva eli a zdviganjem ob ekvatorju in spu²£anjem v subtropih (slika 9) in s pasati inantipasati sega le prek tropov. Bolj pro£ od ekvatorja Coriolisov pospe²ekoziroma Coriolisova sistemska sila bistveno vpliva na gibanje zraka (zaho-dniki zmernih in visokih zra£nih ²irin) in zato Hadleyjeva irkula ije nikakorne more segati do obeh polov. No vseeno: ºe Hadley je v bistvu prav razloºilsistem meridionalne irkula ije ozra£ja  vsaj za trope in subtrope.Danes seveda tudi vemo, da je za kineti£no enegijo razpoloºljiv samo tistidel skupne poten ialne energije ozra£ja, ki ima krajevne razlike: potrebni sohorizontalni gradienti tlaka, £e naj horizontalni del gradientne sile povzro£ihorizontalne tokove. Prvo idejo o razpoloºljivi poten ialni energiji APE je2George Hadley (16851768), angle²ki pravnik in amaterski meteorolog, ki je razlo-ºil sistem pasatov. Po njem se poleg Hadleyjevih eli meridionalne irkula ije ozra£jaimenujeta tudi Hadley Centre for Climate Predi tion and Resear h v okviru angle²kemeteorolo²ke sluºbe in krater na Marsu [13℄. 129–138 133 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 134  #6 Jože Rakovec Slika 9. Letno povpre£je dviganja predvsem ob termi£nem ekvatorju (najbolj ogretempasu okrog Zemlje) in spu²£anja predvsem v subtropih na ploskvi 500 mbar  v enotahsprememb tlaka s £asom v dvigajo£em se zraku (zmanj²evanje tlaka) oz. v spu²£ajo£em sezraku (pove£evanje tlaka). Vrednost −0,1 Pa/s ustreza pri temperaturi okrog −20 ◦C, kije za 500 mbar nekako obi£ajna, vertikalnemu dviganju s hitrostjo okrog 1,5 m/s. Skupajs pasati pri tleh in antipasati v vi²inah ta dviganja in spu²£anja oblikujejo Hadleyjevo eli o meridionalne irkula ije (po re-analizah ECMWF [4℄, barvna slika je na naslovni i).imel Margules3 [14℄; sodobno in popolno razlago pa je podal Lorenz4 (polegv originalnem Lorenzovem £lanku [15℄, je kon ept APE opisan tudi v npr.v [16℄).Na sliki 10 je jasno razvidno, da je najve£ji rezervoar razpoloºljive po-ten ialne energije za povpre£ni zonalni tok APEZ  to je tisti za zahodnike,okrog 40 105 Jm−2. Je pa na prvi pogled nekoliko nepri£akovano dejstvo,da ni glavna energijska pretvorba neposredno iz tega rezervoarja v kineti£noenergijo zonalnega toka KEZ , temve£ potekajo pretvorbe prek motenj  me-ridionalnih vrtin ev, in si er prek poten ialne energije za gibanje vrtin ev APEV v kineti£no energijo vrtin ev KEV , ki potem poganjajo tudi zonalnitok s kineti£no energijo KEZ . Razlog za to smo ºe omenili: veliki gradientimed ekvatorjem in poloma (ki pomenijo velik APEZ) teºijo k izravnavam.Ker pa so meridionalne izmenjave u£inkovite le v tropih in subtropih (v Ha-dleyjevi eli i), v vi²jih geografskih ²irinah pa ne, ker tam Coriolisov efekt3Max Margules (18561920), avstrijski meteorolog, po njem se imenuje ena£ba, kiopisuje nagib fronte [13℄.4Edward Norton Lorenz (roj. 1917), ameri²ki matematik in meteorolog, pionir teorijedeterministi£nega kaosa, pri ²tudiju konvek ije v ozra£ju je odkril t. i. £udni atraktor [13℄.134 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 135  #7 Energetika dogajanj v ozračju – II. del: Energijske pretvorbe Slika 10. Pretvorbe in zaloge energije (po Lorenzu) v zonalnem na£inu gibanja in v giba-nju vrtin ev na severni polobli; povzeto po modelskih rezultatih re-analiz NCEP/NCAR([8℄, vrednosti v pokon£nem tisku) in po starej²ih o enah Oorta in Peixota ([17℄, vrednostiv oklepajih in s kurzivno pisavo).preobrne proti poloma usmerjene tokove v zahodnike, kakega povpre£-nega meridionalnega prenosa tam niti ni. To povzro£i, da se gradienti ²enaprej pove£ujejo, kar privede do barokline nestabilnosti (prek £ezmernegapove£evanja APEV ) in s tem do mo£nih perturba ijskih prodorov toplih inhladnih zra£nih mas proti polu oziroma proti subtropom  KEV . No, to prinas dobro poznamo  to je na²e spremenljivo vreme.7. U£inkovitost energijskih pretvorbše iz slike 10 vidimo, da se zaloga obeh oblik razpoloºljive poten ialneenergije APEZ in APEV skupaj polni s sorazmerno majhno gostoto mo£iokrog 3 Wm−2. To je zelo malo v primerjavi s povpre£no gostoto mo£ina Zemlji absorbirane son£ne energije, ki je, kot smo povedali v drugempoglavju, 236 Wm−2. Torej je u£inkovitost atmosferskega toplotnega strojazelo majhna  okrog enega odstotka. Posebej za trope in subtrope, kjer paimamo zaklju£eno irkula ijo v Hadleyjevi eli i, pa lahko naredimo tudio eno u£inkovitosti s pomo£jo modela Carnotovega toplotnega stroja. 129–138 135 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 136  #8 Jože Rakovec Slika 11. Ozra£je v tropih in subtropih kot Carnotov toplotni strojZrak se 1) pri tleh s pasatnimi vetrovi steka proti ekvatorju (na sliki 11spodaj od leve proti desni): re imo, da ima ta toplej²a stran temperaturookrog T1 ≈ 300 K. Ob ekvatorju se 2) konvek ijsko dviga in pri tem adia-batno razpenja in seveda pri tem ohlaja  re imo do temperature T2 ≈ 230K. Potem se 3) v antipasatih pomika proti subtropom (na sliki 11 zgo-raj od desne proti levi). Tu se 4) spu²£a navzdol, se pri tem adiabatnostiska (in ob tem segreva). Kako zapi²emo ustrezni Carnotov ikel? Kerimamo v ozra£ju teºave z o enjevanjem volumnov, zapi²emo delo druga£e: p dV = V dp − mR dT . Opravljeno delo v enem iklu je torej: ∮ p dV m = ∮ V dp m − ∮ R dT .Zadnji £len je krivuljni integral totalnega diferen iala in zato enak ni£. Takoostane samo: ∮ p dV m = ∮ V dp m = ∮ RT p dp .Vzdolº poti z diabatnimi spremembami, ko zrak potuje horizontalno, se tlakskoraj ni£ ne spreminja in je dp ≈ 0, kar pomeni, da se vzdolº horizontalnihodsekov poti 1) in 3) ne opravlja skoraj ni£ dela. Vzdolº obeh delov poti zadiabatnimi spremembami pa se spreminja tlak za dp, in ob tem temperaturaadiabatno T = T0( pp0 ) Rcp . Torej velja: ∮ p dV m = p3 ∫ p1 ( RT1 p1 ) R cp p R cp −1 dp + p1 ∫ p3 ( RT3 p3 ) R cp p R cp −1 dp =136 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 137  #9 Energetika dogajanj v ozračju – II. del: Energijske pretvorbe = −cpT1 [ ( p3 p1 ) R cp − 1 ] − cpT3 [ ( p1 p3 ) R cp − 1 ] = = (67 480 − 66 670) Jkg = 800 Jkg .Ko upo²tevamo (podatki po [16℄), da se v pasatih giblje okrog m ≈ 1018 kg zraka, da eno zaokroºenje v njih traja t ≈ 1 mese , kar je pribliºno 3 · 106 s, in da je podro£je veliko S ≈ 1,5 · 1014 m2, dobimo za ploskovnogostoto mo£i Wk/S ≈ 5,4 Wm−2. Torej spet dober odstotek ali dva odgostote absorbirane mo£i son£nega sevanja v tropih in subtropih.Ali je torej to, da je ozra£je sorazmerno neu£inkovit toplotni stroj, mordaslabo? Ne bi mogli pritrditi: zamislite si, kako viharno bi bilo ºivljenje naZemlji, £e bi vetrovi na njej pihali s hitrostmi 100 ms−1 ali pa elo z nekaj stometri na sekundo! Je kar prav, da se v kineti£no energijo ozra£ja pretvarjale nekaj odstotkov absorbirane mo£i son£nega sevanja!LITERATURA[1℄ Nuklearna Eelektrarna Kr²ko  Proizvodnja,http://www.nek.si/sl/o_nek/proizvodnja/.[2℄ C. Fröhli h, Solar Constant, Physikalis h-Meteorologis hes Observatorium Davos,World Radiation Center,http://www.pmodwr . h/pmod.php?topi =tsi/ omposite/SolarConstant .[3℄ USGS Energy Resour es Program, http://energy.usgs.gov/.[4℄ ERA-40 Atlas, ECMWF,http://www.e mwf.int/resear h/era/ERA-40_Atlas/do s/index.html .[5℄ EO Observation De k: Net Radiation Dataset View, NASA Earth Observatory,http://earthobservatory.nasa.gov/Observatory/Datasets/netux.erbe.html aliOutgoing Longwave Radiation::2005, NASA Visible Earth,http://visibleearth.nasa.gov/view_re .php?id=7641 .[6℄ David Stepaniak, Verti ally Integrated Mass, Moisture, Heat, and Energy BudgetProdu ts Derived from the NCEP/NCAR Reanalysis, Climate Analysis Se tion,CGD, NCAR, http://www. gd.u ar.edu/ as/ atalog/newbudgets/.[7℄ J. M. Walla e (diagram S. Medina) v: Holton, Curry in Pyle (ur.), En y l. Atmos.S i., A ad. Press, 2003.[8℄ The NCEP/NCAR Reanalysis Proje t at the NOAA/ESRL Physi al S ien es Divi-sion, Earth System Resear h Laboratory,http://www. d .noaa.gov/ d /reanalysis/reanalysis.shtml inNCEP/NCAR Reanalysis, UCAR, http://dss.u ar.edu/pub/reanalysis/.[9℄ ARGO  part of the integrated global observation strategy,http://www.argo.u sd.edu/index.html .[10℄ T. H. Vonder Haar in A. H. Oort, New estimate of annual poleward energy transportby Northern Hemisphere o eans, J. Phys. O ean. 2 (1973), str. 169172. 129–138 137 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 138  #10 Jože Rakovec[11℄ K. E. Trenberth in J. M. Caron, Estimates of meridional atmosphere and o ean heattransports, J. Climate 14 (2001), str. 34333443.[12℄ A. Czaja in J. Marshal, The Partitioning of Poleward Heat Transport between theAtmosphere and O ean, J. Atmos. S i. 63 (2006), str. 14981511.[13℄ Wikipedia, the free en y lopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/.[14℄ H. Pi hler, Dynamik der Atmosphäre, Spektrum Akademis her Verlag, 1997.[15℄ E. N. Lorenz, Deterministi nonperiodi ow, J. Atmos. S i. 20 (1963), str. 130141.[16℄ R. Grothjahn v: Holton, Curry in Pyle (ur.), En y l. Atmos. S i., A ad. Press, 2003.