Flag graphs and symmetry type graphs : doctoral thesis

angleški

doktorska dela

2014

brušenje   chamfering   Disertacije   flag graph   graf praporov   Grafi   k-orbit map   k-orbitni zemljevid   leapfrog   manipleks   maniplex   medial   preskok   prisekanje   simetrijski graf   sredinjenje   symmetry type graph   truncation

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Zemljevid (t.j. celična vložitev grafa na sklenjeno ploskev) imenujemo ?$k$?-orbitni zemljevid, če grupa avtomorfizmov (oz. simetrij) zemljevida razdeli njegovo množico praporov v ?$k$? orbit. Pred kratkim (2012) je Steve Wilson, v želji da poenoti pojma zemljevidov in abstraktnih politopov, vpeljal t.i. maniplekse. Manipleksi predstavljajo posplošitev zemljevidov na objekte višjih dimenzij oziroma rangov. Kombinatorična struktura manipleksa ranga ?$(n-1)$? (ali ?$(n-1)$?-manipleksa) je popolnoma določena s po povezavah pobarvanim ?$n$?-valentnim grafom (s kromatičnim številom ?$n \ge 1$?), t.i. prapornim grafom manipleksa. Zemljevide obravnavamo kot maniplekse ranga 2 (oz. 2-maniplekse) in jih definiramo v skladu z raziskavami kombinatoričnih zemljevidov Linsa in Vincea v letih 1982-1983. Tako je, podobno kot pri zemljevidih, ?$k$?-orbitni manipleks definiran kot manipleks, ki ima ?$k$? prapornih orbit glede na delovanje njegove grupe avtomorfizmov. V prvem delu disertacije vpeljemo pojem simetrijskega grafa manipleksa in uporabimo simetrijske grafe pri obravnavi ?$k$?-orbitnih manipleksov ter polno tranzitivnih 3-manipleksov. Klasificiramo vse možne simetrijske tipe ?$k$?-orbitnih manipleksov za ?$k \le 5$?, pa tudi vseh pravih in nepravih samodualov ?$k$?-orbitnih zemljevidov za ?$k \le 7$?. Pokažemo, da za nobeno liho število ?$k > 1$? ne obstaja polno tranzitiven ?$k$?-orbitni 3-manipleks, klasificiramo 3-orbitne maniplekse in določimo vse tranzitivne avtomorfizme lic 3- in 4-orbitnih manipleksov. Predstavimo tudi generatorje grupe avtomorfizmov manipleksa, ki utreza danemu simetrijskemu grafu. Orbanić, Pellicer in Weiss so klasificirali ?$k$?-orbitne zemljevide za vrednosti ?$k \le 4$? s pomočjo operacij na zemljevidih, npr. z operacijama sredinjenja (angl. medial) in prisekanja (angl. truncation). V drugem delu disertacije na podlagi teh rezultatov uporabimo simetrijske grafe za razširitev takšnih raziskav in klasificiramo vse tipe ?$k$?-orbitnih zemljevidov z istima operacijama na zemljevidih za vrednosti ?$k \le 6$?. Raziščemo tudi druge operacije na zemljevidih, kot sta npr. operaciji brušenja (angl. chamfering) in preskoka (angl. leapfrog). Določimo tudi vse možne simetrijske tipe zemljevidov, ki jih dobimo iz drugih zemljevidov z operacijama brušenja, in raziščemo, koliko prapornih orbit lahko ima brušeni zemljevid ?$k$?-orbitnega zemljevida.

12.05.2023