POLDRUGO STOLETJE ELEKTROMAGNETNIH
VALOV
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 01.65.+g, 41.20.Jb
Spoznanje, da je svetloba elektromagnetni pojav, je zorelo dalj casa. Odločilni korak je naredil James Clerk Maxwell leta 1864. Pred stopetdesetimi leti je prvič iz enačb za električno in magnetno polje izpeljal valovno enačbo. Zanimajo nas glavne poteze te izpeljave. Opisemo tudi Maxwellovo prejsnje delo in poznejsi razvoj. Dandanes pogosto spregledamo prispevke drugih.
A CENTURY AND A HALF OF ELECTROMAGNETIC WAVES
The awarenes that light is an electromagnetic phenomenon matured for some length of time. The decisive step was taken by James Clerk Maxwell in 1864. A hundred and fifty years ago for the first time the wave equation was derived from equations of the electric and magnetic fields. We are interested in the main twists of this derivation. Maxwell's earlier work and later developement are described as well. Nowadays the contributions of others are often overlooked.
Svetloba in elektromagnetni pojavi
Na začetku 19. stoletja je po zaslugi Thomasa Younga prevladalo stališče, da je svetloba valovanje. Predstavljali so si, da valovanje potuje po etru, snovi s skrajno majhno gostoto. Najprej so imeli valovanje za longitudinalno, pozneje pa so polarizacijo pojasnili s transverzalnim valovanjem. Hypol-lite Fizeau je za hitrost svetlobe med pariskima gričema leta 1848 nameril 3,149 ■ 108 m/s, Leon Foucault pa leta 1860 v laboratoriju 2,98 ■ 108 m/s.
Michael Faraday je ze leta 1845 opazil, da je magnetno polje v prozorni snovi zasukalo jakost električnega polja v linearno polarizirani svetlobi. Leta 1850 je Fizeau s sodelavcem z merjenjem ugotovil, da elektrika v telegrafskih vodih potuje s hitrostjo, ki doseze velikostno stopnjo hitrosti svetlobe. Leta 1856 sta Wilhelm Weber in Rudolf Kohlrausch izmerila »razmerje med absolutno elektrostaticno enoto naboja in absolutno elektromagnetno enoto naboja«. Za enoto jakosti sta vzela tok, »ki nastane, ko v casovni enoti enota pozitivne proste elektrike v dani smeri in enaka mnozina negativne elektrike v nasprotni smeri steceta skozi vsak presek verige.« Za razmerje sta dobila 1,5537 ■ 108 m/s. S pravo definicijo toka bi dobila dvakrat vec, 3,1074 ■ 108 m/s. Povezave s hitrostjo svetlobe nista prepoznala. Leta 1857
104
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3
Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov
je Gustav Robert Kirchhoff z zasnovo telegrafske enačbe ugotovil, da spremembe napetosti po tankem vodniku z zanemarljivim uporom potujejo s hitrostjo svetlobe. Iz tega ni izpeljal sklepa, da je svetloba elektromagnetno valovanje.
O Faradayevih silnicah
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) je »delo začel predvsem v upanju, da bo Faradayevim zamislim in postopkom uspelo dati matematično obliko.« »Faraday je videl v duhu silnice, razsirjajoče se po vsem prostoru, kjer so matematiki videli centre sil, ki delujejo drug na drugega na daljavo. Faraday je videl sredstvo, kjer oni niso videli nič drugega kot razdalje.« Med drugimi je Maxwell objavil stiri članke: O Faradayevih silnicah v dveh delih v letih 1855 in 1856 [1], O fizikalnih silnicah v petih delih v letih 1861 in 1862 [2], Dinamična teorija elektromagnetnega polja leta 1865 [3] in O načinu, kako naravnost primerjati elektrostatično silo z elektromagnetno s pripombo k elektromagnetni teoriji svetlobe leta 1868 [4]. Leta 1873 je povzel dognanja v temeljnem delu Razprava o elektriki in magnetizmu z več kot tisoč stranmi. S tem je postavil temelje Maxwellove elektrodinamike.
