P51(2023/2024)2
23
Sferna trigonometrija in
ˇ cas v astronomiji
N
V Kˇ ˇ
Bralke in bralci se gotovo spomnijo prispevka
o sferni trigonometriji iz 6. številke prejšnjega le-
tnika revije Presek. V prispevku smo si ogledali
osnovne obrazce sferne trigonometrije in izpeljali
nekaj osnovnih zvez za obravnavo lege nebesnih
teles na nebesni sferi. Poleg tega pa smo omenili
tudi osnovna naˇ cela, na katerih temelji merjenje
ˇ casa.
V tokratni številki objavljamo nekaj rešenih vaj iz
sferne trigonometrije in ˇ casa, ki so se pojavile na
preteklih izbirnih ter mednarodnih tekmovanjih iz
astronomije in astrofizike. Naloge lahko služijo kot
odliˇ cna priprava na izbirno tekmovanje za olimpij-
sko ekipo za Mednarodno olimpijado iz astronomije
in astrofizike, ki bo avgusta prihodnje leto potekala
v Riu v Braziliji.
Tekmovalkam in tekmovalcem želim mnogo mo-
žganskih užitkov pri trenju astronomskih orehov.
Rešenenaloge
Braleclahkovnadaljevanjunajdenekajprimerovre-
šenih nalog z izbirnih in mednarodnih tekmovanj iz
astronomijeinastrofizike,vnaslednjemrazdelkupa
gaˇ caka tudi nekaj dodatnih nerešenih izzivov, s ka-
terimi si lahko popestri prostiˇ cas.
Izbirno tekmovanje 2014
Opazujemo dve zvezdi, za kateri vemo, da bosta so-
ˇ casno preˇ ckali južni meridian na višinah h
1
= 30,0°
in h
2
= 40,0° (zgornja kulminacija). Kolikšen bo
azimut obeh zvezd, ko bosta zašli? Katera zvezda
bo zašla prej in kolikšna bo razlika njunih ˇ casov-
nih kotov ob zahodu? Opazujemo iz Ljubljane (ϕ=
46,0°,λ=14,5°). Vplive atmosfere zanemari.
Rešitev.
Podatki: ϕ=46,0°,λ=14,5°,h
1
=30,0°,h
2
=40,0°
Zemljepisna širina opazovališˇ ca je veˇ cja od višine
zvezde, kar pomeni, da se bo preˇ ckanje južnega me-
ridiana (zgornja kulminacija) zgodila med zenitom
in smerjo juga. Deklinacijo zvezd doloˇ cimo iz
δ=ϕ+h−90°.
Deklinacijaprvezvezdeδ
1
=−14,0°,deklinacijadru-
ge paδ
2
=−4,0°. Azimut zahoda obeh zvezd (ko sta
h
1
=h
2
=0
◦
) doloˇ cimo iz
cosA=−
sinδ−sinϕ sinh
cosϕ cosh
=−
sinδ
cosϕ
,
dobimo A
1
= 69,7° za prvo zvezdo in A
2
= 84,3° za
drugo.
Prej bo zašla prva zvezda. Razlika njunih ˇ casov-
nih kotov ob zahodu bo
∆ H=arccos(−tgϕtgδ
2
)−arccos(−tgϕtgδ
1
)
=43min.
Izbirno tekmovanje 2019
Na letošnjih poˇ citnicah smo opazovali noˇ cno nebo
iz Wellingtona v Novi Zelandiji (ϕ = −41°17
′
20
′′
,
λ=+174°46
′
19
′′
).
a) Ugotovi, katere zvezde so iz te lokacije nadob-
zornice, podobzornice ter vzhajalke.
b) Dne 30. avgusta 2019 bi radi opazovali zvezdo
Ankaa v ozvezdju Feniks (α = 0
h
26
m
17
s
,
P51(2023/2024)2
24
δ = −42°18
′
21
′′
). Izraˇ cunaj ˇ cas kulminacije in
koliko ˇ casa bo zvezda nad obzorjem. Kako vi-
soko nad obzorjem bo ob kulminaciji? Upošte-
vajS(0
h
UT,30.8.)=22
h
31
m
36
s
. (IT 2019)
Rešitev.
Podatki: ϕ = −41°17
′
20
′′
, λ = +174°46
′
19
′′
,
α = 0
h
26
m
17
s
, δ = −42°18
′
21
′′
, S(0
h
UT,30.8) =
22
h
31
m
36
s
a)
ˇ
Cenaredimoskicozanebonajugu,ugotovimo,
da so podobzornice zvezde, za katere velja
90°−|ϕ|−δ<0, δ>90°−|ϕ|.
