i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
POVABILO V INVERZNE POLGRUPE
GANNA KUDRYAVTSEVA1
Fakulteta za gradbenǐstvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 20M18, 20M20, 20M05
Ključne besede: inverzna polgrupa, simetrična inverzna polgrupa, parcialno delovanje,
razširitev grupe, prosta inverzna polgrupa
V članku predstavimo uvod v teorijo inverznih polgrup. Poseben poudarek je na
simetrični inverzni polgrupi, ki jo sestavljajo vse parcialno definirane injektivne preslikave
iz množice vase, ter na inverznih polgrupah, ki jih dobimo iz grup, ki parcialno delujejo
na polmrežah s pomočjo konstrukcije semidirektnega produkta. Podrobno opǐsemo nekaj
pomembnih primerov inverznih polgrup, ki nastanejo s pomočjo omenjene konstrukcije.
Bralcu tako predstavimo ne le uvod v osnove teorije inverznih polgrup, pač pa tudi uvod
v področje trenutnih aktivnih raziskav iz inverznih polgrup in njihovih posplošitev.
INVITATION TO INVERSE SEMIGROUPS
We present an introduction to inverse semigroup theory with a special focus on the
symmetric inverse semigroup that consists of all partial injective maps from a set to itself,
and also on inverse semigroups which can be obtained from a group acting partially on
a semilattice using a semidirect product construction. We present a detailed description
of several examples which arise from this construction. We thus provide a reader not
only with an introduction to the basics of the inverse semigroup theory, but also with an
introduction to active ongoing research on inverse semigroups and their generalizations.
Uvod
Potreba po vpeljavi inverznih polgrup je prǐsla iz raziskav v diferencialni
geometriji v sredini 20. stoletja. V tistem obdobju je bila teorija grup kot
abstraktna veda o komponiranju obrnljivih preslikav praktično edino po-
glavje algebre, ki je spodbujalo razvoj geometrije. V geometriji pa je po-
gosto naravno obravnavati bijektivne preslikave med različnimi množicami
ali med podmnožicami neke univerzalne množice. S pomočjo teorije grup
takih objektov ni bilo možno opisati, zato je ruski matematik V. V. Va-
gner2 na začetku petdesetih let 20. stoletja predlagal za parcialno definirane
preslikave uporabo operacije kompozituma binarnih relacij in je prvi razvil
osnove teorije takih algebraičnih struktur [12], ki jih je imenoval posplošene
grupe. Neodvisno od Vagnerja je eno leto kasneje iste algebraične strukture
1Avtorica je bila delno podprta s strani programa P1-0288, ki ga financira ARRS.
2ki je sam raje transliteriral svoj priimek Wagner.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 121
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
vpeljal G. B. Preston [10], ki jih je imenoval z njihovim sedanjim imenom
– inverzne polgrupe. Poleg diferencialne geometrije so inverzne polgrupe
kasneje našle uporabo tudi v teoriji C∗-algeber, kombinatorični teoriji grup
in linearni logiki. Inverzne polgrupe se uporabljajo tudi v fiziki, in sicer v
teoriji kvazikristalov ter v fiziki trdne snovi. Več informacij bralec lahko
najde v knjigi [7] in njeni bibliografiji.
Parcialne permutacije
Parcialna permutacija množice X je injektivna preslikava p : X1 → X, kjer
je X1 podmnožica množice X. Množici X1 in p(X1) imenujemo domena in
kodomena parcialne permutacije p in ju označimo z dom(p) in ran(p). Naj
bo I(X) množica vseh parcialnih permutacij množice X. V primeru, ko je
X1 = X in je p : X → X bijekcija, postane parcialna permutacija množice
X kar permutacija. Množico vseh permutacij množice X označimo s S(X).
Če je X1 = X, parcialna permutacija še ni nujno permutacija, na primer
preslikava p : N → N, definirana s predpisom p(n) = n + 1 za vsak n ∈ N,
ni permutacija, ker njena kodomena ni enaka množici N. Če je množica X
končna, potem je parcialna permutacija p permutacija natanko tedaj, ko je
X1 = X.
Rang parcialne permutacije p : X → X je število rang(p) = |X1| =
|p(X1)|, kjer je |X| oznaka za moč množice X. Če je množica X končna,
potem so permutacije množice X natanko tiste parcialne permutacije, kate-
rih rang je enak |X|.