Spočetka se je Maxwell zgledoval pri Williamu Thomsonu, poznejsem lordu Kelvinu, ki je vsak pojav poskusal pojasniti z analogijo iz mehanike. Tudi Thomson je izhajal iz Faradayevega »električnega sredstva«. Najprej je porazdelitev električne sile primerjal s porazdelitvijo toplotnega toka v trdni snovi, pozneje pa z ravnovesjem v prozni trdni snovi. Maxwell je poudaril, da je Thomson »prvi v matematično znanost uvedel misel o delovanju, ki ga prenasa zvezno sredstvo. Ceprav je to zagotovil in uporabil kot vodilno misel v svojih raziskovanjih Faraday, tega niso čenili drugi mozje znanosti.«
V Faradayevih silnicah se je Maxwell oprl na analogije: »Da bi dobili fizikalno predstavo, ne da bi postavili kako posebno teorijo, se moramo seznaniti z obstojem fizikalnih analogij. S fizikalno analogijo razumem tisto delno podobnost med zakoni kakega območja in zakoni drugega območja, s katero je mogoče z enim območjem ilustrirati drugo.«
Najprej je obdelal analogijo s stačionarnim prevajanjem toplote in nato podrobneje analogijo s stačionarnim tokom nestisljive tekočine. Potem je razpravljal o Faradayevem elektrotoničnem stanju. Silniče podajajo smer količine, njena velikost je obratno sorazmerna s presekom izbrane niti silnič. To velja za vsako količino s sklenjenimi silničami, tudi za hitrost delov nestisljive tekočine. Enačb, ki jih je navedel Maxwell, ni lahko prepoznati, ker jih je pisal v komponentah in je te zaznamoval z različnimi znaki. Ceprav je članek O Faradayevih silnicah vseboval domala vse enačbe elektrodinamike, se te enačbe, dobljene na podlagi analogij, dandanes zdijo nepovezane in neurejene.
104-112
105
Janez Strnad
Slika 1. V Fizikalnih silnicah je Maxwell električne in magnetne pojave opisal z modelom vrtincev in kotalečih se delcev. Sestkotni vrtinci se vrtijo okoli silnic v svojih oseh, pravokotnih na risalno ravnino. Delci, ki se brez drsenja in trenja kotalijo po njih, ustrezajo nosilcem naboja.
O fizikalnih silnicah
Maxwell je enačbe poskusil pojasniti na enotni osnovi z modelom molekulskih vrtincev in kotalečih se delcev. Tako je se naprej ostal pri mehanični analogiji: »Magnetno-električne pojave povzroča sredstvo, ki je na vsakem kraju magnetnega polja v določenem gibalnem ali napetostnem stanju, ne pa neposredno delovanje na daljavo magnetov in električnih tokov. Snov, ki povzroča učinke, je lahko sestavni del navadne snovi ali eter, ki snov preZema.«
Silniče kaZejo smer mehanične napetosti, ki jo je poleg tlaka treba upo-stevati. LeZijo v oseh vrtinčev, katerih smer določa svedrsko pravilo. Vrtinči se zelo hitro vrtijo, so majhni v primerjavi z molekulami in njihova gostota se ravna po permeabilnosti. Med vrtinči se brez drsenja in trenja kotalijo okrogli delči (slika 1). Na upor naletijo, ko preidejo od ene molekule k drugi. Delči imajo vlogo nosilčev naboja in njihovo potovanje v določeni smeri ustreza električnemu toku. Vrtinči se vrtijo zaradi gibanja delčev in s tem povzročajo elektromotorno silo: »Predstava o delčih, katerih gibanje določa pogoj, da se na obeh straneh vrtinčev kotalijo brez drsenja, se morda zdi nezadovoljiva. Nočem, da velja za pravo mnenje o tem, kar obstaja v naravi, ali za domnevo o bistvu elektrike v dosedanjem pomenu besede. To vrsto povezave pa si je mogoče mehanično zamisliti, zlahka jo je mogoče raziskati in je pripravna, da si z njo predstavljamo prave mehanične odnose med znanimi elektromagnetnimi pojavi.«
Z vrtinči in delči je Maxwell opisal tudi dielektrik v statičnem električ-
106
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3
Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov
nem polju. Naboj v molekuli se premakne, ne da bi zapustil molekulo: ena stran molekule postane pozitivna in druga negativna. Premik naboja v molekuli povzroči premik naboja v sosednji molekuli, in ucinek se razsiri po vsem dielektriku. Premik je odvisen od električnega polja in od narave dielektrika. Ce deluje na delce sila v dano smer, ti s svojim tangentnim delovanjem deformirajo prozno snov vrtincev in izzovejo v snovi nasprotno prozno silo. Ko sila preneha, se vrtinci vrnejo v prejsnjo obliko in delci v prejsnjo lego. To opise električni premik D. Ce se premik s casom spreminja, nastane premikalni tok z gostoto dD/dt. Premikalni tok se mu je zdel tako neizogiben, da ga je vpeljal na hitro. Pri delu sodobnikov je naletel na nezaupanje in nasprotovanje. V Amperovem zakonu rot H = je je gostoti toka nabojev dodal gostoto premikalnega toka rot H = je + dD/dt. Vsoto na desni strani enacbe je vpeljal kot gostoto polnega toka, ki nima izvirov: div jt = 0.