Podobzornice so za Wellington vse zvezde z
deklinacijoδ>48,71°.
Za nadobzornice mora veljati pogoj
|ϕ|−δ−90°>0, δ<|ϕ|−90°.
Nadobzornice v Wellingtonu so vse zvezde, za
katere jeδ<−48,7°.
VzhajalkevWellingtonusovsetistezvezde,za
katere velja−48,7°<δ<48,7°.
b) Najprej izraˇ cunamo ˇ casovni kot vzhoda/-
zahoda:
cosH
v,z
=−tgϕtgδ=−0,7988,
iz ˇ cesar dobimo H
v
= −9,53
h
in H
z
= 9,53
h
.
Zvezda je nad obzorjem
∆ t=
H
z
−H
v
γ
=18,9
h
,
kjersmoupoštevaliγ=
366,25
365,25
.
ˇ
Caskulminacije
izraˇ cunamo iz enaˇ cbe
α=S(0
h
UT,30.8.)+λ+(t
k
−12
h
)γ,
kjer upoštevamo, da je 30. avgusta v Welling-
tonu zima. Dobimo t
j
= 2,35
h
. Zvezda kul-
minira 29. avgusta ob 2.21. Ob kulminaciji bo
zvezda na višini
h=90°+|ϕ|−|δ|=89°.
Astronomsko tekmovanje treh dežel 2022
Leta 2022 je bil poletni solsticij 21. junija. Toda Ze-
mlja bo v afeliju šele dva tedna kasneje, 4. julija. In-
klinacija Zemljine osi jeε=23,5°.
a) Periodaprecesijevrtilneosije26000let. Oceni,
v katerem letu bosta ali sta se poletni solsticij
in afelij zgodila na isti dan, 4. julija.
b) Veˇ ckrat se omenja, da bo v prihodnosti zvezda
Vega (α
V
= 18
h
37
m
, δ
V
= +38
◦
47
′
) kazala
smer severa. Oceni, ˇ cez koliko let se bo to
zgodilo.
Zanemari nutacijo, gibanje perihelija in ostale
uˇ cinke drugega reda.
Rešitev.
Podatki: ε = 23,5
◦
, α
V
= 18
h
37
m
, δ
V
= +38
◦
47
′
,
δ
E
=66,5
◦
,α
E
=18
h
P =26000 let
V prvem delu naloge nam bo prav prišlo raˇ cuna-
nje z ekliptiˇ cno dolžino, zato se spomnimo tudi, da
ekliptiˇ cna dolžina Sonca s ˇ casom teˇ ce enakomerno
kot L =
∆ t
365,25
·360
◦
, pri ˇ cemer smo s ∆ t oznaˇ cili
ˇ cas v dnevih po spomladanskem enakonoˇ cju.
a) Izraˇ cunajmo ekliptiˇ cno dolžno Sonca ob pole-
tnem solsticiju in v trenutku, ko je Zemlja v
afeliju. Imamo ∆ t
1
= 10+30+31+21 = 92
dni in ∆ t
2
= 10+30+31+30+4 = 105 dni,
od koder sledi L
1
= 90,678
◦
in L
2
= 103,490
◦
.
Precesija se dogaja glede na ravnino ekliptike
s periodo P = 26000 let, zato se bosta poletni
solsticij in afelij zgodila na isti danˇ cez:
t=
∆ L
360
◦
·P =925 let.
b) Oznaˇ cimo zV lego Vege in sP lego nebesnega
pola na nebesni sferi. Razmislimo, da so koor-
dinate severnega pola ekliptike E(δ
E
= 66,5
◦
,
α
E
= 18
h
). Gledamo sferiˇ cni trikotnik VPE, ki
je za lažjo predstavo prikazan tudi na sliki 1.
Razmislimo, da v trikotniku velja VP = 90°−
δ
V
, EP = ε, poleg tega pa velja∠VPE = α
V
−
P51(2023/2024)2
25
SLIKA1.
Sferiˇ cni trikotnik Vega (V) − severni nebesni pol (P) − severni
pol ekliptike (E). Zvezde, ki se nahajajo na oranžni krožnici, v
ˇ casu ene periode precesije preˇ ckajo severni nebesni pol.
α
E
. Dolžino d
EV
izrazimo s formulo za razda-
ljo med toˇ ckama na sferi
cosd
EV
=sinδ
V
sinδ
E
+
cosδ
V
cosδ
E
cos(α
V
−α
E
),
izˇ cesar izraˇ cunamod
EV
=28°13
′
.