Podobno kot permutacije tudi parcialne permutacije lahko podamo s
pomočjo tabel. Oglejmo si naslednji primer. Naj bo X = {1, 2, 3, 4} in
naj bo p : dom(p)→ X parcialna permutacija množice X, kjer je dom(p) =
{1, 3}, p(1) = 2 in p(3) = 1. Parcialno permutacijo p potem lahko zapǐsemo
v obliki tabele
p =
(
1 2 3 4
2 ∅ 1 ∅
)
. (1)
Ker je p(1) = 2, smo pod številom 1 zapisali število 2. Podobno smo pod
številom 3 zapisali število 1. Pod številoma 2 in 4 pa smo zapisali simbol
prazne množice ∅, s čimer smo označili dejstvo, da 2, 4 6∈ dom(p).
Kompozitum parcialnih permutacij p in q je nova parcialna permutacija
pq, kjer za vsak x ∈ X velja pq(x) = p(q(x)), seveda če je x ∈ dom(q) in
q(x) ∈ dom(p). Če x 6∈ dom(q) ali pa x ∈ dom(q) a q(x) 6∈ dom(p), potem
x 6∈ dom(pq). Ekvivalentno, pq je parcialna permutacija množice X, kjer je
dom(pq) = q−1(dom(p)) = {x ∈ X : q(x) ∈ dom(p)}
in pq(x) = p(q(x)) za vsak x ∈ dom(pq). Da se pokazati, da je tako defi-
nirana operacija kompozituma parcialnih permutacij na množici X asocia-
tivna.
122 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Izračunajmo na primer produkt pq, kjer sta
p =
(
1 2 3 4
2 ∅ 1 ∅
)
in q =
(
1 2 3 4
∅ 1 4 3
)
.
Najprej zapǐsemo nastavek za pq – naslednjo tabelo s prazno drugo vrstico
pq =
(
1 2 3 4
)
in nato zapovrstjo izračunamo pq(n) za n = 1, 2, 3, 4, seveda, če je ta defi-
niran. Ker 1 6∈ dom(q), tudi 1 6∈ dom(pq) in zato v tabeli pod številom 1
zapǐsemo ∅:
pq =
(
1 2 3 4
∅
)
.
Ker je q(2) = 1 in p(q(2)) = p(1) = 2, je 2 ∈ dom(pq) in pq(2) = 2. Zato v
tabeli pod številom 2 zapǐsemo 2:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2
)
.
Ker je q(3) = 4 in 4 6∈ dom(p), potem 3 6∈ dom(pq). Zato zapǐsemo:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅
)
.
Končno, ker je q(4) = 3 in p(3) = 1, je 4 ∈ dom(pq) in pq(4) = p(q(4)) =
p(3) = 1. Zdaj je produkt pq izračunan:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ 1
)
.
Naj bo Y ⊆ X. Označimo z 1Y parcialno permutacijo, za katero je
dom(1Y ) = Y in 1Y (y) = y za vsak y ∈ Y . Na primer, za Y = {1, 3} in
X = {1, 2, 3, 4}, je
1Y =
(
1 2 3 4
1 ∅ 3 ∅
)
.
Spomnimo se, da se neprazna množica S z asociativno binarno operacijo
imenuje polgrupa. Polgrupa S se imenuje monoid, če obstaja tak element
1 ∈ S, da velja 1x = x1 = x za vsak x ∈ S. Ker za vsako parcialno
permutacijo p ∈ I(X) drži p1X = 1Xp = p, je I(X) monoid.
Zastavimo si vprašanje, ali za parcialno permutacijo p ∈ I(X) obstaja
njej inverzna parcialna permutacija. Tu je vse odvisno od definicije inverzne
121–135 123
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
parcialne permutacije. Če uporabimo definicijo grupnega inverza, se hitro
vidi, da ima p ∈ I(X) inverz natanko tedaj, ko je p bijekcija, torej, ko je
p ∈ S(X). Zato I(X) ni grupa.
Poskusimo prilagoditi definicijo inverza. Vzamemo parcialno permuta-
cijo p iz (1) in opazimo, da za parcialno permutacijo
q =
(
1 2 3 4
3 1 ∅ ∅
)
velja:
pq =
(
1 2 3 4
1 2 ∅ ∅
)
= 1{1,2} in qp =
(
1 2 3 4
1 ∅ 3 ∅
)
= 1{1,3}.
Produkta pq in qp sta torej identični preslikavi na podmnožicah množice X.
Razen tega s pomočjo preprostega računa vidimo, da je pqp = p in qpq = q.
Zato je smiselno definirati p−1 = q. Na splošno, če je p ∈ I(X), je njen
inverz definiran kot parcialna permutacija p−1, kjer je dom(p−1) = ran(p)
in za vsak x ∈ dom(p−1) drži p−1(x) = y, kjer je p(y) = x. Ker je vsak
element p ∈ I(X) bijekcija med dom(p) in ran(p), njegov inverz p−1 obstaja
in je enolično določen.