Privzel je, da imajo vrtinci obliko krogel. Preracunal je ravnovesje prozne krogle pod vplivom pravokotnih in tangentnih sil. Racun mu je dal kolicini, ki ju je vstavil za strizni modul G in gostoto snovi p v enacbo za hitrost transverzalnega valovanja v prozni snovi: c = \JG/p. Tako je za hitrost transverzalnih valov dobil vrednost, ki se ni znatno razlikovala od izmerjene hitrosti svetlobe. Izid je primerjal z Webrovim in Kohlrau-schevim izidom ter s Fizeaujevim merjenjem in ugotovil, da »komaj lahko zavrnemo misel, da sestavljajo svetlobo transverzalna nihanja sredstva, ki so tudi vzrok elektricnih in magnetnih pojavov.«
Povezava svetlobe z elektromagnetnimi pojavi je bila pomemben korak, a vsa razglabljanja in vsi racuni so izhajali iz mehanicnega modela. Zaradi enotnega modela so se enacbe zdele med seboj nekoliko bolj povezane kot v Faradayevih silnicah. Vendar je bila razprava se dalec od polja kot neodvisne tvorbe.
Dinamična teorija elektromagnetnega polja
Urednistvo Philosophical Transactions of the Royal Society of London je rokopis dobilo 27. oktobra 1864. Maxwell je o njem predaval 8. decembra 1864, revija pa je izsla januarja 1865. V clanku je opustil prejsnje mehanicne analogije: »Teorijo, ki jo predlagam, je mogoce imenovati teorija elektromagnetnega polja, ker zadeva prostor v blizini elektricnih in magnetnih teles, in mogoce jo je imenovati dinamičcna, ker privzame, da je v prostoru snov v gibanju, ki povzroca vidne elektromagnetne pojave.« To je prvi pravi elek-trodinamicni clanek. V njem ni novih osnovnih enacb. III. razdelek Spločne enačbe elektromagnetnega polja povzame »osnovne« enacbe. Enacbe, ki jih je navedel v komponentah, zapisemo z vektorji in totalne odvod nadomestimo s parcialnimi, a sicer poskusamo kolikor mogoce obdrzati Maxwellovo obliko.
104-112
107
Janez Strnad
Enačbe polnih tokov:
? ? dD
f = Je + -dt	(A)
so gostoto polnega električnega toka jt povezale z gostoto toka nosilcev naboja Je in premikalnim tokom dD/dt. Enačbe o magnetni sili:
ßßoH = rot A	(B)
so količino magnetne indukcije, po Maxwellovo ßH, po nase gostoto magnetnega polja B = ßß0H, povezale z nasim vektorskim potencialom, ki ga je Maxwell imenoval najprej elektrotonična jakost in pozneje elektromagnetni moment. Enačbo je ze prej uporabil Thomson in neodvisno od njega Wilhelm Weber in drugi.
Enačbe tokov je Maxwell dobil tako, da je Amperovemu zakonu roti? = Je dodal premikalni tok:
dD
rot H = Jt = Je + ^	(C)
Na desni strani je uporabil faktor 4n, ki smo ga spustili. V enačbah elektromotorne sile
d A
f = ? x ßH - "dt - grad V	(D)
s skalarnim potencialom V je »elektromotorno silo« f razumel kot silo na enoto naboja. To spominja na naso jakost električnega polja E in enačba na gostoto Lorentzeve sile. Elektromotorna sila danes večinoma pomeni gonilno napetost.