Iz sinusnega izreka za sferiˇ cni trikotnik VPE
sledi
sin∠PEV =
sinVP
sinVE
sin∠VPE,
sinθ=
cosδ
V
sind
EV
sin(α
V
−α
E
),
iz ˇ cesar dobimo edino smiselno rešitev
θ=164°38
′
.
Zemljinanavideznaossemoratorejzaradipre-
cesije zavrteti za kot θ in ker se ta s ˇ casom
spreminjaenakomerno,boVegavbližinisever-
nega nebesnega polaˇ cez približno
∆ t=
θ
360°
·P =11900let.
Nalogebralcu
1. Za sferiˇ cni trikotnik s podatkia= 70°,b= 50°,
C = 85° izraˇ cunaj dolžino preostale stranice in
velikost preostalih kotov.
2. Kolikšna je razdalja (po površju, v kilometrih)
med Ljubljano (ϕ = 46
◦
, λ = 14°32
′
) in Rio de
Janeirom (ϕ = −23
◦
, λ = −43°13
′
)? V kakšni
smeri (v stopinjah) od severa bi morali odpo-
tovati, da bi iz Ljubljane v Rio de Janeiro šli po
najkrajšipoti? PolmerZemljejeR
Z
=6400km.
3. (IOAA 2014) Romunska astronoma Ovidiu Ter-
cuinAlexDumitriuizkrajaGalatiRomaniasta
pred kratkim odkrila dve spremenljivi zvezdi.
Galaktiˇ cne koordinate zvezd so: Galati V1
(l
1
= 114,37°, b
1
= −11,35°) in Galati V2
(l
1
= 113,27°, b
1
= −16,18°). Oceni kotno raz-
daljo med zvezdama Galati V1 in Galati V2.
4. (IOAA2015)LetaloletizLime(ϕ=−12°2
′
,λ=
−77°1
′
) v Džakarto (ϕ = −7°47
′
, λ = 110°26
′
),
pri ˇ cemer za let izbere najkrajšo pot po po-
vršju. Doloˇ ci koordinate najjužnejše toˇ cke, v
kateri se nahaja med letom.
5. (IOAA 2022) Astronomka Keto je ponoˇ ci letela
z letalom v zahodni smeri po najkrajši poti od
Tbilisija (prestolnica Gruzije) do Atlante (pre-
stolnica ameriške zvezne države Georgia).
Skozioknoletalajelahkovesˇ casvidelazvezdo
Furud v ozvezdju Veliki pes,ˇ ceprav se je zvez-
dananekitoˇ ckipoletanavideznodotaknilana-
tanko južne toˇ cke obzorja. Izraˇ cunaj zemljepi-
snoširinoϕ
B
indolžinoλ
B
Atlante,kjerjeKeto
pristala.
Potovanje je trajalo 11 ur in 25 minut in letalo
je letelo s povpreˇ cno hitrostjo 875 km/h. De-
klinacija Furud δ
F
= −30°4
′
. Koordinate Tbi-
lisija so: ϕ
A
= 41°43
′
,λ
A
= 41°48
′
. Zanemari
uˇ cinke vrtenja Zemlje, višino letala, atmosfer-
sko refrakcijo in vetrove.
6. Izraˇ cunajvišinoSoncanameridianuprvegapo-
letnega dne za opazovalca na geografski širini
42° severno. Kolikšna je najveˇ cja višina Sonca
na prvi zimski dan v istem kraju?
7. Koordinate Arkturja so α = 14
h
16
m
0
s
in δ =
18°11
′
. Doloˇ ci zvezdniˇ cas v trenutkih, ko Ark-
tur vzide in zaide v Bostonu (ϕ=42°19
′
).
8. PolnaLunaje19.junijazaopazovalcavkrajus
koordinatami λ = 107°35
′
in ϕ = 6°49
′
kulmi-
nirala ob 0
h
30
ms
. Kdaj je tistega dne vzšla in
kdaj zašla?
P51(2023/2024)2
26
9. (Izbirno tekmovanje 2015) Astronomski mrak
se zaˇ cne ob Sonˇ cnem zahodu (ko rob zahajajo-
ˇ cega Sonca ravno zaide pod obzorje) in konˇ ca,
ko je središˇ ce Sonca 18° pod obzorjem. Izraˇ cu-
naj dolžino astronomskega mraka ob enakono-
ˇ cju ter na prvi poletni dan. Izraˇ cunaj, ob kateri
uri se 14. marca zakljuˇ ci astronomski mrak.
