Complete regular dessins and skew-morphisms of cyclic groups

angleški

2020

letnik 18, številka 2

biciklična grupa   poševni morfizem   pravilna risba   vložitev grafa

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Risba je 2-celična vložitev povezanega 2-barvnega dvodelnega grafa na orientabilno sklenjeno ploskev. Risba je pravilna, če njena grupa avtomorfizmov, ki ohranjajo orientacijo in barve, deluje pravilno na povezavah. V tem članku preučujemo pravilne risbe, katerih osnovni graf je polni dvodelni graf ?$K_{m,n}$?, imenovane ?$(m,n)$?-polne pravilne risbe. Na ta način vzpostavimo precej presenetljivo korespondenco med ?$(m,n)$?-polnimi pravilnimi risbami in pari poševnih morfizmov cikličnih grup. Poševni morfizem končne grupe ?$A$? je bijekcija ?$\varphi\colon A\to A$?, ki zadošča identiteti ?$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi^{\pi(x)}(y)$? za neko funkcijo ?$\pi\colon A\to\mathbb{Z}$? in fiksira nevtralni element grupe ?$A$?. Dokažemo, da vsaka ?$(m,n)$?-polna pravilna risba ?$\mathcal{D}$? določa par recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup ?$\mathbb{Z}_n$? in ?$\mathbb{Z}_m$?. Velja tudi obratno, ?$\mathcal{D}$? lahko rekonstruiramo iz takšnega recipročnega para. Na podlagi tega dokažemo, da so polne pravilne risbe, eksaktne biciklične grupe z izbranim parom generatorjev, ter pari recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup vsi v povratno enolični korespondenci. Nazadnje pa uporabimo naš glavni rezultat še za določitev vseh parov celih števil ?$m$? in ?$n$?, za katere obstaja, do zamenjave barv natančno, samo en izomorfnostni razred $(m,n)$-polnih regularnih risb. Dokažemo, da se to zgodi natanko takrat, ko je vsaka grupa, izrazljiva kot produkt cikličnih grup reda ?$m$? in ?$n$?, abelska, kar se naposled prevede na pogoj ?$\gcd(m,\phi(n))=\gcd(\phi(m),n)=1$?, kjer je ?$\phi$? Eulerjeva funkcija.

28.04.2021