Enačbe električne pročnosti so »elektromotorno silo« povezale z električnim premikom:
f = kD.	(E)
Koefičient k je v nasem zapisu k = 1/(ee0).
Enačbe električnega upora so bile nas Ohmov zakon:
f = (Je	(F)
s spečifičnim uporom (.
Enačba proste elektrike je bila nas Gaussov zakon:
div D = pe.	(G)
108
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3
Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov
Vrsta enačb se je končala s kontinuitetno enačbo:
d>v j. = - Ie.	(H )
Maxwell je naStel dvajset spremenljivk in dvajset enačb zanje. Enačbe so imenovali Maxwellove enačbe, dokler ime ni dobilo danasnjega pomena. Vse enačbe niso bile med seboj neodvisne. Tako na primer dobimo enačbo (H) iz enačbe (G), ko upostevamo, da je div jt = 0.
V VI. razdelku Elektromagnetna teorija svetlobe je Maxwell iz zapisanih enačb izpeljal valovno enačbo. Tudi tukaj si z vektorsko pisavo skrajsamo pot. Na levi in desni strani enačbe (B) vzamemo rotor jj0 rot H = rot(rotA) in uporabimo vektorsko identiteto rot(rotA) = —V2A + grad(divA). V dielektriku ali praznem prostoru ni prostih nosilčev naboja in je je = 0, tako da je po enačbi (C) rot H = dD/dt = k-ld j/dt. Z enačbo (E) D izrazimo s j in nazadnje uporabimo enačbo (D) za primer, ko ni nabojev in je j = —dA/dt — grad V :
j , j. ,,,. . j ,_,2 j d D aa0 d j
jj0rotH = rot(rotA) = grad(div)A — V A = ^0—— =	—
dt k dt

jj0 I d2 A BV + grad—-
k \dt2 b dt
Maxwell je enačbo za komponento v smeri osi y:
d(divA) 2A _jj0 (dA + d2V_\ dy	y k V dt2 + dydt J
odvajal po z in enačbo za komponento v smeri osi z:
d (div A) ^2, jj0 ( d2 Az , d2 V \
— V2Az = — dz
k V dt2 + dzdt )
po y. Drugo enačbo je odstel od prve in dobil: V
2 f dAz 9Ay\ jj0 d2 f dAz dAy
dy dz J k dt2 \ dy dz
V oklepajih na obeh straneh po enacbi (B) prepoznamo komponento Hx. S ciklično permutacijo indeksov dobimo enačbi za preostali komponenti in sestavimo vektorsko valovno enačbo:
, jT 1 d2 H	k I T
V2H =	s c =
c2 dt2	V jj0 V ££0 jj0
104-112	109
Janez Strnad
Maxwell je že prej ugotovil, da je magnetno polje pravokotno na smer potovanja valovanja. V ravnem valovanju je vpeljal fazo w = k ■ r — wt = kxx+kyy+kzz—wt ž valovnim vektorjem k = (kx, ky, kz) in krožno frekvenco w. Z zvezo gradw = k je po enacbi (B) izrazil:
„ dAz dAy	dAz	dAz.
ßßoHx = —---— = -7— ky — —— kz.
dy dz dw dw
Dopisal je Se enacbi za komponenti v smeri osi y in z. Prvo enacbo je pomnozil s kx, drugo s ky, tretjo s kz in vse enacbe sestel. Dobil je zvezo k ■ H = 0, ki kaze, da je magnetno polje pravokotno na smer valovnega vektorja.
Izpeljal je tudi zvezo med lomnim količnikom in dielektricnostjo n2 = e za ß = 1. Ugotovil je, da je gostota energije v električnem polju we = 1 ED = 2ee0E2. Da je gostota energije v magnetnem polju wm = 2Hb = 1 B2/(ßß0), je ze leta 1853 spoznal Thomson.
Maxwell je zapisal valovno enačbo le za magnetno polje. Pripomnil je, da »sestoji val v celoti iz magnetnih motenj«. Morda se tedaj se ni zavedal, da tudi električna motnja potuje kot val. To bi bilo mogoče, saj enačb za električno polje ni zapisal simetrično z enačbami za magnetno polje.