[17℄ A. H. Oort in J. P. Peixoto, The annual y le of the energeti s of the atmosphere ona planetary s ale, J. Geophys. Res. 79 (1974), str. 27052719; povzeto po: Holton,An Intr. to Dynami Meteorology, Elsevier A ad. Press, 2004, 4. izdaja.NOVE KNJIGEPismo uredni²tvu o Brysonovi knjigiPisanje za ²ir²i krog bral ev je povezano s teºavami. ƒisto mogo£e je,da pise takega besedila ne ustreºe vsem strokovnim zahtevam. Vendar jeteºko sprejeti misel, da je trditev preprostej²a, £e je malo napa£na ali £ezavaja. Ali tudi takim knjigam bral i ne bodo mogli ve£ zaupati?Ob poro£ilu o Brysonovi knjigi Kratka zgodovina skoraj vsega v prvi²tevilki leto²njega Obzornika se ne morem potuhniti, ker sem nad zikalnimdelom knjige javno negodoval. Naj ²e za bral e Obzornika navedem nekajzna£ilnih spodrsljajev. Citate sem iz bro²irane angle²ke izdaje iz leta 2004prevedel kolikor mogo£e dobesedno in dodal kratke pripombe. O prevodu sestrinjam s poro£eval em.Mi helson je upo²teval, da pol leta Zemlja potuje proti Son u in polleta od njega (str. 118). Interferometer na povr²ju Zemlje z njo potujeokoli Son a in kroºi okoli zemeljske osi. Tirni a interferometra glede nazvezde je dokaj zapletena.Kratkoro£no je [kvantna teorija℄ pomagala najti re²itev uganke Mi hel-sonovih in Morleyjevih poskusov, ko je pokazala, da svetlobe sploh ni trebaopisati kot valovanje (119, 120). V interferometru opazujemo interferen odveh delnih urkov svetlobe in se moramo opreti na valovanje. S kvanti(fotoni) si pri opisu poskusa ni mogo£e neposredno pomagati.Prva je odkritelju [Albertu Einsteinu℄ prinesla Nobelovo nagrado inje pojasnila naravo svetlobe (in je med drugim tudi omogo£ila televizijo)(120). Fotoefekt je odkril leta 1887 Heinri h Hertz in sta ga raziskala nje-gova asistenta Wilhelm Hallwa hs in Philipp Lenard. Einsteinovo ena£bo jemogo£e pojasniti tudi brez kvantov. Naprave, ki izkori²£ajo fotoefekt, nisoneposredno povezane z ena£bo.138 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Energetika2  2008/10/6  10:13  page 139  #11 Pismo uredništvu o Brysonovi knjigiNjegov prvi £lanek o kapljevinah v slami ah (prav teh) se je pojavil vistem letniku kot Plan kova kvantna teorija (121). Einsteinov prvi £laneks poskusom molekulske razlage povr²inske napetosti je bil zares zgre²en, aje bil pomembna priprava za dolo£itev velikosti molekul (Ob Einsteinovemprvem £lanku, Obzornik mat. z. 51 (2004) 6, str. 171). Kaj ima pri temslami a, ki je navadno tako debela, da se v njej pija£a komaj dvigne?Ni imel opomb pod £rto ali itatov [Einsteinov £lanek o teoriji relativ-nosti leta 1905℄, ni vseboval skoraj ni£ matematike (121). Kdor je videl£lanek, ve, da je v drugem delu veliko dalj²ih izpeljav.Slipher je bil prvi, ki je opazil to [Dopplerjev pojav℄ s svetlobo (121).William Huggins je leta 1864 ugotovil premik £rte v spektru zvezde velikopred merjenji Vesta M. Slipherja okoli leta 1913.To [Heisenbergova neena£ba℄ je bilo matemati£no tako zapleteno, daje komaj kdo razumel, vklju£no s Heisenbergom [. . . ℄ (144). Heisenberg jeneena£bo izpeljal preprosto z lo£ljivostjo mikroskopa in de Broglievo valovnodolºino. Mogo£e jo je izpeljati z zvezo med trajanjem valovne poteze in ²irinospektralne £rte.Morda najbolj privla£na od kvantnih neverjetnosti je iz izklju£itvenegana£ela Wolfganga Paulija iz leta 1925 izvirajo£a zamisel, da kateri od su-batomskih del ev v dolo£enih parih, elo £e je med njima znatna razdalja,v trenutku zve, kaj dela drugi (145). Paulijeva prepoved za del e s polo-vi£nim spinom ni povezana s tako imenovanim prepletenim stanjem, s ka-terim opi²emo dva povezana del a. Skoraj vse poskuse v duhu Bohmoveina£i e Einstein-Podolsky-Rosenovega poskusa so naredili s svetlobo. Zafotone Paulijeva prepoved ne velja.To je izre no zahtevalo, da ni£ ne more biti hitrej²e kot svetloba, todatu so ziki vztrajali, da to nekako na subatomski ravni zmore informa- ija (146). V prepletenem stanju dveh del ev ne moremo nobenega odnjiju opisati, ne da bi vklju£ili drugega. Pri omenjenem poskusu v preplete-nem stanju s spinom 0 dveh fotonov merijo spin enega fotona. ƒe ugotovijo,da je 1, je spin drugega zagotovo −1, ne glede kako oddaljena sta fotona.Vendar s tem ni mogo£e prena²ati obi£ajnih informa ij.To je izbor pripomb na nekaj strani v knjigi. Kaj £e so drugi deli knjigeenako opore£ni? Knjigo so spremljale zelo ugodne kritike in pise je zanjodobil Des artesovo nagrado. Ali knjige ni resno prebral noben zik? Ali nipisanje o ne£em, kar pozna² le povr²no ali pa sploh ne, nevarno? Ali bi biloBrysonovo pisanje manj privla£no in bi zbujalo manj zanimanja za ziko inznanost, £e bi dal rokopis prebrati kriti£nemu ziku? Janez Strnad Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 139 Golja  2008/10/3  12:48  page 140  #1 INTERVJU GOSPOD JANEZ GOLJA,VODJA CENTRA ZA FORENZIƒNE PREISKAVEGospod Janez Golja je po gimnaziji in²tudiju takratne tehni£ne zike na Fakul-teti za naravoslovje in tehnologijo diplomi-ral leta 1973. še pred diplomo se je zaposlilkot kriminalisti£notehni£ni izvedene za zi-kalne preiskave v takratnem Kriminalisti£no-tehni£nem laboratoriju Republi²kega sekre-tariata za notranje zadeve.Nekaj let za tem je postal vodja zikal-nega laboratorija, leta 1982 pa vodja kri-minalisti£notehni£nega laboratorija. Po ²ti-rih letih je bil imenovan za svetoval a direk-torja kriminalisti£ne poli ije za podro£je fo-renzike. Od leta 1990 je vodja Centra za forenzi£ne preiskave.V zgodnjih sedemdesetih letih se je izpopolnjeval na podro£ju forenzikena In²titutu za kriminalisti£no tehniko in kriminologijo v Lausanni v ’vi i.Je predavatelj kriminalisti£ne tehnike na Fakulteti za varnostne vede UMin sodni izvedene za podro£ja: sledi oroºja in forenzi£ne balistike, poºarovin eksplozij, eksplozije eksplozivnih sredstev, avtomobilskih koles, ºarni intahografov.Je avtor ²tevilnih strokovnih £lankov s podro£ja kriminalisti£ne tehnikein eden izmed ustanovnih £lanov Evropskega zdruºenja forenzi£nih labora-torijev (ENFSI  European Network of Forensi S ien e Institutes). Od leta1997 je £lan Ameri²kega zdruºenja direktorjev kriminalisti£nih laboratorijev(ASCLD  The Ameri an So iety of Crime Laboratory Dire tors).Za delo v organih za notranje zadeve oziroma poli iji je prejel ²tevilnapriznanja.Gospod Golja, diplomirali ste iz zike v sedemdesetih letih prej²njega sto-letja?Ja, ²tudij sem za£el leta 1962 in redno ²tudiral, potem sem se pa zgodajoºenil in dobil otroka. Izpite sem opravljal sproti, zaradi dela in obveznostiz druºino pa sem diplomiral ²ele leta 1973. Najprej sem za£el pripravljati140 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 141  #2 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavediplomo na Kemijskem in²titutu Borisa Kidri£a, pa mi je ni uspelo dokon£ati.Preve£ je bilo drugih re£i. Moral sem delati. Priznam pa tudi, da mi je bilatema tam nezanimiva. Pozneje pa sem se lotil diplome pri prof. Cvelbarju, kije bil z mano zelo potrpeºljiv ter za moje odsotnosti in potrebe moje mladedruºine izjemno razumevajo£  za to sem mu ²e danes hvaleºen. Ne vem,ali bi bil brez njegove pomo£i in vzpodbud sploh diplomiral. še v tretjemletniku ²tudija sem se poro£il in dobil h£erko. Leta 1965, ko se je rodila, jebila tudi njena mati ²e ²tudentka. Letos bo ta h£erka stara ºe 43 let in ravnopred tednom dni je rodila tretjega fantka. Imeti druºino ºe med ²tudijem jebilo naporno, a ohranili so se £udoviti spomini. Ker sva bila z ºeno ²e zelomlada, imam ob£utek, da je tudi h£erka zelo hitro odrasla. Pozneje sva imela²e dva otroka in prvorojenka nama je zelo veliko pomagala. Za dana²nje £aseje kar neverjetno, a na primer, ko je ºena od²la za tri mese e na ²tudij vLyon, je takrat 11- ali 12-letna h£erka prakti£no prevzela in vodila elotnohi²no gospodinjstvo, medtem ko sem jaz poleg sluºbe skrbel za mlaj²a dvaotroka.Ni bilo bogatih star²ev, ki bi nan£no pomagali?Ne, oba z ºeno sva bila iz velikih druºin. šena je imela ²e dve sestri, jaz padva mlaj²a brata in sestro. Bil sem najstarej²i . . . Imel sem tudi majhno²tipendijo, a bilo je premalo. Zaradi preºivljanja druºine sem se takoj po£etrtem letniku zaposlil na Osnovni ²oli Ketteja in Murna na Kodeljevem vLjubljani, kjer sem bil predmetni u£itelj zike. Takrat so bili opravljeni izpitiiz prvih dveh letnikov univerze enakovredni vi²ji izobrazbi, ki je zado²£alaza pou£evanje na razredni stopnji O’.Spomnim se na primer vsaj dveh u£en ev, ki sem ju u£il ziko in sta danesdobro znana. To sta Peter Lov²in (Pankrti) in Zoran Jankovi¢, dana²njiºupan mesta Ljubljana. ’e danes, ko se sre£ava, me, £eprav se tikava, kotspomin na tiste £ase ogovori s profesorjem. še takrat se je videlo, da jebil Jankovi¢ brihten in sposoben. U£il sem po dvajset ur na teden. Polegtega sem bil pa tudi zelo aktiven ²portnik. Igral sem rokomet. ƒepravmajhne postave, sem bil znan kot povezovale , nekaj £asa elo kot najhitrej²islovenski igrale .Ste se s ²portom ukvarjali aktivno?Ja, za tiste £ase zelo aktivno. Dolga leta sem bil aktiven ²portnik. ’evedno dvakrat na teden igram ko²arko. Vsak ponedeljek in £etrtek igramouro in pol. Vsi smo starej²i, ampak se podimo kot nor i. To je dobro za Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 141 Golja  2008/10/3  12:48  page 142  #3 