Naše opazovališˇ ce je nakoordinatahϕ=+46°,
λ=+14,5°. Zanemari pojave v atmosferi.
10. (Izbirno tekmovanje 2016) Neki komet, ki ga
opazujemo iz naših krajev (ϕ = +46°,
λ=+14,5°) je imel 21. decembra navidezni
sij 5,31, njegovi koordinati sta bili
δ=+34°21
′
10
′′
,α=16
h
14
m
58
s
.
a) Na kolikšni razdalji od Zemlje (v astro-
nomskih enotah) je bil takrat, ˇ ce je bila
njegova absolutna magnituda 38,6?
b) Kolikšna je bila takrat njegova kotna raz-
dalja od Sonca?
c) Kolikšna je bila takrat hitrost kometa, ˇ ce
se giblje po paraboli?
d) Za koliko ˇ casa po zaˇ cetku astronomske
noˇ ci je bil 21. decembra komet še nad ob-
zorjem? Astronomska noˇ c se zaˇ cne, ko je
Sonca−18°podobzorjem. Predpostavi,da
se kometu v tem ˇ casu koordinate niso bi-
stveno spremenile.
11. (Izbirno tekmovanje 2017) Veliki Magellanov
oblak (α
1
= 5
h
23
m
35
s
, δ
1
= −69°45
′
22
′′
) in
Mali Magellanov oblak (α
2
= 0
h
52
m
45
s
,
δ
2
= −72°49
′
23
′′
) sta nepravilni pritlikavi ga-
laksiji, ki krožita okrog naše Galaksije. V nada-
ljevanju predpostavite, da razsežnost objektov
ni pomembna.
a) Koliko stopinj južno od Avberja (ϕ= 46°)
moramo najmanj iti, da bosta oba Magel-
lanova oblaka vedno nad obzorjem?
b) Kolikšna bo iz tistega kraja najvišja višina
nadobzorjemzavsakegaizmednjijuinna
kateremobmoˇ cjuazimutovjubomolahko
opazovali?
c) Kolikšno zorno polje bi moral pokriti
objektiv fotoaparata, da bi lahko na po-
snetek ujeli oba Magellanova oblaka? Sen-
zor CCD v fotoaparatu je velik 35mm×
35mm. Kolikšna mora biti gorišˇ cna raz-
dalja objektiva, ki bil primeren za tako fo-
tografijo?
12. (Izbirno tekmovanje 2018) Dne 24. junija opa-
zujemo zvezdo Vega (α = 18°36
′
56
′′
,
δ=+38°47
′
1
′′
) iz Ljubljane (ϕ=+46°13
′
, λ=
+14°27
′
).
a) KdajkulminiraVega? Kolikšnajenjenavi-
šina ob kulminaciji?
b) Kolikšnastavišinainazimutzvezde,ˇ cejo
opazujemo ob 23.00?
13. (IOAA 2013) Koliko znašata ˇ casovni kot H in
zenitna razdalja z Vege (δ = 38°47
′
v kraju
Thessaloniki (λ
1
= 1
h
32
m
0
s
, ϕ
1
= 40°37
′
) v
trenutku, ko ta kulminira na lokalnem nebe-
snem poldnevniku v Lizboni (λ
2
= −0
h
36
m
0
s
,
ϕ
2
=+39°43
′
)?
14. Zahtevnejša naloga (IOAA 2020): Opazovalec
zvezd v Chiayi, Kitajski Taipei (23,5°N, 120,4°E,
GMT+8) je opazil dva meteorja ob 21:00 (po
ˇ casu Kitajskega Taipei) dne 25. septembra
2020. Prvi meteor se je pojavil toˇ cno na zaho-
dnem obzorju in švignil do toˇ cke na višini 15°
natanko nad severnim obzorjem. Drugi meteor
pa se je pojavil na višini 23,5° in azimutu 210°
in svojo sled konˇ cal na višini 75° in azimutu
255°.
a) Kolikšen je lokalni zvezdniˇ cas (LST) v tre-
nutku opazovanja?
b) Poišˇ ci višino in azimut radianta meteor-
skega roja.
c) Poišˇ ci ekvatorialne koordinate navidezne-
ga radianta.
d) Katero od ozvezdji je najbliže radiantu
meteorskega roja? Crux / Dorado / Pavo
/ Tucana / Triangulum Australes
Opombi:
Azimuti so merjeni od severa (0°) proti
vzhodu.
Zvezdni ˇ cas na Greenwichu (GST) ob 00:00
UT dne 1. januarja 2020 je 6
h
40
m
30
s
.
×××
Digitalna knjižnica Slovenije - dLib.si