Vsekakor je bila to prva izpeljava valovne enačbe iz enačb za električno in magnetno polje. Hitrost, ki sta jo Weber in Kohlrausčh dobila pri električnem poskusu, je primerjal s Fizeaujevo in s Foučaultovo hitrostjo pri poskusu s svetlobo ter nazadnje pribil, da je svetloba elektromagnetno valovanje.
V	kraj sem članku O načinu, kako naravnost primerjati elektrostatično silo z elektromagnetno s pripombo k elektromagnetni teoriji svetlobe je Maxwell izpeljal valovno enačbo, ne da bi uporabil potenčiale. S člankom je zelel posebej pokazati, da se njegova teorija razlikuje od teorij z delovanjem na daljavo. Omejil seje na ravno valovanje, ki potuje v smeri osi z z električnim poljem v smeri osi x in magnetnim poljem v smeri osi y. Izpeljal je valovno enačbo za magnetno polje, a po sinusni resitvi za Hy je dopisal tudi sinusni re sitvi za Ex in Dx. Vsaj odtlej je vedel za sestavo elektromagnetnega valovanja iz magnetnega in električnega polja. Clanek je bil prečej časa pozabljen, dokler ni nanj opozoril Thomson.
V	Razpravi o elektriki in magnetizmu je Maxwell v zapisanih enačbah spremenil le nekaj znakov. Tako je vpeljal danasnjo gostoto magnetnega polja H namesto prejsnje količine ßH. S tem so postale enačbe za magnetno polje nekoliko bolj podobne enačbam za električno polje. Vpeljal je se nekaj novosti, na primer Maxwellove napetosti, svetlobni tlak, spoznanje, da magnetno polje ne vdre v idealni vodnik, ampak povzroči povrsinske tokove. Se zdaj so v rabi nekateri njegovi znaki, ki jih je izbral po abečedi. Omejili smo se na Maxwellovo obravnavo elektromagnetnega valovanja v praznem prostoru in v izotropnih snoveh.
110
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3
Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov
Maxwellove enačbe danes
Ob svojem času je Maxwellovo delo zbudilo nekaj pozornosti v Angliji, na celini pa so se nanj odzvali le posamezniki. Ludwig Boltzmann je v letih 1891 in 1893 izdal Predavanja o Maxwellovi teoriji elektrike in svetlobe v dveh delih. Po njegovem mnenju sta tedaj le se Hermann von Helmholtz v Berlinu in Jozef Stefan na Dunaju spoznala pomen Maxwellove teorije. VeČina drugih fizikov je do nje Čutila nezaupanje ali celo odpor. Upirali so se premikalnemu toku in stavili na delovanje na daljavo. Posebej so odklonili zvezo med lomnim količnikom in dielektricnostjo. Tedaj se niso poznali frekvenčne odvisnosti obeh količin. Nekaterim se je teorija, ki je tedaj se tekmovala z drugimi teorijami, zdela nedokoncana. Ovirala jo je tudi »tezavna matematika« in neurejene enačbe. To se je spremenilo zaradi del Oliverja Heavisida, Josiaha Willarda Gibbsa in Heinricha Hertza.
Oliver Heaviside (1850-1925) je bil posebnez, ki je s sestnajstimi leti zapustil s olo [5]. Učil se je sam in s časom od telegrafista napredoval do člana Kraljeve druzbe (leta 1891). Pozneje je o Maxwellovi Razpravi zapisal: »Videl sem, da je velika, večja in največja z ogromnimi moznostmi. Bil sem odločen, da knjigo obvladam in sem se lotil dela [... ] Vzelo mi je nekaj let, preden sem razumel toliko, kolikor sem mogel razumeti. Potem sem Maxwella odlozil in sledil svoji lastni poti. Napredoval sem veliko hitreje.«
Medtem se je po zaslugi Gibbsa in drugih razvila vektorska analiza. Heaviside jo je pomagal razvijati in jo siril med fiziki. Po Hertzevem odkritju radijskih valov leta 1887 se je spremenil odnos do teorije. Hertz je prispeval tudi k teoriji vzporedno s Heavisidom, a je slednjemu priznal prvenstvo. Heaviside in Hertz sta uredila in poenostavila enačbe in jim dala danasnjo obliko. Nekaj časa so te enačbe imenovali po Heavisidu in Hertzu in tudi po Maxwellu in Hertzu. Danes jih poznamo kot Maxwellove enačbe:
divD = pe	divB = 0
r 1 dD	r dB
rot H = rje + -^T-	rotE = ——.
dt	dt
Dodati je treba se enačbi:
B = ßßo E	D = ee0E.
