Konstrukcija spektralnih metod z neperiodičnimi trigonometričnimi vrstami : doktorska disertacija

slovenski

doktorska dela

2012

aproksimacija   Disertacije   dvotočkovni robni problemi   kolokacija   Numerična analiza   Ortogonalni polinomi   poldomenska Čebišev-Fourierova vrsta   poldomenski polinomi Čebiševa druge vrste   poldomenski polinomi Čebiševa prve vrste   posplošena toplotna enačba   posplošena valovna enačba   spektralne metode

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
(Obvezni izvod spletne publikacije)

Ortogonalni polinomi so poleg Fourierove vrste eno izmed orodij, ki se v teoriji aproksimacije najpogosteje uporablja. Posebne lastnosti trigonometričnih funkcij in polinomov zagotavljajo učinkovito računanje ter stabilne in konvergentne numerične rešitve. Spektralne metode so poleg metod končnih razlik in končnih elementov pomembno orodje za reševanje robnih problemov tako pri navadnih kot pri parcialnih diferencialnih enačbah. V prvem delu doktorske disertacije so opisane osnovne lastnosti Fourierove vrste in ortogonalnih polinomov ter nekateri osnovni pristopi za konstrukcijo spektralnih metod z osnovnimi orodji za analizo konvergence in napake. V nadaljevanju sta predstavljeni dve neklasični družini ortogonalnih polinomov, tj. poldomenski polinomi Čebiševa prve in druge vrste ter pripadajoča poldomenska Čebišev-Fourierova vrsta. Obe družini sta konstruuirani z uporabo modificiranega algoritma Čebiševa za izračun rekurzivnih koeficientov v tričlenski rekurzivni formuli. Aproksimacija s kvadratom integrabilnih funkcijs poldomensko Čebišev-Fourierovo vrsto vrne primerljive rezultate kot aproksimacija s Fourierovo vrsto ali z vrsto Čebiševa. V osrednjem delu doktorske disertacije je konstruiran nov razred Čebišev-Fourierovih kolokacijskih spektralnih metod za reševanje linearnih dvo- točkovnih robnih problemov z Dirichletovimi robnimi pogoji, kjer numerično rešitev problema iščemo v obliki odrezane poldomenske Čebišev-Fourierove vrste, spektralne koeficiente pa izračunamo z metodo kolokacije. Analiza konvergence in napake pokaže, da so te metode primerljive s standardnimi, kjer iščemo rešitev v obliki Fourierove vrste za periodične ali v obliki vrste Čebiševa za neperiodične probleme. Nov razred metod konstruiramo tudi za nekatere evolucijske robne probleme, tj. za posplošene toplotne in valovne enačbe. Numerični zgledi potrjujejo teoretične rezultate in prikazujejo primerljivost napake numerične rešitve dobljene z novimi ali s standardnimi metodami. Kljub temu pa je računska zahtevnost neprimerljiva, saj v primeru poldomenske Čebišev-Fourierove vrste ni na voljo orodja za izračun koeficientov, ki bi bilo primerljivo s hitro Fourierovo transformacijo.

12.05.2023