Qualitative studies of some polynomial systems of ordinary differential equations : doctoral dissertation

angleški

doktorska dela

2016

Bautin ideal   Bautinov ideal   center problem   cikličnost   cyclicity   darboux method   Darbouxjeva metoda   Diferencialne enačbe   Disertacije   dissertations   fazni portreti   focus quantities   fokusne količine   higher dimensional system of ODE's   integrability problem   limit cycle   limit cylces   limitni cikel   limitni cikli   linearizability   linearizabilnost   nilpotent center   nilpotentni center   phase portrait   planar systems of ODE's   Poincaré compactification   Poincaréjeva kompaktifikacija   Polinomski sistemi   problem centra   problem inegrabilnosti   ravninski sitem NDE   time-reversibility   višje dimenzionalni sistemi NDE

Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko

Ta doktorska disertacija je posvečena študijam nekaterih kvalitativnih lastnosti določenih sistemov navadnih diferencialnih enačb. Osrednja obravnavana problema te teze sta problem integrabilnosti in cikličnosti. Prav tako so predstavljeni nekateri rezultati o klasifikaciji globalnih faznih portretov družine kubičnih sistemov. V prvem poglavju bodo predstavljeni osnovni pojmi in rezultati kvalitativne teorije sistemov NDE. Ker je pomembno orodje za študijo teh problemov komutativna računska algebra, bodo v uvodu predstavljeni tudi osnovni pojmi in lastnosti polinomskih idealov ter njihovih raznoterosti, vključno s številnimi algoritmi povezanimi s tem. V drugem poglavju je predstavljena metoda za raziskovanje obnašanja trajektorij v okolici izrojenih singularnosti. Ta je uporabljena v nadaljevanju pri klasifikaciji globalnih faznih portretov družine kubičnih sistemov z nilpotentnim centrom v izhodišču. V tretjem poglavju je študiran osrednji problem te disertacije, problem integrabilnosti. Problem integrabilnosti, ki je tesno povezan s problemom razlikovanja med centrom in fokusom, je bil raziskan za dve različni družini kubičnih sistemov NDE. S pristopom, ki temelji na računski algebri, so bili pridobljeni potrebni pogoji obstoja prvega integrala teh sistemov. Za vse razen za en pogoj je bil, s številnimi pristopi, dokazan obstoj prvega integrala. Problem centra realnih sistemov je lahko posplošen na kompleksne sisteme. Izhodišče sistema pridobljenega po kompleksifikaciji realnega sistema je tako imenovana 1:-1 resonantna singularnost, in iz tega sledi še dodatna posplošitev. To je tako imenovana posplošitev na p:-q resonantne centre. V tretjem poglavju je predstavljena tudi študija 1:-3 resonantne singularnosti kvadratične družine kompleksnega sistema. Četrto poglavje je namenjeno študiji problema integrabilnosti tridimenzionalnih sistemov s kvadratičnimi nelinearnostmi. Raziskan je bil problem obstoja dveh neodvisnih prvih integralov ter obstoja enega prvega integrala te družine. V zadnjem poglavju so raziskane bifurkacije limitnih ciklov družine kubičnih sistemov. Pridobljene so ocene števila limitnih ciklov, ki bifurcirajo iz vsake komponente raznoterosti centra.

08.08.2023