Pogosto dodamo se enačbo za Lorentzevo silo na deleč z nabojem e: F = e(E + v x B). Ohmovega zakona in kontinuitetne enačbe pa ne s tejemo k Maxwellovim enačbam. Nekdo je pripomnil, da Maxwell v novih enačbah ne bi prepoznal svojih prvotnih enačb. V praznem prostoru, v katerem ni nabojev in tokov, so enačbe za električno polje simetrične z enačbami za magnetno polje - do minusa v indukčijskem zakonu.
104-112
111
Janez Strnad
George Francis Fitzgerald je zapisal: »Maxwellovo Razpravo obremenjujejo razbitine njegove sijajne crte naskoka, njegova polja s strelskimi jarki, njegove bitke. Razčistil jih je Oliver Heaviside, odprl neposredno pot, uvedel s iroko cesto in raziskal znaten preostanek področja.« Heaviside je naredil s e več. Med drugim je obravnaval telegrafsko enačbo in predlagal, da naj bi s tuljavami v kablih zmanjsali popačenje signala. Predvidel je, da bi nabit delec, ki bi se gibal hitreje kot svetloba, oddajal sevanje, danes znano kot sevanje Cerenkova. Raziskal je gostoto energijskega toka v električnem in magnetnem polju, a pri tem ga je prehitel John Henry Poynting. Heaviside se je rad prepiral. Omenimo samo prepir s Petrom Guthriejem Taitom. Ta si je na vso moč prizadeval, da bi v elektrodinamiki uporabljali Hamiltonove kvaternione, ki jim je bil spočetka naklonjen tudi Maxwell. Heaviside pa se je zavzemal za vektorje.
Za studente je valovna enačba pri elektromagnetnem polju pomembna, ker jo izpeljejo iz osnovnih zakonov, to je Maxwellovih enačb, naravnost brez priblizkov. Valovno enačbo pa ze poznajo iz mehanike. Tudi v razvoju fizike so jo spoznali v mehaniki ze prej. Jean le Rond d'Alembert jo je za valovanje v eni razseznosti izpeljal leta 1746. Leonhard Euler jo je za valovanje v treh razseznostih dognal nekaj let pozneje. V tej zvezi kaze omeniti se prispevka Daniela Bernoullija in Joseph-Louisa Lagrangea.
Dečembra 2013 je Generalna skupsčina zdruzenih narodov leto 2015 razglasila za Mednarodno leto svetlobe. Kako zelo pomembna je vidna svetloba, ki je ozek pas v spektru elektromagnetnega valovanja, uvidimo, če si zamislimo, kak s no bi bilo zivljenje in sploh svet, če je ne bi bilo. Pri tem so poleg izida Maxwellovega članka leta 1865 upostevali delo Ibn al-Haythama (Alhazena) leta 1015, teorijo transverzalnega etrskega valovanja Augustina Fresnela leta 1815, razlago fotoefekta Alberta Einsteina leta 1905 ter odkritja svetlobnih vodnikov Charlesa Kaa leta 1965. Tehnologije na osnovi svetlobe so izdatno prispevale k razvoju. V Mednarodnem letu svetlobe 2015 naj bi UNESCO, izobrazevalne in raziskovalne ustanove ter strokovna drustva in drugi po vsem svetu sodelovali pri sirjenju zavesti o »pomenu svetlobe in njene uporabe«.
LITERATURA
[1]	J. Clerk Maxwell, On Faraday's lines of force, Transactions of the Cambridge Philosophical Society 10 (1855, 1856).
[2]	J. Clerk Maxwell, On physical lines of force, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 21 (1861) 161-175, 281-291, 338348; 22 (1862) 12-24, 85-95.
[3]	J. Clerk Maxwell, A dynamical theory of the electromagnetic field, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 155 (1865) 459-512.
[4]	J. Clerk Maxwell, On a method of making a direct comparison of electrostatic with electromagnetic force: with a note on the electromagnetic theory of light, Philosophical Magazine 36 (1868) 316. Vire [1-3] je mogoče dobiti na spletu.
[5]	P. J. Nahin, Oliver Heaviside, Scientific American 262 (1990) 80-87 (6).
112
Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3