Integrabilnost, linearizabilnost in limitni cikli polinomskih sistemov navadnih diferencialnih enačb : doktorska disertacija

slovenski

doktorska dela

2023

Diferencialne enačbe   Disertacije   Hamiltonski sistemi   integrabilnost   limitni cikli   linearizabilnost   reverzibilnost   sistemi navadnih diferencialnih enačb   Univerzitetna in visokošolska dela

Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko

Krovna tema pričujoče doktorske disertacije je kvalitativna obravnava nekaterih družin navadnih diferencialnih enačb (NDE). Osrednja pozornost je namenjena ravninskim in tridimenzionalnim polinomskim sistemom ter preiskovanju pogojev, pri katerih se sistemi ponašajo s katero od naslovnih lastnosti: integrabilnostjo, linearizabilnostjo ali prisotnostjo limitnih ciklov. Uvodno poglavje je namenjeno definiciji osnovnih pojmov, ki zadevajo singularne točke in njihove okolice v sistemih NDE. Predstavimo nekaj ključnih metod in algoritmov komutativne računske algebre, ki so bistveni pri preiskovanju sistemov v nadaljevanju dela. V drugem poglavju definiramo dve osrednji lastnosti ?$n$?-dimenzionalnih sistemov NDE, integrabilnost in linearizabilnost. Najprej predstavimo metodo, s katero lahko pridobimo pogoje za integrabilnost sistema, nato pa navedemo nekaj načinov za dokaz zadostnosti teh pogojev. Za preučitev linearizabilnosti se dotaknemo teorije normalnih form, predstavimo način za iskanje pogojev za linearizabilnost sistemov in dokažemo izrek, ki povezuje integrabilnost ter linearizabilnost sistemov NDE. Z uporabo omenjene teorije nato preučimo integrabilnost in linearizabilnost kvadrati\v cnega tridimenzionalnega sistema z ?$(1:-1:-1)$?-resonantno singularnostjo v izhodišču. Tretje poglavje je namenjeno ravninskim sistemom NDE in njihovi linearizabilnosti, ki je tesno povezana z izohronostjo. Predstavimo metodo za pridobivanje pogojev za linearizabilnost, ko le-teh ne moremo pridobiti iz linearizabilnostnih količin, in sicer iskanje polinomske linearizacije ene od enačb sistema. Pri proučevanju linearizabilnosti se osredotočimo na nekatere Hamiltonske sisteme s homogenimi in nehomogenimi nelinearnostmi stopnje kvečjemu sedem. V četrtem delu disertacije se lotimo problema centra in fokusa za nekatere rever-zibilne kubične sisteme. V tem smislu preiskujemo tri sisteme, ki so z ustrezno transformacijo prevedeni v eno izmed kanoničnih oblik ravninskega kubičnega sistema s singularnostjo tipa center ali fokus v izhodišču. Dokažemo, da so vsi pridobljeni sistemi Darbouxjevo integrabilni. Na koncu raziščemo še orbitalno reverzibilnost teh sistemov. V zadnjem poglavju se posvetimo limitnim ciklom. Opišemo enega ključnih pojavov za nastanek limitnih ciklov, Hopfovo bifurkacijo. Predstavimo metodo preiskovanja točk v neskončnosti, Poincaréjevo kompaktifikacijo in tehniko analize okolice neenostavnih singularnih točk, usmerjeno napihovanje. Nato raziščemo možnosti za pojav limitnih ciklov v tridimenzionalnem biokemičnem modelu in opredelimo fazno sliko v prvem kvadrantu dvodimenzionalnega reakcijskega modela.

08.08.2023