V tej disertaciji popolnoma karakteriziramo unimodalno kategorijo funkcij ?$f: \mathbb{R} \to 0, \infty)$? s pomočjo izreka o dekompoziciji, ki ga dobimo kot posplošitev algoritma s pometanjem, ki sta ga vpeljala Baryshnikov in Ghrist. Podamo tudi karakterizacijo unimodalne kategorije za funkcije ?$f: S^1 \to 0, \infty)$? in od tod dobimo algoritem za izračun unimodalne kategorije take funkcije v primeru, ko ima le končno mnogo kritičnih točk. Nato obravnavamo domnevo Baryshnikova in Ghrista o monotonosti. Pokažemo, da ta domneva drži za funkcije na ?$\mathbb{R}$? in ?$S^1$? s pomočjo zgornjih karakterizacij, in da ne drži za funkcije na določenih grafih in na evklidski ravnini, tako da konstruiramo eksplicitne protiprimere. Poleg tega pokažemo, da drži za funkcije na evklidski ravnini, katerih Morse-Smaleov graf je drevo, z uporabo rezultata, ki so ga dokazali Hickok, Villatoro in Wang. Nato predstavimo nekaj odprtih vprašanj, ki nakazujejo obetavne smeri raziskovanja. Potem dokažemo še aproksimativni izrek o živcu, ki je posplošitev izreka o živcu iz klasične algebraične topologije v kontekst vztrajne homologije. To storimo z vpeljavo pojma ?$\varepsilon$?-acikličnega pokritja filtriranega prostora. Z uporabo spektralnih zaporedij povežemo vztrajne homologije raznih prostorov, na katere pri tem naletimo. Aproksimacija je podana v jeziku prepletne razdalje med vztrajnostnimi moduli. Da dobimo optimalne meje, vpeljemo tehnična pojma levih in desnih prepletanj. Nazadnje podamo še primere, kjer so meje realizirane in s tem dokažemo optimalnost rezultata.

Pravice