Intervjuohranjanje kondi ije. Ko sem bil mlad, sem imel trening vsak dan. Igralsem pri Slovanu. Bil sem slovenski reprezentant. Takrat v Jugoslaviji jebila seveda kvaliteta rokometa slab²a, kot je danes. Nekaj £asa sem bil tuditrener mladinske ekipe Slovana. ’portne aktivnosti so gotovo tudi vplivalena mojo pozno diplomo.V teh letih pred diplomo je bilo pa£ vsega preve£ in zato niste zmogli prejdiplomirati?Ja, poleg drugega sem na ve£ernih ²olah u£il matematiko in ziko. Res paje najbrº tudi, da sem tako pozno diplomiral zato, ker nisem imel delovnihnavad. Prej sem hodil na gimnazijo Moste in ni se mi bilo treba skorajni£ u£iti. Gimnazijo sem kon£al s samimi odli£nimi o enami, in to brezposebnega dela. To je bilo najbrº narobe. Takrat gimnazija Moste res nislovela kot najbolj²a in premalo sem bil navajen ²tudirati. Ampak kar nekajmojih so²ol ev je postalo zelo uspe²nih zdravnikov, umetnikov. Po kon£anigimnaziji nisem vedel, kaj bi sploh ²tudiral. O£e, ki je bil agronom, mi jepredlagal, da ker dobro znam matematiko in ziko, naj grem na tehni£noziko . . . Kljub pomanjkljivim delovnim navadam sem vedno zelo zbranoposlu²al predavanja in od njih ogromno odnesel. Tudi zapiske sem imel temuprimerno dobro urejene in so si jih ²e drugi ²tudentje izposojali. Takrat seje za£enjala atomska zika in zato je bil ²tudij zike nekaj posebnega. Bilje kar teºak ²tudij. Na kon u v tretjem in £etrtem letniku nas je bilo le ²eosem. Med nami je bil najbolj priden dana²nji prof. Kodre. Zadnji sem padiplomiral jaz. (Nasmeh.) Dobro se spomnim, da nisem mogel dolgo zbrano²tudirati. ’e danes lahko zelo intenzivno delam nekaj ur, dolgotrajni ²tudij,ko je bilo treba dneve in dneve presedeti pri kakem poglavju . . . , mi pa ni le-ºal. Sem pa zelo hiter in uspe²en pri delih, ki zahtevajo visoko kon entra ijokraj²i £as. Tudi v forenziki je pogosto tako, da je treba ukrepati zelo hitro inzbrano. Npr. hitro po eksploziji, poºaru ali strojelomu je treba zbrati in po-vezati mnoge podatke v zelo kratkem £asu. Ali pri umorih in drugih huj²ihkriminalnih dejanjih, ko je storile neznan, je treba kar se da hitro ukrepati,da ne bi izgubili klju£nih podatkov in informa ij. V takih situa ijah se boljeobnesem kot pri dolgotrajnem kon entriranem delu. Gre pa pri takem deluza izrazito logi£no mi²ljenje, za prin ip zdrave pameti, kot je rekel pokojniprof. Ku²£er. Zanimivo je tudi, da smo bili sosedje prof. Ivana Ku²£erja. Kosem bil majhen, sem z njegovo mamo hodil po mleko in dobro se spomnim,kako je bila navdu²ena nad mano, ker sem znal dobro ra£unati in sem pripla£ilu mleka elo njej kdaj kak ra£un prihranil.142 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 143  #4 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskaveRekli ste, da ste diplomirali pri profesorju Cvelbarju. Je bila va²a diplomskanaloga ºe kaj povezana s forenziko?Ne, diplomiral sem iz sevanja £rnega telesa. Izdelal sem pribliºek £rnegatelesa in meril spekter njegovega sevanja pri razli£nih temperaturah. ƒrnotelo je bila preprosta £rna ev z malo luknji o, kjer sem meril sevanje, ki najbi ustrezalo Plan kovemu zakonu. Spomnim se tudi ²e, da je bil Stefanovzakon j = σT 4 zelo pomemben pri mojem diplomskem delu. Bilo je zani-mivo delo s podro£ja zike, ki mi je bilo v²e£ tudi zaradi prakti£nega dela,saj sem £rno telo izdelal sam, spekter pa sem meril s takrat novim infrarde-£im spektrofotometrom kriminalisti£notehni£nega laboratorija Republi²kegasekretariata za notranje zadeve, kjer sem takrat ºe delal.Ste ohranili stike s ziki?Ja, seveda. Sre£ujemo se kot letnik. Ne vsako leto, a se. Lani, mislim, daje bilo junija, sem se udeleºil sre£anja diplomantov zike, ki so ga pripravilikot piknik na parkirnem prostoru na Jadranski pred poslopjem fakultete vLjubljani. Dobro poznam prof. Stepi²nika s FMF. Bil je par let pred manoin je tudi dobro igral rokomet. Pa Pal£i£a, ki je sedaj v Van ouvru v Kanadiin se kot zik ukvarja z medi ino. Imam kar veliko stikov, a bolj prijateljskihkot strokovnih. V zadnjem £asu imam dobre stike tudi s prof. Trontljem,ki dela na Oddelku za ziko Fakultete za matematiko in ziko. Razvijajonamre£ napravo za odkrivanje drog in eksplozivov, pa sem jaz nekak²nazveza med raziskovalno sfero in operativno poli ijo, ki na terenu preiskujevozila . . . Boris Orel je bil tudi leto pred mano. On je danes kemik naKemijskem in²titutu in se ukvarja z raziskovanjem lakov. Zato smo tudiv£asih strokovno sodelovali.še pred diplomo ste dobili tako nenavadno sluºbo pri poli iji. Kako je pri²lodo tega?Leta 1969 sem ²el za eno leto k vojakom. Imel sem sre£o in zveze in semsluºil v Cerkljah pri Breºi ah na voja²kem letali²£u. ’ef ljubljanske poli ijepa je bil dober prijatelj mojega tasta in enkrat proti kon u mojega sluºenja,ko sem bil doma, me je vpra²al, ali bi ºelel delati v poli ijskem laboratoriju;takrat so rekli v laboratoriju mili e oz. v RSNZ (Republi²ki sekretariat zanotranje zadeve). Rekel mi je ²e, da ºelijo v laboratoriju mili e tehni£nonapredovati in i²£ejo primerne inºenirje. Nekaj £asa sem pomi²ljal, ker ta-krat mili a in RSNZ nista bila ravno priljubljena. Poleg tega sem imel tudiponudbo In²tituta za vakuumsko tehniko in sem bil ºe vabljen na razgovor, Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 143 Golja  2008/10/3  12:48  page 144  #5 Intervju£eprav ²e nisem imel diplome. Pa sem se odlo£il za poli ijo, in ni mi biloºal. Jeseni leta 1970 sem se zaposlil kot kriminalisti£notehni£ni izvedene zazikalne preiskave v takratnem Kriminalisti£notehni£nem laboratoriju Re-publi²kega sekretariata za notranje zadeve. ’e isto jesen so kupili infrarde£ispektrofotometer, naslednje leto pa spektrograf z laserskim mikrospektralnimanalizatorjem. Imel sem res sre£o, saj se je takrat za£el velik napredek, insem res delal zanimivo delo zika. Leta 1972 sem od²el na enoletno spe iali-za ijo v Lausanne v ’vi o, kjer je najstarej²i univerzitetni forenzi£ni in²titut,in sem potem ²ele leta 1973 diplomiral.Je bilo od za£etka va²e delo pri poli iji povezano s kriminalnimi dejanji?Ja, od za£etka sem delal pri forenzi£nih analizah ob kaznivih dejanjih. Naza£etku je ²lo najpogosteje za pobege s kraja prometne nesre£e. Pozneje paje postajala raznolikost kaznivih dejanj £edalje ve£ja in njihova analiza vsebolj zapletena.Prej ste omenili, da je poli ija takrat kupila infrarde£i spektrofotometerin spektrograf z laserskim mikrospektralnim analizatorjem . Zakaj sose uporabljale te aparature?Leta 1970 so imeli v te namene le en instrument, pa ²e tistega niso upora-bljali. Jaz sem se takoj za£el poglabljati v tehniko in z novimi instrumentismo lahko dolo£ali natan£no sestavo npr. lakov, eksplozivov, drog in drugihanorganskih snovi. ’lo je za analizo sledi, ki so v preiskavi in pozneje vpostopkih dokazovale istovetnost storil ev. Analiza mikro sledi je bila ta-krat velik tehni£ni skok naprej v preiskavah in profesionaliza iji poli ijskegadela. Tehni£no je ²lo za pridobivanje dovolj zanesljivih podatkov iz v£a-sih izjemno drobnih materialnih sledi. Lahko je ²lo za drobno odrgnino,na kateri smo lahko na²li mikro sledi, npr. laka, ali za drobne del£ke, ki soostali v obla£ilih od dotikov  npr. pri nesre£ah, ko je bil zbit pe²e in jestorile pobenil s kraja nesre£e. ƒeprav na oko v obla£ilih ni bilo nikakr-²nih sledi, smo s profesionalnim delom in aparaturami lahko analizirali npr.mikro ostanke avtomobilskega laka, ki je ostal v obla£ilih ponesre£en a. Zuporabo imenovanih aparatur smo lahko dolo£ili barvo, sestavo, pigment . . .in tako izlo£ili ali dolo£ili moºne storil e. Kmalu smo zaposlili ²e nove ljudis tehni£no izobrazbo in uvedli ²e nove metode dela, kot sta plinska in ionskakromatograja1. Tudi danes prihajajo vedno nove metode dela. To je hitrorazvijajo£a se znanost. Danes se veliko dela z analizami DNK. Takrat nas je1Kromatograja  dolo£evanje kon entra ije in identitete posameznih molekul v zmesi.144 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 145  #6 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavebilo v laboratoriju 13, danes nas je 67, pa nas je ²e premalo, saj nam ne uspere²evati zadev tako hitro, kot bi uporabniki (poli ija, toºilstvo, sodi²£a, . . . )ºeleli.Kak²na je bila va²a izku²nja izpopolnjevanja iz forenzike v ’vi i?Na izpopolnjevanju v Lausanni leta 1972 sem se seznanil z mnogimi novimiin zanimivimi podro£ji ter v eloti spoznal forenziko, od prstnih odtisov, fo-renzi£ne balistike, preiskav rokopisov, sledi obuval in orodij, analize fotogra-j, . . . Prej so se mi zdele kake preiskave prstnih odtisov malo pod enjujo£eza zika, potem sem pa spoznal, kako zanimiva in vsestranska spretnost jepotrebna za dobrega forenzi£nega strokovnjaka. Za spoznanji in odlo£itvamije velika odgovornost, saj je od forenzi£nega mnenja, ali se npr. prstni odtisiosumljen a ujemajo s tistimi, ki so bili pu²£eni na kraju zlo£ina, odvisno,ali bo osumljene obsojen ali ne in tudi, kolik²na bo kazen. Skratka, to deloje zelo odgovorno. V Lausanni sem se poleg uporabne zike u£il predvsemforenzike. Nau£il sem se tudi fran oskega jezika, ki sem ga delno obvladalºe prej, saj