Inverzne polgrupe: definicija in prve lastnosti
Inverzne polgrupe in monoidi
Naj bo S polgrupa. Element p ∈ S imenujemo regularen element, če obstaja
tak q ∈ S, da velja pqp = p in qpq = q. Element q potem imenujemo inverz
elementa p. Se pravi, element p ∈ S je regularen natanko tedaj, ko ima
inverz. Naj bo S grupa. Potem je seveda aa−1a = a in a−1aa−1 = a−1 za
vsak a ∈ S. Poleg tega iz enakosti aba = a sledi, da je b = a−1: če enakost
aba = a pomnožimo z a−1 z desne, dobimo abaa−1 = aa−1, se pravi ab = 1.
Če isto enakost pomnožimo z a−1 z leve, podobno dobimo ba = 1. Torej
je po definiciji grupnega inverza b = a−1. Zato je pojem inverza v polgrupi
posplošitev pojma inverza v grupi.
Če je S polgrupa in p ∈ S regularen element, se lahko zgodi, da ima p
več inverzov (to se zgodi na primer v polgrupi vseh transformacij množice
X, kjer je |X| ≥ 2, podrobnosti najdete v knjigi [4]). Polgrupo S imenujemo
regularna polgrupa, če je vsak element s ∈ S regularen.
Polgrupo S imenujemo inverzna polgrupa, če ima vsak p ∈ S natanko
en inverz. Na primer, vsaka grupa je inverzna polgrupa. Polgrupa I(X), ki
smo jo definirali v preǰsnjem razdelku, je, kot smo že preverili, tudi inverzna
polgrupa. Ker ima I(X) identični element, je I(X) tudi inverzni monoid.
Inverzni monoid I(X) se imenuje simetrični inverzni monoid na množici X.
124 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Včasih pravimo, da je I(X) simetrična inverzna polgrupa na množici X.
Obe terminologiji sta korektni, uporaba besede »monoid« poudarja dejstvo,
da je I(X) monoid, uporaba besede »polgrupa« pa tega dejstva posebej ne
izpostavlja.
Inverz elementa a inverzne polgrupe S označimo z a−1. Element a−1 je
torej edini element b, za katerega veljata enakosti aba = a in bab = b. Iz
definicije takoj sledi, da je (a−1)−1 = a.
Element e polgrupe S, za katerega velja e2 = e, imenujemo idempo-
tent. Množico idempotentov polgrupe S označimo z E(S). Vsaka grupa
vsebuje natanko en idempotent – identiteto, polgrupe pa lahko vsebujejo
več idempotentov (ali pa sploh nobenega).
Naj bo S inverzna polgrupa in a ∈ S. Iz (aa−1)(aa−1) = (aa−1a)a−1 =
aa−1 sledi, da je aa−1 ∈ E(S). Podobno je tudi a−1a ∈ E(S). Označimo
d(a) = a−1a in r(a) = aa−1. V primeru S = I(X), je d(a) = 1dom(a) in
r(a) = 1ran(a). Zato idempotenta d(a) in r(a) imenujemo domenski idem-
potent in kodomenski idempotent elementa a.
Lema 1. Naj bo S inverzna polgrupa in e, f ∈ E(S). Potem je ef ∈ E(S)
in ef = fe.
Dokaz. Označimo x = (ef)−1. Iz enakosti (fxe)(fxe) = f(xefx)e = fxe
sledi, da je fxe ∈ E(S). Ker je
(ef)(fxe)(ef) = (ef)x(ef) = ef, (fxe)(ef)(fxe) = (fxe)(fxe) = fxe,
je (fxe)−1 = ef . Po drugi strani, iz eee = e sledi, da je e−1 = e za
vsak e ∈ E(S). Zato je (fxe)−1 = fxe in posledično fxe = ef . Torej je
ef ∈ E(S) in podobno fe ∈ E(S). Ker smo označili x = (ef)−1, je x = ef .
Zato velja ef = fxe = f(ef)−1e = fefe = (fe)(fe) = fe.
Lema 1 nam pove, da je množica E(S) zaprta za množenje in je tako
podpolgrupa polgrupe S. Omenimo še eno ključno lastnost inverza, ki po-
splošuje ustrezno lastnost grupnega inverza.
Lema 2. Naj bo S inverzna polgrupa in a, b ∈ S. Potem je (ab)−1 = b−1a−1.
