Geometrija realnih form kompleksnega Neumannovega sistema : doktorska disertacija

slovenski

doktorska dela

2015

Arnold-Liouvilleove nivojske množice   integrabilni sistemi   matematika   Neumannov sistem   realne forme   realne strukture   spektralna krivulja

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
(Obvezni izvod spletne publikacije)

C. Neumannov sistem opisuje gibanje delca na ?$n$?-dimenzionalni sferi ?$S^n$? v polju sil s kvadratnim potencialom ?$U(q_1, \ldots, q_{n+1}) = \sum a_jq_j^2$?. Znano je, da je Neumannov sistem popolnoma Liouvilleovo integrabilen. Prvi integrali Neumannovega sistema so integrali Uhlenbeckove. Poleg tega je kompleksen Neumannov sistem algebraično popolnoma integrabilen, nivojske množice kompleksne momentne preslikave pa so afini deli kompleksnih torusov. Nivojske množice realne momentne preslikave so potemtakem njihovi realni deli. V disertaciji natančno definiramo realne forme kompleksnega Neumannovega sistema. Realne forme so Hamiltonovi sistemi na kotangentih svežnjih nad hiperboloidi. Pokažemo, da so tudi novi sistemi popolnoma Liouvilleovo integrabilni in eksplicitno zapišemo njihove prve integrale (ohranitvene količine). Kompleksen Neumannov sistem je poseben primer splošnejšega Mumfordovega sistema. Mumfordov sistem je karakteriziran z Laxovo enačbo ?$\frac{d}{dt}L^{\mathbb{C}}(\lambda) = M^\mathbb{C}(\lambda), L^\mathbb{C}(\lambda)$? v zančni algebri ?$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})\lambda, \lambda^{-1}$?, pri čemer so koeficienti ?$U^\mathbb{C}$?, ?$V^\mathbb{C}$?, ?$W^\mathbb{C}$? matrike ?$L^\mathbb{C}(\lambda)$? polinomi določene oblike. Če so ?$u_1, \ldots, u_n$? ničle ustrezne realne forme polinoma ?$U^\mathbb{C}$?, je topologija regularne nivojske množice momentne preslikave realne forme kompleksnega generičnega Neumannovega sistema določena z lego ničel ?$u_1, \ldots, u_n$? glede na konstante ?$a_1, \ldots, a_{n+1}$? in ostalih določenih parametrov sistema. Za dve družini realnih form je topologija nivojskih množic neodvisna od lege regularnih vrednosti momentne preslikave. Za eno od njiju so nivojske množice nekompaktne. Opazimo, da so v posebnih primerih ničle realne forme polinoma ?$U^\mathbb{C}$? koordinate na enakoosnem hiperboloidu, ki je ustrezna realna forma kompleksne kvadrike ?$(S^n)^\mathbb{C}$?. Definiramo konično-hiperboloidne koordinate na enakoosnih hiperboloidih, ki so posplošitev Jacobijevih eliptično-sferičnih koordinat na sferi ?$S^n$?. Ker ima Neumannov sistem Laxovo enačbo tudi v zančni algebri ?$\mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{R})\lambda, \lambda^{-1}$?, nam ta porodi še eno družino prvih integralov sistema. V disertaciji je podana in dokazana zveza med omenjeno družino integralov in družino integralov Uhlenbeckove.

12.05.2023