sem se fran o²£ino u£il v gimnaziji 4 leta. V Lausanni sem vsapredavanja in vaje poslu²al v fran o²£ini in se res dobro nau£il jezika. Fran- o²£ina mi je bila v²e£ in tudi fran oski radio sem poslu²al. Fran o²£ina mije pozneje v pokli u pogosto pri²la zelo prav in jo ²e danes poleg angle²£inepovsem aktivno obvladam. Tudi v Lausanni sem ²e naprej igral rokomet,bil sem v ²tudentski ekipi.Kako je potekala va²a kariera po vrnitvi iz Lausanne?Po vrnitvi iz Lausanne sem leta 1975 postal ²ef zikalno-kemijskega labo-ratorija, leta 1982 pa vodja kriminalisti£notehni£nega laboratorija. V letih19861990 sem bil svetovale direktorja uprave kriminalisti£ne poli ije za po-dro£je forenzike, od leta 1990 sem pa vodja Centra za forenzi£ne preiskave.Ker imam bene iran staº, bom imel kone leta ºe ve£ kot 52 let delovnedobe in se bom upokojil. šena se tudi upokoji letos, tako da me £aka pre ejdruga£no ºivljenje. Ostal bom pa sodni izvedene za forenzi£no balistiko,eksplozije in poºare in mi dela ne bo zmanjkalo. Predavam tudi Krimina-listi£no tehniko na Fakulteti za varnostne vede UM. Jeseni bo 38 let, odkardelam pri poli iji, in v tem £asu sem napisal mnogo strokovnih mnenj o po-ºarih, eksplozijah in s podro£ja balistike. Rad bi te analize uredil in v nekiobliki objavil ali omogo£il, da ta spoznanja in izku²nje uporabijo ²e drugi.Mislim, da bi bilo to koristno za izobraºevanje forenzi£nih strokovnjakov.Va² laboratorij deluje v okviru poli ije? Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 145 Golja  2008/10/3  12:48  page 146  #7 IntervjuDolga leta smo bili v okviru kriminalisti£ne poli ije, pred nekaj leti pa sonas izlo£ili in smo sedaj podrejeni direktno generalnemu direktorju poli ije.Imamo svoje nan e in svojo strokovno neodvisnost. No, strokovno neodvi-snost smo zmeraj imeli. V strokovna mnenja se res nikoli ni nih£e vme²aval.Na²a dana²nja organiza ija v okviru poli ije ustreza vsem evropskim stan-dardom za neodvisno delo takega laboratorija. šal je v sodstvu tudi velikopolitike v smislu, da tedaj, ko nam odvetniki ne morejo o£itati ni£ drugega,za£nejo izpodbijati na²a mnenja na podlagi njihovih mnenj o na²i pristra-nosti, ker delujemo v okviru poli ije. Nekje pa£ moramo biti in mislim, daje prav, da nas nan ira drºava. Jaz bi se bolj bal pristranosti mnenj, kibi jih nan iral privatni kapital. Po svetu seveda najdete tudi tako imeno-vane neodvisne zasebne strokovnjake, a prepri£an sem, da je tu nevarnostza pristranost ve£ja, saj so nan£no direktno odvisni od naro£nika.Kako je slovenska forenzika vklju£ena v delo mednarodnih organiza ij s po-dro£ja forenzike?Smo edini forenzi£ni laboratorij v Sloveniji in veliko sodelujemo s tujimiforenzi£nimi laboratoriji. Tudi za nas je bila pomembna ustanovitev Evrop-skega zdruºenja forenzi£nih laboratorijev (ENFSI  European Network ofForensi S ien e Institutes) leta 1995. Bil sem elo ustanovni £lan. Naspletu2 najdete mnoge zanimive informa ije o zdruºenju, ki si prizadeva za£im ve£jo kakovost forenzi£nih raziskav. V zdruºenju sem bil od leta 2001do 2005 £lan Evropske akademije za forenzi£ne znanosti. Naloga akademijeje bila organizirati usklajeno in kvalitetno forenzi£no izobraºevanje za e-lotno podro£je forenzike v Evropi. V letih 2002 do 2005 sem bil elo £lanupravnega odbora ENFSI. Vsekakor smo bili Sloven i v ENFSI prvi iz takoimenovanega Vzhoda. Zanimivo je, da je pri mojem imenovanju v upravniodbor zagotovo imela pomembno vlogo moja fran o²£ina, saj sem na volitvahdobil podporo direktorjev pomembnih fran oskih forenzi£nih laboratorijev.Bil sem namre£ eden redkih Nefran ozov, ki so teko£e govorili tudi fran osko.Pravzaprav me je fran oski lobi prosil, da bi sploh sprejel kandidaturo. Takose moje izpopolnjevanje v Lausanni pozna ²e do dana²njih dni. Direktor in-²tituta za forenziko v Lausanni in profesor forenzi£nih znanosti na lausanskiuniverzi prof. Pierre Margot je v primeru Kamenik, ko je ²lo za ²tirikratniumor v Teka£evem in za razvpito sled obuvala, podal mnenje . . . on je billeta 1972 ²tudent v Lausanni in sva se veliko druºila ter sva ²e danes prijate-2http://www.enfsi.eu/146 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 147  #8 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavelja. Si er pa je na² Center za forenzi£ne preiskave dobro strokovno povezans podobnimi in²titu ijami po vsej Evropi. Sodelujemo tudi s forenzi£nimilaboratoriji po svetu. Od leta 1997 sem tudi £lan Ameri²kega zdruºenja di-rektorjev kriminalisti£nih laboratorijev ASCLD (Ameri an So iety of CrimeLaboratory Dire tors3). Od Ameri£anov smo ºe pred ustanovitvijo ENFSIdobili veliko koristnih informa ij, predvsem od NIJ (National Institute ofJusti e4) in FBI (Federal Bureau of Investigation5). Danes to sodelovanjepoteka preko ENFSI. So pa v napredku forenzike in²titu ije, kot sta ameri²kiNIJ, ki je agen ija znotraj U. S. Department of Justi e in FBI, bile in osta-jajo izjemno pomembne. Kot direktor se danes bolj ukvarjam z organiza ijoin politiko sodelovanja, medtem ko so za razvoj forenzike pomembne pred-vsem delovne skupine za posamezna forenzi£na podro£ja. ’e vedno me pa,tudi kot direktorja Centra, najbolj zanimajo konkretna strokovna opravila,medtem ko so mi birokratska dela zoprna in komaj £akam na upokojitev, komi tega ne bo ve£ treba po£eti.Lahko poveste kaj o danes modernih DNK6 (DNA) analizah? V£asih so napodlagi krvnih skupin lahko dokazali, da na primer mo²ki ni o£e otroku,ali da krvna sled ne pripada dolo£eni osebi, nemogo£e pa je bilo dokazatio£etovstvo ali istovetnost osebe in krvne sledi. Kako zanesljivi so DNKtesti? Se take analize naro£ajo tudi v primerih druºinskih sporov in priugotavljanju o£etovstva?V na²em laboratoriju ne delamo testov za ugotavljanje o£etovstva. To po£-nejo na In²titutu za sodno medi ino. Je pa danes na podlagi DNK ugotavlja-nje o£etovstva zelo enostavno in izjemno zanesljivo. V na²em laboratorijuraziskujemo le primere, ki so povezani s kaznivimi dejanji, na primer o£eto-vstvo ploda v primerih posilstev. V£asih dobimo v DNK identika ijo kakotruplo, ki je bilo ºe dolgo zakopano. Delali smo tudi pri identika iji trupelmedvojnih in povojnih pobojev. To delamo tako, da primerjamo DNK ºivihpoten ialnih sorodnikov. Neverjetno je, kaj je mogo£e dolo£iti z identika- ijo DNK. Tudi v primerih kriminalnih dejanj je mogo£e iz podobnosti inrazli£nosti le na posameznih mestih dolo£iti na primer bliºnje sorodstvo. Zveliko gotovostjo lahko na primer dolo£imo brata ali sestro, itd. Zdi se, daje v DNK zapisano £isto vse, £e le pogledate dovolj globoko. Tehnologija je3http://www.as ld.org/4http://www.ojp.usdoj.gov/nij/5http://www.fbi.gov/6DNK  deoksiribonukleinska kislina (v angle²£ini: DNA  Deoxyribonu lei a id.) Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 147 Golja  2008/10/3  12:48  page 148  #9 Intervjutako napredovala, da lahko prakti£no iz ene £love²ke eli e natan£no dolo-£imo prol DNK in s tem istovetnost. To je v raziskovanju kaznivih dejanjvse pomembneje, saj je biolo²ke sledi £love²kega izvora nemogo£e zabrisati.Biolo²ke sledi najdemo prakti£no po vsakem kaznivem dejanju. Sedaj, kovi odidete, za sabo pu²£ate polno biolo²kih sledi. Od najmanj²ih delov, naprimer vlaken va²e jopi e, ki se je kdaj le dotaknila va²e koºe, ali tu, kjerse z roko dotikate mize, so ostale biolo²ke sledi znoja, ki ga seveda niti nevidimo niti ne opazimo s prostim o£esom. In, kot re£eno, ºe iz eli e aliiz nekaj eli znamo dobiti prol DNK, ki je prakti£no individualen. ƒeimamo osumljen a, mu vzamemo bris ustne sluzni e, in to zado²£a za neiz-podbitno povezavo osumljen a s kaznivim dejanjem ali za dokaz, da sledi nepripadajo osumljen u. Zato imajo sodi²£a na²a mnenja in ugotovitve zelorada. Mi v forenzi£ni znanosti re£emo, da dokazana verjetnost meji na go-tovost. Marsikdo te eksaktnosti izraºanja ne razume in jo interpretira kotda se ekspertom samo dozdeva, pa £eprav je verjetnost, o kateri govorimo,matemati£no o enjena na 1−3 ·10−13. Zanimivo pri tem je tudi to, da mi vna²ih analizah gledamo molekule DNK le na 10 mestih, ki si er ne karakte-rizirajo poznanih lastnosti oseb, razen za identika ijo spola identi iramoznani XX ali XY par, ki dolo£a spol. Zaradi spo²tovanja osebnih podatkovin ker za to ni potrebe, saj DNK ponuja dovolj si er²nje identika ije, podogovoru v forenziki niti ne gledamo tistih delov DNK, ki karakterizirajoosebne lastnosti. Teh 11 mest je tudi natan£no dolo£enih in dogovorjenih,kar omogo£a standardiza ijo DNK prolov in mednarodno prepoznavanjeistih storil ev, tudi ko mogo£e sploh ²e nimamo osumljen ev. ’e ve£, vede-nje, da gre za istega storil a, lahko elo pomaga pri razkrivanju identitete inmotiva storil a kaznivih dejanj.Profesor Pierre Margot z in²tituta za forenziko v Lausanni, ki ste ga omenili,je po poro£anju medijev v primeru Kamenik, ko je ²lo za ²tirikratni umorv Teka£evem leta 1997, ob pro esu leta 2002 podal pre ej razli£no mnenjeod mnenja slovenskega izveden a Ervina Dra²lerja. Zato je sodi²£e iskalo ²etretje mnenje, ki ga je podal nem²ki forenzi£ni izvedene Mi hael Braune,ki naj bi bilo spet druga£no od