Dokaz. Po definiciji inverza moramo preveriti, da veljata enakosti
(ab)(b−1a−1)(ab) = ab in (b−1a−1)ab(b−1a−1) = b−1a−1. Z upoštevanjem
tega, da je bb−1, a−1a ∈ E(S), in leme 1, preoblikujemo levo stran prve ena-
kosti v (ab)(b−1a−1)(ab) = a(bb−1)(a−1a)b = a(a−1a)(bb−1)b = ab. Drugo
enakost preverimo na podoben način.
121–135 125
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Naravna delna urejenost
Za elementa a, b inverzne polgrupe S definiramo a ≤ b, če je a = be za neki
e ∈ E(S). Relacija ≤ je refleksivna, ker je a = ad(a), in tranzitivna, ker iz
a = be in b = cf sledi, da je a = cfe in je ef ∈ E(S) na podlagi leme 1.
Pokažimo, da je relacija ≤ antisimetrična. Predpostavimo, da je a ≤ b in
b ≤ a. Po definiciji je b = ae in a = bf , kjer sta e, f ∈ E(S). Potem je
b = ae = bfe = bef . Če enakost b = bef pomnožimo z desne s f , dobimo
bf = bef in tako a = b. Zato je ≤ delna urejenost na S, ki jo imenujemo
naravna delna urejenost.
Naj bo a ≤ b in e ∈ E(S) tak element, da je a = be. Potem je ae = bee =
be = a. Če enakost ae = a pomnožimo z a−1 z leve, dobimo d(a)e = d(a).
Posledično imamo a = ad(a) = bed(a) = bd(a). Zato a ≤ b drži natanko
takrat, ko je a = bd(a). Na podoben način se da pokazati, da enakost a = eb
za neki e ∈ E(S) velja natanko takrat, ko je a = r(a)b.
Spet naj bo a ≤ b, se pravi a = bd(a). S pomočjo leme 2 imamo
a−1 = d(a)b−1. Če to enakost pomnožimo z leve z a in z desne z b, dobimo:
aa−1b = ad(a)b−1b = bd(a)d(a)b−1b = (bb−1b)d(a) = bd(a) = a. Torej je
a = r(a)b. Podobno se da pokazati, da iz enakosti a = r(a)b sledi, da je
a = bd(a). Dokazali smo naslednjo trditev.
Trditev 3. Naj bo S inverzna polgrupa in a, b ∈ S. Naslednje trditve so
ekvivalentne:
1. a ≤ b;
2. a = eb za neki e ∈ E(S);
3. a = bd(a);
4. a = r(a)b.
V primeru a, b ∈ I(X) neenakost a ≤ b drži natanko takrat, ko je a
zožitev elementa b, torej je a = 1ran(a)b = b 1dom(a). Z drugimi besedami,
a ≤ b velja natanko takrat, ko je dom(a) ⊆ dom(b) in a(x) = b(x) za vsak
x ∈ dom(a). Na primer, zožitve parcialne permutacije
a =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ 1
)
so (
1 2 3 4
∅ ∅ ∅ 1
)
,
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ ∅
)
in
(
1 2 3 4
∅ ∅ ∅ ∅
)
.
Označimo z 0 parcialno permutacijo z dom(0) = ∅. Ker velja a0 = 0a =
0 za vsak a ∈ I(X), parcialno permutacijo 0 imenujemo ničelna parcialna
permutacija.
126 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Polmreže
Oglejmo si še strukturo polgrup, ki vsebujejo zgolj idempotente. Naj bo E
taka polgrupa. Najprej povejmo, da je E avtomatično inverzna polgrupa,
ker ima vsak e ∈ E en sam inverz, in to je ravno element e. Vzemimo
e, f ∈ E. Potem je ef ≤ e, f . Predpostavimo, da je g ≤ e, f . Potem je
g = ed(g) = eg in podobno g = fg. Zato je g = eg = efg in tako g ≤ ef .
Pokazali smo, da je ef največja spodnja meja za elementa e in f glede na
delno urejenost≤ na E. Delno urejeno množico, kjer ima vsak par elementov
največjo spodnjo mejo, imenujemo polmreža. Torej je (E,≤) polmreža in
največja spodnja meja e∧f elementov e in f je enaka ef . Nasprotno, naj bo
(E,≤) polmreža in z e∧f označimo največjo spodnjo mejo elementov e in f .
Potem je E z operacijo ∧ polgrupa, katere elementi so vsi idempotenti. Zato
polgrupe, ki vsebujejo le idempotente, lahko identificiramo s polmrežami.
Pogosto take polgrupe imenujemo kar polmreže. Za inverzno polgrupo S
rečemo, da je E(S) njena polmreža idempotentov.
