P R E S E K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 5 Strani 268-274 Janez Strnad: KOŠ! KOŠ! Ključne besede: fizika, gibanje. Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1054-Strnad.pdf © 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. KOŠ! KOŠ! študenti mestnega koledža v Springfieidu v ameriški zvezni državi Massachusetts so zelo radi igrali ameriški nogomet. Velikokrat pa so se morali zaradi dežja odpovedati priljubljeni igri z žogo. Njihovemu učitelju Jamesu Naismithu je šlo tarnanje študentov zaradi slabega vremena do živega in poskusil jim je ustreči z igro z žogo v dvorani. Pri njej je bilo treba žogo spraviti v visoko postavljena koša za breskve. Pozneje so košema odstranili dno, da ni bilo treba vedno plezati po žogo, in ju vpeli. Tako je bila leta 1891 rojena košarka, ki sodi med najbolj prljubljene Športne igre. V počastitev stoletnice košarke poenostavljeno opišimo del pomembnega sestavnega dela igre - meta na koš. Pri tem shajamo z osnovnimi enačbami za enakomerno in enakomerno pospešeno premo gibanje in trigonometrijo. Opazujmo gibanje središča žoge v navpični ravnini, ko leti Žoga proti košu. Sredina obroča v košu naj bo v točki (x0ly0), če zapusti središče žoge metalčevo roko, ko je v izhodišču. Središče žoge se giblje z začetno hitrostjo v pod kotom (3 proti vodoravnici. Kot med zveznico sredine obroča z izhodiščem in vodoravnico zaznamujmo z /3o in kot med smerjo hitrosti središča žoge pri ietu skozi obroč in vodoravnico z a (slika 1). Gibanje središča žoge pri poševnem metu razstavimo na vodoravno in navpično gibanje. Začetno hitrost razstavimo na vodoravno komponento v cos 3 in na navpično komponento v sin 0. Pri vodoravnem gibanju je hitrost konstantna in razdalja narašča sorazmerno s Časom: vx = v cos P x ~ i/i cos ¡3 Slika 1. Met na kol. 1 m \ 7 ^- /s t X A 0 2 U Gffi X 3,0^ m 2,05 rn Pri navpičnem gibanju je hitrost sestavljena iz konstantnega dela, ki ustreza gibanju z začetno hitrostjo navzgor, in iz dela, ki s časom enakomerno narašča in ustreza prostemu padanju. Razdalja zaradi prvega prispevka narašča sorazmerno s Časom, zaradi drugega pa sorazmerno s kvadratom časa, kar je značilno za enakomerno pospešeno gibanje, kakršno je prosto padanje: Vy ~ v ¡3 — g t y — v t sin (3 — j g f2 Pospešek prostega pada ali tež ni pospešek g meri 9,8 m/s2. Iz zadnje od prvih dveh enačb izračunamo čas t = x/vco$p in ga vstavimo v zadnjo enačbo: 2 qx y = xtan/3 — 3 2 v? cosi p Središče žoge se giblje po paraboli. če gre središče žoge skozi sredino obroča, mora veljati 2 QX yc = x0 tan/3 - - ? -- = xotanjS0 2 v1 cos-' p V enačbo smo vključili nazadnje še kot po, saj velja tan£¡0 = yo/> s katero dosežemo koš iz dane razdalje xa. Vzemimo, da meče igralec z meje območja treh točk pri x0 = 6 m in je ob metu središče žoge 1 meter pod košem (y0 = 1 m). Najprej iz enačbe tan0o — yo/xo = g izračunamo kot {3q = 9.5° in nato iz enačbe (4) najugodnejši kot 0 — 45° + j -9,5° = 55°. Zadnja enačba da za hitrost pri najugodnejšem kotu /9, 8 mr3 ■ 6 m ■ cos9, 5° v = \ —-•- . „ „„- = 8, 3 m/s. V 1 — sin 9,5° ' Ta hitrost narašča z naraščajočo razdaljo (slika 3). 2oga z maso m = 0,6 kg ima pri tej hitrosti kinetično energijo jrtiv2 — = j 0, 6 kg 8, 32 m2s~2 = 21 joulov. Pri pospeševanju Joge mora metalčeva roka opraviti tolikšno delo, kot da bi telo z maso 2 kilogramov dvignila meter visoko, če traja pospeševanje 0,2 sekunde, deta tedaj z močjo 21jou!ov/0,2 sekunde = 105 wattov. Zanima nas še, kolikšen je kot a pri najugodnejšem kotu (3nl Iz enačbe (3) dobimo za ta primer z adicijskimi izreki za kotne funkcije a = 45° — Pri našem zgledu meri ta kot a = 45° - ] 9. 5° = 40°. V premeru meri obroč koša 18 col (2r0 — 45,7 cm) in Joga 9,5 col (2r = 24,1 cm), tako da je razmerje radijev Žoge in obroča r/r0 = k s= 0, 53. 