prej²njih dveh mnenj. Lahko komentirate?Za primer Teka£evo sem ²e vedno stoodstotno prepri£an, da sta sledi, najdenina kraju zlo£ina, sledi obuval, ki so bila zaseºena na Kamenikovem domu.Pod na²e poro£ilo je bil takrat podpisan gospod Ervin Dra²ler, ki je bil doupokojitve vodja oddelka za daktiloskopijo (to je oddelka, ki se ukvarja s pr-stnimi odtisi in sledmi). Primer Kamenik in navidezno razli£na mnenja sem148 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 149  #10 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavenatan£no razloºil na lanskem posvetu Problemi dokazovanja v zahtevnih ka-zenskih postopkih7, ki je potekal na mariborski pravni fakulteti. V prispevkuje tudi jasno napisano, kaj je o sledeh v tem primeru ugotovil na² enter,kaj in²titut v Lausanni in kaj kriminalisti£notehni£ni in²titut v Wiesbadnu.Na na²em entru smo potrdili, da so sledi, najdene na kraju zlo£ina, slediKamenikovih obuval. Ena sled (desnega obuvala) je bila najdena na papirju,na katerega so storil i stopili, ko so brskali po blagajni, druga sled je bilapa najdena na skednju ob ubiti ºenski, odtisnjena v ilovi i. Slednja je bilapotem odlita v mave . V mnenju lausanskega forenzi£nega in²tituta najdeteprakti£no potrditev sovpadanja vseh splo²nih in individualnih karakteristiksledi in Kamenikovih obuval. Splo²ne karakteristike so karakteristike, ki do-lo£ajo na primer tip in velikost obuvala, individualne karakteristike pa ºeidenti irajo sovpadanje tudi spe i£nih malih po²kodb, ki so pomembne zadokon£no identika ijo. Problem, tudi nerazumevanja in slabe koordina ije,ki ni bila v na²ih rokah, je nastal, ker so lausanski forenziki opazili tudipo²kodbo, zarezo na Kamenikovem obuvalu, ki jo pa med individualnimikarakteristikami na sledeh obuval, ki so bile najdene na kraju zlo£ina, nibilo. V lausanskem poro£ilu je bilo zapisano, da so identi£nosti . . . mo£andokaz, £e je mogo£e razloºiti, zakaj na sledi ni vidna zareza, ki je bila naKamenikovem obuvalu. Slednje je seveda zlahka razloºiti, saj so bili Kame-nikovi ²portni opati zaseºeni ve£ kot mese dni po umoru. Zanimivo je tudi,da so ²portni opati znamke NIKE, model Air max, ki so bili zaseºeni priKameniku in kakr²nega tipa sledi so bile na kraju zlo£ina nesporne, sodili vvi²ji enovni razred in jih Slovenija ni uvozila prav veliko. Sled obuvala napapirju je bila le delna, zato je pri o eni velikosti obuvala treh razli£nih fo-renzi£nih laboratorijev pri²lo do razlik. Kar se ti£e sledi obuvala na papirju,je v resni i v Lausanni pri²lo do napake pri omenjeni o eni velikosti. Poznejeso v Wiesbadnu identi£nost te sledi potrdili s prakti£no najvi²jo stopnjo ver-jetnosti, to je z o eno 2 na ²eststopenjski lestvi i. Najvi²je, to je stoodstotnegotovosti med forenziki prakti£no ne uporabljamo. Celo pri analizah DNK,kjer verjetnost dosega vrednost 0,9999999999997 forenziki uporabljamo iz-raz, da je to verjetnost, ki meji na gotovost, in nikoli ne re£emo, da je nekajstoodstotno gotovo. Nepou£eni ljudje pa to razumejo po svoje in je mogo£enekaterim na²a verjetnost, ki meji na gotovost, elo manj verjetna kot nji-7J. Golja: Kriminalisti£notehni£ni dokaz (vabljeno predavanje) na posvetu Problemidokazovanja v zahtevnih kazenskih postopkih, Pravna fakulteta v Mariboru: Fakulteta zavarnostne vede, 2007, [zbornik uredila A. Dvor²ek in L. Selin²ek℄, ISBN 978-961-6230-62-9,str. 131138. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 149 Golja  2008/10/3  12:48  page 150  #11 Intervjuhova, da zadenejo na loteriji. V Wiesbadnu so zaradi dotrajanosti mav£negaodlitka splo²ne karakteristike (druge) sledi levega obuvala potrdili, pri o eniindividualnih karakteristik pa so se vzdrºali. Teºave najbrº nastopijo, kerposamezna poro£ila sodi²£e razume zelo formalno in jih je na tak na£in mo-go£e videti elo kot protislovna, namesto da bi na poro£ila nekdo pogledalodgovorno in elovito v kontekstu vseh informa ij. Tako je bil Kamenik prvi£obsojen, drugi£ opro²£en, tretji£, ko je verjetno pri£akoval, da bo ponovnoobsojen in se zato sploh ni zglasil na razglasitvi sodbe, je bil spet opro²£en.O nujnosti, da bi poro£ila, ki so jih pripravili razli£ni in²tituti, odgovornoprimerjali in prediskutirali v kontekstu vsega, sem govoril tudi na sodi²£u inupam, da je to elo kaj pripomoglo k temu, da se je sodi²£e odlo£ilo ²e za£etrto forenzi£no mnenje v primeru Kamenik, na katero, tokrat iz Anglije,£akamo ºe ve£ kot leto dni.Bi lahko povedali ²e kaj o danes najaktualnej²ih strokovnih vpra²anjih inizzivih forenzike? O novih tehnologijah, metodah?Razvoj gre preteºno v dveh smereh. Tehni£no gre forenzika predvsem v iden-tika ijo in individualiza ijo nanodel ev. Seveda pa se vsi doseºki in novetehnologije sku²ajo uporabiti tudi v forenziki pri razvoju instrumentalnihmetod in tehnik. Nanotehnologija vse bolj omogo£a identika ijo in prepo-znavanje individualnih karakteristik ºe v nanodel ih. Tu govorimo, kolikorse da preprosto povedati, o koli£inah velikosti ene milijonine grama, ki sprostim o£esom seveda sploh niso vidne. Tehni£no smo pri£a tudi hitremunapredku pri razvoju DNK preiskav. ƒeprav gre tako pri nanotehnologijikot pri DNK za prepoznavanje zelo majhnih del ev, so razlike seveda velike.Poenostavljeno bi lahko rekli, da pri nanotehnologiji govorimo o kemiji inanorganskem pri DNK pa o biologiji in organskem. Pri obojem pa gre zaprepoznavanje individualnosti, to je za prepoznavanje spe i£nih razlik, kikarakterizirajo posamezne osebe in predmete, do stopnje, ko niti dva nistave£ enaka. še danes je mogo£e v nekaterih primerih ne samo identi iratidolo£en tip npr. eksploziva, ampak elo to, odkod izvira. V mnogih forenzi£-nih laboratorijih, tako tudi v na²em, nimamo lastnega razvoja tehnologije,skrbno pa sledimo vsemu, kar je novega. Pri tem nam je v veliko pomo£ENFSI, ki nas sproti obve²£a o vsem novem in tudi posreduje ustrezno teh-nologijo. Po drugi strani je poleg novih tehnologij v forenziki vse bolj po-membno tudi povezovanje in izmenjava informa ij ter sodelovanje. Na² en-ter sodeluje v raznih projektih, kot je na primer Terrorism Response Proje t,ki ºeli povezati sodelovanje na podro£ju forenzike in izmenjave informa ij.150 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 151  #12 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskaveSlovenija je letos pristopila k tako imenovanemu Prümskemu sporazumu o£ezmejnem poli ijskem sodelovanju, v okviru katerega se bomo povezali vskupno bazo DNK prolov in prstnih odtisov kriminal ev. Do sedaj smoimeli na²o slovensko bazo DNK prolov povezano z nem²ko in avstrijskobazo, in na tem podro£ju je bilo nekaj res lepih rezultatov. V na²i bazije trenutno pribliºno 18 000 prolov in v primerih novih kriminalnih dejanjz vnosom DNK prola, pridobljenega iz sledi verjetnega storil a na krajuzlo£ina, pogosto odkrijemo, da gre za ºe obravnavanega kriminal a iz na²eali mogo£e iz baz sosednjih drºav. Pogosto se iz povezav, ki jih odkrijemoz DNK prolom, ustvarijo ideje, ki poveºejo in odkrijejo osebni prol in de-lovanje kriminal a, ki mogo£e prej sploh ²e ni bil osumljen. To povezovanjeje z odprtimi evropskimi mejami ²e pomembnej²e, saj je s prostim gibanjemkriminal ev lo£evanje na na ionalne baze DNK prolov povsem umetno.Kako bi za laike na kratko denirali, kaj sploh forenzika je?Najpreprostej²a deni ija pravi, da je forenzika uporaba znanosti v prav-nih zadevah. Npr. £e je kemi£na analiza mamila uporabljena v neki sodnizadevi na sodi²£u kot dokaz, je to forenzi£na kemija. Prakti£no vsaka zna-nost, argumenti vsake znanosti, uporabljeni na sodi²£u, pomenijo forenziko.Tako lahko govorimo o forenzi£ni psihologiji, forenzi£ni psihiatriji, forenzi£nimedi ini, in ne le o tehni£nih forenzi£nih znanostih. Nekateri izrazi so si- er bolj uveljavljeni od drugih in pogosto sli²imo mogo£e le za izvedenskomnenje psihologa, namesto izraza forenzi£na psihologija. Podobno je zmnogimi drugimi strokovno-znanstvenimi mnenji, £eprav pri vseh takih pri-merih lahko govorimo o forenzi£ni stroki. Forenzika je iskanje argumentovza pravdne in sodne potrebe s pomo£jo znanosti.Tudi beseda forenzika izhaja iz latinske besede forensis, kar pomeni  javnopredstaviti, prepri£ati sodni forum, tribunal o mo£i in neizpodbitnostiobjektivnega argumenta.Ja, to£no tako. Izraz pride iz rimskega foruma, ko je bilo treba v debatiprepri£ati tribunal o pravilnosti argumenta.Ampak tu nastopi zanimiv psiholo²ko-politi£ni aspekt forenzike. Eno jemo£ argumenta samega, drugo je sposobnost argument predstaviti. Ali jetudi v sodstvu podobno kot si er v potro²ni²tvu, da so PR, marketing inna£in, kako sta izdelek ali argument predstavljena, pogosto pomembnej²i odsamega izdelka oziroma argumenta? Je forma, embalaºa pomembnej²a odvsebine? Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 151 Golja  2008/10/3  12:48  page 152  #13 IntervjuJa, seveda, kako je argument na sodi²£u predstavljen, je zelo pomembno.Mi posku²amo z upo²tevanjem eti£nega kodeksa na²e strokovne argumentekar najbolj prepri£ljivo prikazati. Smo tudi v pro esu akredita ije standar-dov ISO 17025 za forenzi£ne laboratorije. Tudi si er imamo pre ej natan£nestandarde o znanjih, aparaturah in o postopkih tako pri zbiranju podatkovin zavarovanju sledi na krajih nesre£ ali kaznivih dejanj kot tudi pri predsta-vitvi dokazov na sodi²£ih. Slednje, torej prikazi na sodi²£ih, so lahko najteºjastvar, kajti odvetniki mogo£e nimajo razumevanja ali argumentov, da bi sespu²£ali v vsebino na²ih mnenj. Zato posku²ajo na razne na£ine strokov-njaka zmesti in z retori£nimi triki prikazati, kot da nima pojma. Odvetnikse v takih strokovnih zadevah pogosto obna²a kot irkusant  dr. Bu£ar birekel, da afne gun a. To je pogosta teºava, saj smo forenziki ponavadi ljudjebolj tehni£nega tipa in ne zna vsakdo dobro nastopati ali se v retori£nihigri ah odvetnikov elo zmede. V tujini je ºe dolgo veliko ve£ pozornostinamenjene temu, kako se argumente predstavi, pri nas pa se to ²ele dobroza£enja. Doslej smo se ukvarjali predvsem s stroko in veliko manj s tem, kakostrokovne argumente prepri£ljivo prikazati lai£ni javnosti. šal se prepogostozgodi, da so izjemno mo£ni strokovni argumenti prezrti na ra£un brezvse-binskih in agresivnih stali²£. Ne morem govoriti z imeni, a na primer, pred£asom sem sodeloval v postopku, v katerem je bil vpleten znan politik, ki jebil enako nesramen na sodi²£u, kot je si er. Na strokovne argumente se jeodzval skrajno agresivno in ºaljivo s komentarji, kot so: Pa saj to je osnov-no²olsko mnenje, pa saj ta nima pojma, ali sploh veste, kak²na je deni ijaeksploziva, itd. Tako nakladanje na sodi²£u bi sodni a morala prekiniti, paga ni. Jaz sem tega ºe navajen in sem na vse skupaj le pripomnil, da kar semnapisal, pa vseeno drºi. S tem sem omenjenega politika, ki je nastopal kotpri£a oz. kot obtoºeni, spravil ob ºiv e, ampak do obsodbe vendarle ni pri²lo.Na²e delo je teºko in zelo odgovorno, a ni vse v na²ih (forenzi£nih) rokah.Prenekateri si er dober forenzi£ni strokovnjak je zaradi formalnih vpra²anjin teºav pri nastopanju zapustil ta pokli . Za dobrega forenzika vsekakorni dovolj, da je le dober strokovnjak, na primer dober zik. Treba je velikove£. Svoje znanje in vedenje je treba znati tudi prepri£ljivo predstaviti. Inseveda je to zelo odgovorno delo, saj je zaradi strokovne napake lahko kdopo krivi i obtoºen ali kriv opro²£en. Zato smo forenziki pri svojem deluizjemno previdni.Ima torej tudi na sodi²£u dobro predstavljen slab argument lahko ve£jo teºood dobrega argumenta, ki je slabo predstavljen? Ali ni to vpra²anje nivoja152 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 153  #14 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavesodi²£? Oziroma sposobnosti sodnikov in porote, da bi znali razlo£evatimed populizmom, retori£no spretnostjo in globino argumentov? Smemopri£akovati, da bi na sodi²£ih logi£ni argumenti imeli ve£jo teºo od igralskihsposobnosti? Ali lahko spreten advokat, spreten retorik s ²ibkimi argumentianulira dobre argumente, ki so slabo predstavljeni?To je ²ibka to£ka na²ih sodi²£. Sodniki prepogosto slabo razumejo teºo stro-kovnega dokaza. Pravzaprav je to globalni problem. Dober sodnik, ki najbi se v zadevah pravilno odlo£al, bi moral biti izjemno sposoben in stro-kovno razgledan tudi na podro£jih forenzike in ne le pravno. V ENFSIpripravljamo programe usposabljanja sodnikov, da bi jim omogo£ili bolj²epoznavanje mo£i in tehnologije forenzi£nih argumentov. še sedaj imajo so-dniki in toºil i v£asih kako sre£anje na temo forenzike, a to je le kaka ura naleto in je veliko premalo. Na sodi²£ih velja tako imenovana prosta presojadokazov. Iz na²ega strokovnega stali²£a je pre ej nedopustno in nesmiselno,ko se strokovno nediskutabilna ugotovitev, da npr. prstni odtisi na krajuzlo£ina ustrezajo dolo£eni osebi, po na£elu proste presoje sodnika prepro-sto ignorira. Sodniki in pravniki nasploh se po mojem mnenju veliko preve£ukvarjajo sami s seboj oziroma s formo pravnih predpisov in veliko premalo zvsebino, ki naj bi jo pravo pomagalo delati po²teno. S strokovnega forenzi£-nega vidika je teºko sprejeti, da je npr. neopore£ni vzore biolo²kega DNK-ja, ki pripada dolo£enemu osebku, obravnavan kot nebistven zaradi drobnepro eduralne napake. Za nas forenzike je meja med soditi in vedeti zelojasna, sodnikom pa o£itno malo manj. Ko predavam o teh vpra²anjih, radnavedem primer, da je npr. ugotovitev o tem, da prstni odtisi na blagajniali pultu ustrezajo dolo£enemu osebku, strokovno forenzi£na ugotovitev, so-dna odlo£itev pa je lahko, da so odtisi na blagajni dokaz o storil u, saj tiprstni odtisi na blagajni nimajo kaj iskati. Prstni odtisi na pultu pa lahkodejansko pomenijo, da je doti£ni le kot stranka bil v oropani banki. To po-vezovanje v logi£no konsistenten sistem, ki dokaºe ali ovrºe neko hipotezo, jedelo sodnikov. V strokovno forenzi£ne ugotovitve o npr. pripadnosti prstnihodtisov pa se naj sodniki ne bi spu²£ali. Seveda pa v na²em delu tudi nivse £rno-belo. Na podlagi izku²enj in ekspertize si pa£ forenziki ustvarjamomnenja, ki jih povezujemo v strokovna stali²£a razli£nih gotovosti. Slednjapa posku²amo predstaviti tako, da so £im bolj razumljiva tudi laiku, to jeporoti ali sodnikom, katerih strokovna znanja s podro£ja forenzike so zeloomejena. Tako je potrebno tudi ugotovitve zapletenih in dolgotrajnih pre-iskav povzeti v preprosta in razumljiva stali²£a. Delo dobrega forenzika je Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 153 Golja  2008/10/3  12:48  page 154  #15 Intervjupodobno delu znanstvenika v tem, da preiskava pogosto pripelje do spozna-nja, intuitivnega uvida, ki ga potem £im bolj jasno formaliziramo. Kot biz matematiko formul dokazovali neko trditev, tako forenzik pripravi jasnozgodbo, spleteno iz dejstev.Pomembneje je, koga vam bo uspelo prepri£ati, kot pa s kak²nimi ar-gumenti. Seveda druga£e ne more biti, a to je vpra²anje razgledanosti,sposobnosti in nivoja sodi²£. Kot ste omenili, tudi v potro²ni²tvu velja, darazgledanega in sposobnega kup a ne boste prepri£ali z lepore£jem neumnereklame . . . Mi ugotavljamo, da odvetniki veliko bolje poznajo forenzikokot sodniki in toºil i in zato v interesu stranke, ki jo zagovarjajo, znajo na²eargumente v£asih tako obrniti, da je pred sodniki videti, kot da so na²e ugo-tovitve izpodbili, pa £eprav je njihovo izvajanje s strokovnega stali²£a lahkoprav sme²no. Zato se forenziki pogosto jezimo. Druga zgodba so tako ime-novane pro esne napake. Na primer, lahko je neka sled, najdena na krajunesre£e ali zlo£ina, ²e tako jasna, pa zaradi kopi e urgentnosti v tistih trenut-kih ni bila dana v zapisnik in zato potem nima nobene pro esne vrednosti.Za normalno £love²ko pamet je to res teºko razumljivo. Lahko bodo vsi,vklju£no s toºil em, sodnikom in odvetnikom, vedeli, da je storile pravi, a£e ni formalno neopore£nih dokazov, ne bo obsodbe. To se zgodi npr. primanj izku²enih poli istih, izveden ih, ko storil a takoj primejo in vse pri-zna. Oziroma skoraj nima kaj priznati, ker se zdi vse o£itno. In tedaj v£asihpozabijo, da je treba sledi in dokaze zavarovati, dati v zapisnik, formalizi-rati . . . Pozneje beseda na sodi²£u ni£ ve£ ne zaleºe, medtem ko odvetniktakoj pou£i storil a, naj vse zanika, naj bo tiho . . . Tako nastanejo primeri,ko je si er vse jasno, a formalno ni dokazov. Taki primeri, ki temeljijo le na(pozneje zanikanih) priznanjih in pri£anjih o£ivid ev, se ponavadi kon£ajobrez obsodbe. Kot da je za obsodbo potreben forenzi£en dokaz.Forenzi£en dokaz kot sinonim za objektiven dokaz?Tako je. To je res edini objektivni dokaz, mora pa biti zagotovoljena visokastopnja kakovosti skupaj z eti£nim ravnanjem neodvisnih strokovnjakov.Da, forenzi£ni dokaz je objektiven. Toda, kot sva rekla prej, z manipula- ijo in na podlagi slabega razumevanja je mogo£e dokaz ovre£i, spremeniti,falsi irati. Ali ne gre v kon£ni fazi kljub vsemu za osebno odlo£itev? Zaodgovorno odlo£itev, za odgovornost sodnika, ki bo svoje delo dovolj od-govorno sprejel, da bo lahko razumel argumente in se potem odgovornoodlo£al?154 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 155  #16 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskaveTo£no tako je. Sodnik je tisti, ki se odlo£a, ali bo sprejel neki argument(kot objektiven) ali ne, in zato nosi veliko odgovornost. V sodstvu imajona£elo, da je bolje krivega oprostiti kot nedolºnega obsoditi8. A verjamem,da sodniku ni lahko oprostiti nekoga, za katerega z veliko gotovostjo sumi,da je kriv . . . To so teºke odlo£itve. Sodniki imajo teºko delo in sedaj, kopripravljajo stavko, se jaz strinjam, da dobri sodniki zasluºijo vi²je pla£e.Zgodi se, da je isti argument v£asih uporabljen v prid oprostitve in spetdrugi£ v prid obsodbe. Najbrº ne gre druga£e, kot da se ljudje smemo inmoramo (odgovorno) odlo£ati in je ºelja po popolni objektiviza iji dokazoviluzija, ki vodi v trivializa ijo formalnih pro edur, ki nikomur ne koristijo.Smo kot druºba sposobni sprejeti odgovornosti in pristojnosti za v£asih tudinapa£ne odlo£itve? Prej ste rekli, da so redke obsodbe na podlagi priznanjin o£ivid ev in da se po pravilu zahteva objektivne (forenzi£ne) dokaze. Alito ne pomeni, da se torej (tudi) za sodno odlo£itev zahteva in