Opombe
Eden izmed možnih načinov modeliranja odvisnosti slučajnih spremenljivk vodi preko kopul, ki na ravni porazdelitvenih funkcij združujejo enorazsežne porazdelitve v večrazsežne. V doktorski disertaciji definiramo novo družino dvorazsežnih kopul, imenovano maksmin kopule, ki prav tako kot Marshallove izhajajo iz verjetnostnega modela za življenjsko dobo dvokomponentnega sistema, na katerega delujejo udari. Na sistem s komponentama ?$A$? in ?$B$? naj delujejo udari treh vrst. Prva vrsta udara vpliva le na komponento ?$A$?, druga vrsta le na komponento ?$B$?, tretja vrsta udara pa deluje na obe komponenti hkrati. Čase udarov zaporedoma označimo s slučajnimi spremenljivkami ?$X$?, ?$Y$? in ?$Z$? ter za njih predpostavimo, da so med seboj neodvisne. Življenjski dobi komponent ?$A$? in ?$B$? označimo z ?$U$? oziroma z ?$V$?. Ker vsaka izmed komponent preneha delovati ob prvem udaru nanjo, je ?$U = \min\{X,Z\}$? in ?$V = \min\{Y,Z\}$?. Porazdelitev ?$(U, V)$? modelira Marshallova kopula. Marshall v članku A. W. Marshall, Copulas, marginals, and joint distributions, v: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. D. Taylor (ur.), Distributions with Fixed Marginals and Related Topics, IMS Lecture Notes - Monograph Series, vol. 28, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1996, str. 213-222. navede in dokaže izrek, ki karakterizira to družino kopul. V disertaciji pokažemo, da je za veljavnost izreka potrebno dodati še nekaj tehničnih predpostavk, ob tem pa dokažemo tudi močnejšo različico tega izreka. Če za čase udarov predpostavimo eksponentne porazdelitve, dobimo bolj znane Marshall-Olkinove kopule. Verjetnostni model Marshallovih kopul spremenimo tako, da dopuščamo možnost obnovitve komponente ?$A$?, medtem ko ostanejo lastnosti komponente ?$B$? in treh vrst udarov nespremenjene. To si lahko predstavljamo tudi tako, da imamo na razpolago dodatni primerek komponente ?$A$?. Življenjska doba ?$V = \min\{Y,Z\}$? komponente ?$B$? ostane nespremenjena, medtem ko je ?$U = \max\{X,Z\}$?, saj komponenta ?$A$? preneha delovati šele ob obeh udarih nanjo. Želimo poiskati slučajnima spremenljivkama ?$U$? in ?$V$? pripadajočo kopulo. V ta namen vpeljemo maksmin kopule, ki rešijo opisani problem. V disertaciji karakteriziramo družino maksmin kopul, raziščemo njihove lastnosti in navedemo primere.