Mutually orthogonal cycle systems

angleški

2023

letnik 23, številka 2

ciklični sistemi ciklov   Heffterjeva polja   popolnoma reducibilen   pravokotne ciklične dekompozicije   superenostaven

Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)

?$\ell$?-ciklični sistem ?$\mathcal{F}$? grafa ?$\Gamma$? je množica ?$\ell$?-ciklov, ki razdelijo množico povezav grafa ?$\Gamma$?. Dva takšna ciklična sistema ?$\mathcal{F}$? in ?$\mathcal{F}'$? sta medsebojno pravokotna, če si nobena dva različna cikla iz ?$\mathcal{F} \cup \mathcal{F}'$? ne delita več kot ene povezave. Pravokotni sistemi ciklov nastanejo naravno iz poliedrov z 2-barvnim barvanjem lic, pri ploskvah višjega rodu pa iz Heffterjevih polj, ki zadoščajo določenim pogojem. Množica paroma pravokotnih ?$\ell$?-cikličnih sistemov grafa ?$\Gamma$? je množica medsebojno pravokotnih cikličnih sistemov grafa ?$\Gamma$?. Naj bo ?$\mu(\ell, n)$? (oziroma, ?$\mu'(\ell, n)$?) maksimalno celo število ?$\mu$?, pri katerem obstaja množica ?$\mu$? medsebojno pravokotnih (cikličnih) sistemov ?$\ell$?-ciklov polnega grafa ?$K_n$?. Dokažemo: če je ?$\ell \ge 4$? sod in ?$n \equiv 1 \pmod 2\ell$?, potem je ?$\mu'(\ell,n)$?, in torej ?$\mu(\ell,n)$?, omejen navzdol s konstantnim večkratnikom števila ?$n/\ell^2$?. Dobimo tudi naslednje zgornje meje: ?$\mu(\ell,n) \le n-2$?; ?$\mu(\ell,n) \le (n-2)(n-3)/(2(\ell-3))$?, če je ?$\ell \ge 4$?; ?$\mu(\ell, n) \le 1$?, če je ?$\ell > n/\sqrt{2}$?; in ?$\mu'(\ell,n) \le n-3$?, če je ?$n \ge 4$?. Predstavimo tudi računske rezultate za majhne vrednosti ?$n$? in ?$\ell$?.

02.10.2023