pri£akuje boljformalna kot osebna odgovornost? So s tem sodi²£a, sodniki, sodni izveden iin elotno sodstvo bolj po²teni ali le manj osebno odgovorni (£etudi morebitiza eno manj²e po²tenosti)?Ja, isti argumenti so v£asih povsem druga£e uporabljeni in ne gre brez oseb-nih odlo£itev in osebne odgovornosti. Po drugi strani pa so formalne inpro eduralne zadeve tiste, na katerih padajo odlo£itve oziroma omogo£ajo,da se izognemo teºkim in odgovornim osebnim odlo£itvam. To so zelo teºkamoralna in druºbena vpra²anja. Teºko, zelo teºko je biti dober sodnik. Tozahteva izjemne sposobnosti, znanje, razumevanje, odgovornost . . . , v£asihso rekli modrost. Dobro poznavanje prava je potreben, ne pa zadosten pogojza dobrega sodnika . . . Ni mogo£e vsega formalizirati . . .Spe ialisti za marketing se znajo prilagoditi nivoju potro²nika. Bolj ko jeta sposoben in razgledan, manj je pomembna marketin²ka embalaºa in boljje pomembna vsebina. Je torej problem, o katerem govoriva, tudi problem8Na£elo kriminalnega prava je znano kot Bla kstonovo razmerje: Bolje oprostiti desetkrivih kot obsoditi enega nedolºnega. V originalu: Better that ten guilty persons es ape,than that one inno ent suer. Formuliral ga je leta 1769 angle²ki pravnik William Bla k-stone v svoji knjigi Komentarji zakonov Anglije (Commentaries on the Laws of England).Na£elo ima izvor v rimskem pravu in se pojavlja ºe tudi prej, na primer v Bibliji (Mojze-sova knjiga 18:2332):26 GOSPOD je rekel: ƒe najdem v Sódomi petdeset pravi£nih med me²£ani, bom priza-nesel vsemu kraju zaradi njih.32 Abraham je rekel: Naj se Gospod ne jezi, £e spregovorim ²e tokrat: Mogo£e se jihtam najde deset. Odgovoril je: Ne bom jih uni£il zaradi teh desetih. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 155 Golja  2008/10/3  12:48  page 156  #17 Intervjunivoja sodi²£ in, kot bi rekel prof. Ku²£er, odvisen od upo²tevanja prin ipazdrave pameti, ki bi moral biti tako v sodstvu kot v druºbi bolj upo²tevan?Ja, jaz menim, da prin ipa zdrave pameti tako v druºbi nasploh kot v sodstvuprimanjkuje.Podobno je v vzgoji in ²olstvu. Eno je imeti dober argument in veliko znanja,drugo pa biti sposoben u£en e, dijake, ²tudente nagovoriti, jih prepri£ati,da argumente in znanje sploh sli²ijo. Eno je kot u£itelj znati dovolj zike,matematike, . . . nekaj povsem drugega pa je narediti to znanje zanimivo,privla£no. Tudi u£itelj je razpet med strokovne izzive in lepoto argumentovznanja na eni strani in klovnja²tvo, s katerim za£asno ugaja, na drugi. Ali negre za podobno razmejitev strokovnih in (£e jih tako imenujeva) retori£nihspretnosti?Ja, to je zelo podobno. Zelo dobro se spomnim, da sem ºe kot u£ene inpozneje kot ²tudent opazil, kako veliko so nekateri profesorji znali, a nasmogo£e sploh niso mogli tako navdu²iti ali toliko nau£iti kot nekateri drugi,katerih znanje je bilo lahko ²ibkej²e. To so zelo kompleksne osebne karakte-ristike. To ni le vpra²anje neke pedagogike ali ne£esa, kar se zlahka nau£i².To so osebne danosti in nadarjenosti, ki jih nima vsakdo. Jaz sam se dobrospomnim, da £eprav se po znanju nisem mogel primerjati z nekaterimi, sempri in²truiranju nekako vedno znal stvari preprosto razloºiti. Ta nadarjenostmi je zagotovo pri²la prav tudi v forenziki.Ali ne obstaja med ljudmi v zadevah pravnega dokazovanja neko veliko in£udno protislovje? Po eni strani ljudje od drºave in znanosti naivno pri-£akujejo strokovno mnenje, objektivno resni o, znanstveni dokaz tudi zanajkompleksnej²e dileme druºbenih in osebnih odnosov, po drugi strani sopa pripravljeni pravno formalno izpodbijati najo£itnej²o resni o, ki ni njimv prid?Ja, to je pre ej ºalostno. Kot da ljudje preve£ gledajo skomer ializiranenadaljevanke, kjer je ºivljenje zelo enostavno. Po eni strani ljudje ºelijostrokovno mnenje za vsako malenkost, po drugi strani pa, ko je v njiho-vem interesu, ne upo²tevajo nobenega strokovnega mnenja in se lotijo tudiizpodbijanja sodno izre£enih kazni za, na primer, o£itne prometne prekr²ke.To je £love²ka narava, da vedno i²£emo osebne koristi.V popularnih prikazih forenzike je vedno moºno dokazati in ugotoviti vse,²e posebej v primerih tako imenovanih CSI (Crime-S ene investigation). Fo-renzika je postala zelo popularna tako na televiziji, lmu in v ra£unalni²kih156 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 157  #18 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskaveigrah. Forenziki ºe dolgo ugotavljamo, da ima to zelo slab vpliv na ljudi inºal tudi na toºil e in sodnike, ki si stvari zelo poenostavljeno predstavljajoin dejansko verjamejo, da lahko forenzik dela £udeºe. Tako si preve£ ljudiforenziko predstavlja kot nekak²no £udeºno vedo, ki v nekaj korakih prestopiprag do objektivne in formalne resni e. Seveda ni tako. Raziskave in ugoto-vitve so pogosto kompleksne, zahtevajo veliko znanja in kon£no odgovorne(sodni²ke) odlo£itve. Vedno je na kon u £lovek ali senat nekaj ljudi, ki seodlo£i. Formalnih kljuki krivde ali nedolºnosti ni, tega bi se morali ljudjezavedati. Gre le za bolj ali manj odgovorne pribliºke resni i. In v£asih sesodniki seveda odlo£ijo tudi napa£no.Saj se ni mogo£e odgovorno odlo£ati brez zavedanja, da lahko storimo tudinapako?Seveda. Tako je, in odnos do napak pove veliko tudi o resnosti in strokovno-sti. Treba je seveda lo£iti med ²lamparijo in normalnimi napakami. V resnihstrokovnih forenzi£nih krogih je v kompleksnih pro esih preiskav priznana inodkrita napaka pogosto dokaz velike strokovnosti, globokega in subtilnegarazumevanja in eti£nosti. V popforenziki televizijskih kriminalk in ºal po-gosto tudi med pravniki je ilj idealizirana forenzi£na pravlji a, ki ne poznadilem in iz ²e tako normalnih strokovnih dilem proizvede klovnja²ke dokazeo nestrokovnosti.Pred leti, ²e v £asu so ializma, je bilo va²e forenzi£no delo glede na delovanjesodi²£ najbrº druga£no?V letih med 1970 in 1980 sem bil v forenzi£nem laboratoriju skoraj edini zuniverzitetno izobrazbo in na svoj na£in je v tistih letih drºava veliko dalana svojo lastnino. Takoj, ko se je zgodila nesre£a ali kaj nepredvidenega vtovarni, v rudniku, v elektrarni, v nuklearki so pokli ali mene, da bi pomagalugotoviti vzroke za nesre£o. To delo je bilo izjemno zanimivo in ogromno semse nau£il. Ko je pri²lo do raznih nesre£, sem bil v ºelezarni Jeseni e, valjarniJavornik, v termoelektrarni ’o²tanj, v nuklearki Kr²ko in ²e marsikje. Vteh primerih sem se dodobra spoznal s tehnologijo, z na£inom dela, in vglavnem smo vedno pri²li do vzrokov nesre£e. Najpogosteje so bili vzrokinesre£ £isto mehanski, predvsem utrujenost in iztro²enost materialov, sajsmo v£asih ugotovili, da je bilo £udno, da do nesre£e ni pri²lo ºe mnogoprej. V primeru, ki se ga dobro spomnim, smo na primer ugotovili, da biremont moral biti ºe pet let pred nesre£o. Le nekajkrat je ²lo za direktnomalomarnost delav a, nikoli pa ne za sabotaºo  to je takratno oblast najbrº Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 157 Golja  2008/10/3  12:48  page 158  #19 Intervjunajbolj skrbelo.Forenzika se v sodstvu uporablja le pri resnih zadevah. Ko ukradejo kolo,poli ija ne i²£e pomo£i forenzi£nih laboratorijev, tudi na prstne odtise priodvrºenih tabli ah ukradenih avtomobilov nih£e ne pomisli. ƒe se forenzikauporablja zato, da se dolo£i kriv a kaznivega dejanja, ki dobi potem upravi-£eno kazen, in £e naj bi kazen bila tudi vzgojna, ali se forenzika ne uporabljaprepozno?Kazen naj bi menda bila tudi vzgojna. Ne vem, nekateri pravijo, da je kazenpredvsem groºnja drugim, da se ne bi obna²ali podobno. Drugi spet vidijoglavni namen kazni v tem, da so kriminal i za zapahi in zato ne ogroºajodruºbe.Med ljudmi pogosto prevladuje mnenje, da bi se drobni kriminal s politi£novoljo in posredno z dovolj sredstvi dalo prepre£iti.Ne vem, ali gre tu za politi£no voljo. Ve£ sredstev in ve£ poli ije bi najbrºpomagalo. A drºava se pa£ obna²a po prin ipu ost-benet, saj bi prei-skava ukradenega kolesa zahtevala veliko ve£ sredstev, kot je kolo vredno. Ovzgojnem faktorju pa seveda tu teºko razmi²ljamo.Najbrº ne poznamo podrobnosti, a znano je, da je ºupan mesta New YorkGiuliani9 z mo£no politi£no voljo, z doslednostjo in energi£no ekipo v nekajletih v New Yorku menda prepolovil kriminal. Seveda so mnenja razli£na, av eni Giulianijevega prin ipa zero-toleran e niso le ukradena kolesa, ampakdruºbenovzgojne posledi e, in po mnenju mnogih je izbolj²ana varnost vNew Yorku vsaj deseterno popla£ala Giulianijeve stro²ke zaradi preganjanjatudi najmanj²ega kriminala.Sploh £e spregovorim kot drºavljan in ne kot forenzik, ki dela v poli iji, sepopolnoma strinjam, da posve£amo premajhno vlogo prepre£evanju majhnihkaznivih dejanj, ki vznemirjajo najve£ ljudi. Tudi meni so z vrta ukradlikosilni o, in s takimi drobnimi krajami, kot so kolesa, torbi e, drobni vlomi,9Rudolph William Louis Giuliani (1944), ºupan mesta New York v letih 19942001,znan po prin ipu ni£ne toleran e (zero-toleran e), ki je temeljila na njegovem prepri£a-nju, da druºbeni nered vodi v kriminal. V letih njegovega ºupanovanja, se je splo²nakriminaliteta v mestu zniºala za skoraj 50 % na najniºjo stopnjo v novej²i zgodovini NewYorka. Umori v mestu pa so se zniºali elo za 70 %. Njegova brezkompromisna doslednostje pripeljala elo do sporov v Zdruºenih narodih, saj so nekateri tuji diplomati, navajeni²irokih privilegijev, v New Yorku za²li v hude teºave z lokalno poli ijo zaradi nepravilnegaparkiranja diplomatskih limuzin.158 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 159  #20 Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskavese poli ija skorajda sploh ne ukvarja. Ni res, da so pomembni le umori inorganiziran kriminal. Na posvetih, ko je za to priloºnost, vedno izpostavljamsvoje mnenje, da bi morali drobnemu kriminalu posvetiti ve£jo pozornost.Ali se moril i in organizirani kriminal i dejansko ne razvijejo iz tatov?Tudi to mogo£e drºi. Ne vem. Nekateri pravijo, da je zapor (Dob) ²ola zakriminal e. Teºko bi komentiral, kak²en je vpliv zapora na kriminal e.