2oga zato lahko zgreši s svojim središčem sredino obroča največ za odmik 6xa = r0--t— = r0(l — k/sin a) sin a (5) v eno aii drugo stran. Kljub temu gre skozi obroč, če prileti pod kotom a. Upoštevali smo na eni in drugi strani skrajni odmik, pri katerem se žoga ravno podrsa po obroču (slika 2). 2oga gre skozi obroč tudi še pri nekoliko večjem odmiku, ko se odbije na obroču. Vendar takih košev in košev, pri katerih se žoga odbije na tabli, tu nismo upoštevali. SNka Z. Dopustni odmik pri letu loge skozi obroč. Pri metu z meje območja treh točk pod najugodnejšim kotom je največji dovoljeni odmik po enačbi (5) 6x0 = 22, 9 cm (l - 0, 53/sin 40°) = 4 cm Nazadnje se zanimajmo še za to, kako se spremeni odmik, če malo spremenimo kot /3. Enačbo (2) zapišemo za povečani kot f3!: X° ~ t2j3' ~ Čo) - ^n /So) gcosp o od nje odštejemo enačbo (2) in razliko delimo z enačbo (2): Xp - x0 _ 5xa _ sin (2/3' — /3q) — sin (2/3 — /3p) x0 x0 sin (20 - j3q) - sin /3q Števec predelamo z enačbo za razliko sinusov in nato uporabimo enačbo za kosinus vsote kotov: sin (2/3' - Po) - sin (2/3 - /3q) = 2 cos (2/3 - /30 + 5/3)sin 6(3 = = 2 cos (2/3 -/3o)cos5/3sin 6p - 2sin (2/3 - ftj)sin2 6/3 Pri tem smo uvedli razliko kotov S/3 — p' ~ /3. Ta razlika je majhna in njen sinus je tudi majhen. Tako je drugi člen, ki vsebuje kvadrat njenega sinusa, precej manjši od prvega. Odločilni prvi člen postane enak nič pri najugodnejšem kotu /3n. Tedaj velja namreč 2/3n — /3o = 90°, a kosinus pravega kota je enak nič. Pri najugodnejšem kotu dobimo najmanjši relativni odmik: 6x0 _ 2sin2 6p . . X0 1 - sin po Za koliko stopinj se lahko metalec pri metu pod najugodnejšim kotom z meje območja treh točk zmoti v eno ali v drugo stran, da ne bo zgrešil meta? V enačbo, ki jo dobimo iz (6) 5P = 2x0 vstavimo x0 = 6 m, Po = 9.5° in 6xa = 4 cm, pa dobimo 80 = 0. 053 = 3°. Kot v stopinja h izračunamo tako, da kot v ločni meri pomnožimo s 360°/2ir. Tud i sicer dosežemo pri določanju kotov brez merjenja nenatančnost na nekaj stopinj. Črta, ki jo s prosto roko narišemo skozi dve točki v razmiku deset centimetrov, je za okoli 3° odklonjena od premice, narisane z ravnilom. Po vsem tem si ne moremo kaj, da ne bi občudovali zanesljivosti košarkarjev pri metu na koš. P.J.Bran-cazio je v članku Physics of basketball, American Journal of Physics 49 (1981) 356 poročal o okoli 80 metih dobrih košarkarjev. Mete je med igro posnel s filmsko kamero in po posnetkih premeril. Pri uspešnih metih je bil kot zelo blizu najugodnejšega kota. Dobri košarkarji dosežejo v igri, ko jih nasprotniki pri metu ovirajo, 50 % in več zadetkov. Prt neoviranih metih v igri izkoristek naraste na kakih 70 % in pri kazenskih metih na 90 %. Po Guinessovi knjigi rekordov iz leta 1980 je Ted St.Martin leta 1S77 zadel 2036 zaporednih kazenskih metov na koš, Fred L.Newman pa je leta 1978 zadel 88 zaporednih kazenskih metov z zavezanimi očmi. R.Vinokur je včlanku Kinematika basketbol'nogo broška, Kvant (1990) 4 (2), v katerem je dokaj podrobno obdelal gibanje žoge pri metu, opozoril na to, da mora izvrsten košarkar poleg Slika 3. Začetna hitrost žoge pri metu pod najugodnejšim kotom (a), kot )3q, kot a in najugodnejši kot /3„ (b). odmik 5x0 (c) in odmik 6(3 (d) v odvisnosti od rai-dalje x0 pri višinski razliki ya — 1 m preostalega treninga po petstokrat na dan vreči žogo na koš, da ostane v vaji. Košarkar in fizik se lotita meta na koš popolnoma različno. Fizik raziskuje na splošno pojav, ki ga je tako poenostavil, da ga obvlada s preprostimi enačbami. Tu smo se omejili na navpično ravnino skozi sredino obroča in nismo obravnavali odmikov od najboljše smeri levo in desno. Izognili smo se tudi zračnemu uporu, ki ni popolnoma zanemarljiv, in vrtenju žoge. Košarkar si z vajo pridobi spretnost, da zadene koš iz vseh mogočih položajev. V obeh dejavnostih gre za spoznavanje pojavov in za izkušnje in v obeh imajo glavno vJogo možgani, (e da na različnih ravneh. Podrobnosti o tem še ne poznamo. Zares pa košarkarjeva raven fiziku ne more koristiti in najbrž si tudi košarkar s fizikovo ne more dosti pomagati, Janez Strnad