i i “Domajnko-spirala” — 2010/6/16 — 12:47 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 17 (1989/1990) Številka 3 Strani 142–146 Vilko Domajnko: ARHIMEDOVA SPIRALA, 1. del Ključne besede: matematika, Arhimed. Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/982-Domajnko-Arhimed.pdf c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. 142 ARHIMEDOVA SPIRALA, 1. del Stari Grk Arhimed (2871 - 212 pr.n .št.) velja za najpomembnejšega antičnega naravoslovca. Bil pa je tud i izredno plodovit pisec . Napisal je kar okrog petnajst knjig ali daljših razprav s področja matematike in fizike. Večina izmed njegovih del je v takšni ali pa drugačni obliki dostopna še danes , za nekaterimi pa je žal že izgubljena sleherna sled . Arhimedova knjiga O spiralah je med njegovimi sodobniki menda žela največ slave in občudovanja. Vendar pa naj bi bila to ena izmed najmanj branih Arhimedovih knjig , kajti stopnja zahtevnosti je bila za ogromno večino bralcev le previsoka. Pa čeprav nejasnost v razlagi in zapletenost pri razpostavljanju misli nikdar nista bili "odlitki" Arhimedovega pisanja. Torej - bodimo "pristni" Arhimedovi občudovalci, spoznajmo ga, do koder ni prezahteven. Knjiga se začne z Arhimedovim nagovorom Dositeju. "Arhimedov pozdrav Dositeju" Že večkrat si me prosil za dokaze izrekov, ki sem jih nekoč poslal Kononu in katerih večji del si si lahko tudi ti ogledal v knjigi , ki ti jo je dal Heraklej. V tej knjigi , ki ti jo pošiljam sedaj, pa so zbrani prav vsi omenjeni izreki, skupaj z dokazi. In naj te nikar ne preseneča, kako da sem potreboval toliko časa, preden sem naposled uspel objaviti tud i te dokaze. Želel sem jih pač najprej dodobra preveriti v pogovoru z ljudmi, ki se ukvarjajo z matematiko in ki jim skrbnost pri tem ni v nadlego. Resnično , koliko izrekov, ki so se mi spočetka zdeli celo komajda verjetni , sem uspel izdelati na tak način! žal pa je Konon umrl prej, preden bi sam izdelal teorijo, ki jo je vzpodbudil. Zagotovo bi že njemu samemu uspelo odkriti in objaviti vse te reči in mislim celo, da bi obogatil geometrijo s še kakšnimi novimi izreki, ki jih ni najti v tej moji knjigi. Kajti njegove sposobnosti v matematiki so bile sijajne , pa tudi pri delu je bil izjemno marlj iv. In čeprav je minilo že mnogo let od njegove smrti , mi še zmeraj ni uspelo opaziti . da bi se kdorkoli ukvarjal s problemi , ki nam jih je zapust il. zatorej ti pošiljam na vpogled svoj prispevek ". Trojica Arhimed , Dositej in Konon zagotovo ni zgolj po naključju prisotna na uvodni strani te znamenite knjige . S Kononom s Samosa se je Arhimed seznanil v Aleksandr iji , kjer sta skupaj študirala matematiko. Do konca življenja sta ostala tesna prijatelja, čeprav sta kasneje živela daleč narazen, in drug drugemu sta pomen ita veliko oporo pri snovanju svojih teorij v geometrij i. Dositej pa je bil Kononov učenec in z njim si je Arhimed dopisoval kasneje, ko je Konon že umr l. Poglejmo, kako Arhimed kasneje v knjigi definira spiralo : zamislimo si, da se v ravnini nek poltrak vrti okrog svojega izhodišča, pritrjenega v izbrani točki. Ves čas se naj vrti s konstantno kotno hitrostjo O~ Iz izhodišča pa naj potuje po poltraku točka , tudi ta ves čas s konstantno hitrostjo v v smer i poltraka. Spirala je sled, ki jo zariše ta točka na svoji pot i. Seveda, kasneje se je te krivulje opr ijelo ime Arhimedova spirala. Kar pa Arhimedu zagotovo ne bi bilo pogodu, saj je kot njenega odkritelja ves čas vztrajno omenjal prijatelja Konona. Arhimedovo spiralo konstruiramo tako . da najprej narišemo koncentrične kroge z enakomerno naraščajočimi polmeri, hkrati pa kar na isto risbo tudi mnogokotn ike nekega izbranega kota (recimo 45°). ki predstavljajo lego vrtečega se poltraka ob 143 konstantnih časovnih intervalih; nato s pikam i označimo presečišča slehernega izmed poltrakov s pripadajočo krožnico. Naposled označene točke le še elegantno spojimo s krivuljo . Zapleteno? Ah, ne! Slika 1 Slika 1 + 1/3. Bralcem seveda toplo priporočamo , naj takšnega modela Arhimedove spirale ne jemljejo niti povsem zares niti ne povsem za šalo. 144 Ne vem, ali se tudi bralcu zdi ta krivulja zapletena in nenavadna. Sam moram reči, da se mi je v srednješolskih letih izmed vseh krivulj v knjižici z zbranimi grafi elementarnih funkci j zdela prav Arhimedava spirala morda najbolj nenavadna . Tuja in čisto drugačna od vseh, kar smo jih takrat spoznali pri pouku matematike. Neujeml j iva, nespoznavna. Morda bi jo imel celo za'eno najpopolnejših krivulj, če me ne bi nenehno spominjala na polža in na njegovo hiško . Hm, kako sem se nasmejal kasneje ob spominu na to miselno povezavo , ko sem spoznal , da je polževa hiša pravzaprav mnogo bliže logaritemski kakor pa Arhimedavi spirali. I Slika 2 Nekateri polži imajo narejene svoje hišice v ob liki logaritemske spirale . Na sliki je hišica amonita, že davno izumrle živali iz mezozoika. Da bi tudi vam ta navihana krivulja ne burila preveč domišljije, morda ne bo odveč , če pokažem, da je prav Arhimedava spirala ena izmed najbolj normalnih in običajnih krivulj . Potrebno si jo je ogledati pač tudi z drugega zornega kota. V definiciji spirale izvemo , da sta kot zasuka poltraka (imenujma ga tP) , po katerem potuje točka, in pa oddaljenost te točke (imenujma jo r) od izhodišča v linearn i zvezi. Seveda, saj točka v enakih časovnih intervalih, torej pri enako velikih zaporednih kotnih zasukih , oprav i zmeraj enako dolgo pot po poltraku. Torej r = a · tP pri čemer je : tP - kot zasuka r - oddaljenost točke od izhodišča a - koef icient v razmerju (Če je a" kotna hitrost vrtenja polt raka okrog i zhodi šča , v pa hitrost točke na poltraku, je a = vto: In enačbo Arhimedove spirale sedaj takole preberem - če se spremeni za enoto velikosti , se r spremeni za a enot dolžine .) Gornja enačba seveda prav sumljivo spom inja na nam vsem dobro poznano enačbo premice y = k-x kjer je pač natanko ista pesem - ob enakih spremembah spremenljivke x se tud i spremenljivka y spremeni za zmeraj enako vrednost. Pri tem k odigra vlogo koeficienta v sorazmerju (če se x spremeni za enoto , se y spremeni za k enot), 145 Tako. Sedaj bi bilo pa nemar a dob ro razčist iti z vpraša njem - le kako torej, da imata enačbi, ki vsaka zase opisujeta pravzaprav povsem enako vrsto odvisnosti med dvema spreme nljivkama (linearna odvisnost je očitna tako v r =a.