ƒe pomislim na ²olsko vzgojno paralelo, se mi zdi, da mora tudi u£itelj v ²oli,£e naj sploh ima kak²no moºnost za uspeh, primerno ukrepati na za£etku ob²e drobnih poskusih nespo²tovanja ²olskih pravil. Ob prvih tipanjih u£en ev,do kod je dovoljeno, ob prvih plonkanjih, sleparijah, izsiljevanjih. Pozneje,£e in ko se mladostnik razvije v teºaka, bo tudi kli anje ravnatelja napomo£ neuspe²no.Po mojem mnenju u£itelji v glavnem tako tudi reagirajo, a ºal pogostoneuspe²no, ker je tudi to ºe prepozno, saj je najpomembnej²e doma£e okolje.Tam se vse za£ne. Pri odnosu, ki ga vzpostavijo star²i. (Nasmeh.) Kotpravijo, je pa nekaj tudi v genih. V£asih so rekli, da je po Lombrosovi10teoriji vse odvisno od genov. Pozneje je obveljalo, da to sploh ni res in daje vse odvisno od vzgoje. Danes se spet vra£amo k ve£jemu pripisovanjupomena genetski predispozi iji za kriminal, ki naj bi bila zapisana v DNK.Vsekakor Lombrosova teorija o genetski determiniranosti odvezuje odgovor-nosti star²e, vzgojitelje, drºavo in elo kriminal e, kar je vsaj priro£na, £eºe ne pravilna teorija. Kako pomembni se vam zdijo prin ip zdrave pameti,naravoslovje in eksaktni predmeti, kot sta zika ter matematika, v vzgoji inizobraºevanju?Zelo zelo pomembni. šal sem mnenja, da zdaj²nji ²olski sistem veliko pre-malo gradi na prin ipu zdrave pameti in veliko preve£ na nekem spe i£nemu£enju. Bojim se elo, da ²olski sistem promovira tiste, ki se znajo u£iti nakak poseben na£in, nimajo pa nujno zdrave pameti, in da zanemarja druge,ki imajo ²ir²e sposobnosti in interese. To so seveda samo moji ob£utki, a£e pomislim na ²tevilne gimnazij e iz mojih £asov, ki so ve£inoma pri²li douspe²nih in zelo raznolikih pokli ev od vrhunskih umetnikov do izjemnihzdravnikov, bi danes le redkim sploh uspelo priti do ²tudija na univerzi. Podrugi strani pa danes na univerzah ²tudirajo mnogi s pre ej manj zdrave10Cesare Lombroso (18361909), italijanski kriminalist, profesor medi inskega prava inpsihiatrije je v bistvu verjel, da je kriminaliteta genetsko pogojena. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 159 Golja  2008/10/3  12:48  page 160  #21 Intervjupameti. Zato se mi predvsem zdrava pamet zdi izjemno pomembna. Kotsva rekla prej, je v vseh pokli ih, tudi v pravosodju, kjer se ljudje togo drºijobranja zakonov in formalnih interpreta ij, zdrava pamet v velikem pomanj-kanju. Vzgoja k zdravi pameti pa se za£ne doma in v ²oli.Kak²na misel za kone ?(Nasmeh.) Kaj pa vem, naj se ²tudentje nikar ne zgledujejo po meni in najhitro diplomirajo.Ampak, po va²em zgledu, naj si zgodaj ustvarijo druºino, pa najbrº ne bosteodsvetovali?Ne, nikakor. Zgodaj imeti druºino je zelo lepa izku²nja.Gospod Golja, lepa hvala za pogovor. Pogovor je pripravil Damjan KobalVESTI USPEHI IN PRIZNANJA NA’IMTEKMOVALCEM IN VODJEM EKIPV sen i priprav ²portnikov na olimpijado v Pekingu je potekala od 10.do 22. julija v ’paniji (Madrid) 49. mednarodna matemati£na olimpijada(MMO). Na tekmovanju srednje²ol ev v znanju matematike se je letos po-merilo 535 dijakov iz 97 drºav sveta. Na²i tekmoval i so dosegli lepe uspehe,saj sta Jure Vogrin (Gimnazija Beºigrad, Ljubljana) in Primoº Pu²nik (Gi-mnazija Lava, Celje) prejela bronasti medalji, Aljaº Zalar (Gimnazija Be-ºigrad, Ljubljana) pa pohvalo. Slovensko ekipo so poleg navedenih dijakovsestavljali ²e Matej Aleksandrov, Gregor Grasselli in Anja Komatar (vsi zGimnazije Beºigrad, Ljubljana). Ekipo sta v imenu Dru²tva matematikovzikov in astronomov Slovenije spremljala dr. Gregor Dolinar in Irena Maj- en.Slovenija je na MMO dobila ²e eno veliko priznanje  predstavniki 97 dr-ºav udeleºenk so izmed 3 kandidatov iz ZDA, Rusije in Slovenije v svetovalniodbor MMO izvolili dr. Gregorja Dolinarja z Univerze v Ljubljani.Potrditev velikega ugleda Slovenije je tudi odlo£itev svetovalnega od-bora MMO, da za svojega tehni£nega svetoval a izbere dr. Matjaºa šeljkaz Univerze v Ljubljani.160 Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 Golja  2008/10/3  12:48  page 161  #22 Uspehi in priznanja našim tekmovalcem in vodjem ekipNa 39. zikalni olimpijadi, ki je potekala od 20. do 29. julija v Vie-tnamu (Hanoi) je Matjaº Payrits (Gimnazija Beºigrad, Ljubljana) osvojilsrebrno medaljo, Miha ƒan£ula in David Kralji£ (oba Gimnazija Beºigrad,Ljubljana) in Jure Sen£ar (Gimnazija Fran a Miklo²i£a, Ljutomer) so pre-jeli branasto medaljo, Ale² Srna (Gimnazija Kranj) pa pohvalo. Ekipo stavodila mag. Ciril Dominko in dr. Jure Baj .Priprave na olimpijado so bile uspe²ne, zato se vsem, ki so pri tem so-delovali, zahvaljujemo. Vsem tekmoval em £estitamo, Matjaºu in Gregorjupa ºelimo uspe²no delo v organih MMO. Nada RazpetSTROKOVNO SREƒANJE IN 60. OBƒNI ZBORDMFA SLOVENIJEDru²tvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije vabi k sodelovanjuna strokovnem sre£anju in 60. ob£nem zboru, ki bosta 7. in 8. novembra 2008v Termah Olimia v Pod£etrtku. Vodilna tema bo Preverjanje znanja. Vse,ki ºelijo predstaviti svoje izku²nje in novosti s podro£ja preverjanja znanja,prosimo, da nam to £im prej sporo£ijo (podrobna navodila za prispevke soobjavljena v 3. ²tevilki leto²njega Obzornika za matematiko in ziko).Ob leto²njem ob£nem zboru bomo pripravili tudi 6. konferen o zikovv osnovnih raziskavah in 2. slovensko sre£anje matematikov raziskoval ev.Podrobnej²i program sre£anj bomo objavili na spletni strani dru²tva.Na strokovno sre£anje se je treba prijaviti do 15. oktobra 2008 oziromado zapolnitve mest (najve£ 150 udeleºen ev), in si er izklju£no po informa- ijskem streºniku (vodena bo eviden a prijav in upo²tevana omejitev ²tevilaudeleºen ev). Vljudno prosimo, da se prijavite po poprej²njem soglasju vod-stva ²ole. Ra£un za pla£ilo kotiza ije (70 EUR na udeleºen a, £lani DMFASlovenije imajo 50 % popusta) bomo poslali takoj po kon£anem roku zaprijavo.Hotelske storitve si morajo udeleºen i seminarja rezervirati sami naj-kasneje do 24. oktobra 2008 (rezerva ijeterme-olimia. om). Pri prijavinavedite termin (datum prihoda in odhoda) in ºeleno storitev (polpenzion,polni penzion) ter zapi²ite, da se prijavljate v okviru DMFA Slovenije, sajimajo udeleºen i strokovnega sre£anja poseben popust. Za udeleºen e sov hotelu pripravili posebne ugodnosti za druºine in tiste, ki bodo preno£ilitudi v nedeljo. Vsi obroki so samopostreºni, udeleºen i pa imajo na voljobrezpla£no parkiranje v garaºni hi²i pod hotelom. Podrobnej²e informa ijelahko dobite na spletni strani DMFA. Obzornik mat. fiz. 55 (2008) 4 XV OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, JULIJ 2008 Letnik 55, številka 4 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Nekaj primerov dvojnega štetja, Sandi Klavžar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–128 Energetika dogajanj v ozračju – II. del: Energijske pretvorbe, Jože Rakovec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129–138 Intervju Gospod Janez Golja, vodja Centra za forenzične preiskave, pripravil Damjan Kobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–160 Nove knjige Pismo uredništvu o Brysonovi knjigi, Janez Strnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138–139 Vesti Novi člani društva v letu 2007, Vladimir Bensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Uspehi in priznanja našim tekmovalcem in vodjem ekip, Nada Razpet . . 160–XV Strokovno srečanje in 60. občni zbor DMFA Slovenije . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV CONTENTS Articles Pages Some examples of double counting, Sandi Klavžar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–128 Energetics of atmospheric processes – Part II.: Energy transforms, Jože Rakovec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129–138 Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–160 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138–139 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–XV Na naslovnici: Ozračje poganjajo v gibanje na planetarnih razsežnostih pred- vsem razlike v ogrevanju in ohlajanju posameznih predelov na Zemlji. Posledica tega so med drugim tudi v tropskih predelih prevladujoča dviganja zraka (modri in vijolični toni) in v subtropih prevladujoča spuščanja zraka (rumeni in oranžni toni). Glej članek na strani 129.