Enostavno je videti, da so idempotenti polgrupe I(X) natanko parcialne
permutacije oblike 1Y , kjer je Y ⊆ X. Razen tega za Y,Z ⊆ X velja
1Y 1Z = 1Y ∩Z . (2)
To pomeni, da je struktura polmreže idempotentov polgrupe I(X) »po-
dobna« strukturi polmreže potenčne množice P(X) z operacijo preseka pod-
množic. Matematično natančno to opǐsemo z uporabo pojma izomorfizem
polmrež: preslikava Y 7→ 1Y , kjer je Y ⊆ X, je izomorfizem med polmrežo
P(X) in polmrežo E(I(X)). To pomeni, da je dana preslikava bijekcija, ki
zaradi (2) ohranja polmrežno operacijo.
Vagner-Prestonov izrek
Spomnimo se, da nam Cayleyjev izrek pove, da se da vsako grupo natančno
upodobiti v neki simetrični grupi. Z drugimi besedami, vsaka grupa je
izomorfna podgrupi neke simetrične grupe S(X). Ideja dokaza je dokaj
preprosta: poljubno grupo G lahko zvesto upodobimo v simetrični grupi
S(G) s pomočjo leve regularne upodobitve, ki je preslikava ϕ : G → S(G),
g 7→ ϕg, kjer je ϕg(h) = gh za vsak h ∈ G.
Vagner-Prestonov izrek, ki ga je prvi dokazal leta 1953 V. V. Vagner [12]
in eno leto kasneje neodvisno še G. B. Preston [10], je posplošitev Cay-
leyjevega izreka na inverzne polgrupe. Pri tem vlogo simetrične grupe
S(X) prevzame simetrična inverzna polgrupa I(X). Vagner-Prestonov izrek
nam pove, da vsako inverzno polgrupo lahko z levo regularno upodobitvijo
vložimo v simetrično inverzno polgrupo I(S). Leva regularna upodobitev
ϕ : S → I(S) je definirana takole. Najprej opazimo, da za vsak s ∈ S velja
s−1sS = s−1S: očitno je s−1sS ⊆ s−1S, poleg tega pa za a = s−1b ve-
lja a = s−1ss−1b, zato je tudi s−1S ⊆ s−1sS. Zaradi simetrije velja tudi
121–135 127
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
ss−1S = sS. Za s ∈ S je dom(ϕs) = s−1sS = s−1S in za t ∈ s−1S je
ϕs(t) = st ∈ ss−1S = sS. Da se pokazati, da je ϕ injektiven homomorfizem
polgrup, glejte [9, Theorem IV.1.6] in [7, 1.5].
Konstrukcija inverznih polgrup iz grup in polmrež
Kot smo že omenili, je vsaka polmreža primer inverzne polgrupe, ki vsebuje
le idempotente. Poleg tega je polmreža idempotentov grupe sestavljena
le iz identičnega elementa. Vidimo, da so polmreže in grupe neke vrste
»ekstremni« primer inverznih polgrup. Zastavimo si vprašanje: ali lahko
iz grup in polmrež konstruiramo nove, bolj zanimive inverzne polgrupe?
Katere inverzne polgrupe dobimo?
Semidirektni produkti grup in polmrež glede na delovanja
Naj bo G grupa in X neprazna množica. Grupa G deluje na množici X (z
leve), če je za vsaka g ∈ G in x ∈ X definiran element g · x ∈ X ter velja:
(gh) · x = g · (h · x) za vsaka g, h ∈ G in x ∈ X;
1 · x = x za vsak x ∈ X.
Element g ·x označujemo tudi s ϕg(x). Tako imamo za vsak g ∈ G definirano
preslikavo ϕg : X → X, x 7→ g ·x. Ker je g−1 ·(g ·x) = x, je ϕg bijekcija, zato
imamo homomorfizem grup ϕ : G → S(X), definiran s predpisom g 7→ ϕg.
Velja tudi obratno: homomorfizem grup ψ : G → S(X) definira delovanje
grupe G na množici X s predpisom x 7→ ψ(g)(x), g ∈ G, x ∈ X. Zato
obstaja bijekcija med delovanji grupe G na množici X in homomorfizmi
G→ S(X).
Naj bo zdaj E polmreža. Predpostavimo, da je podano delovanje grupe
G na E, ki je usklajeno z urejenostjo polmreže E, se pravi, zadošča pogoju:
e ≤ f ⇔ g · e ≤ g · f za vse e, f ∈ E in g ∈ G. (3)
Če za delovanje grupe G na polmreži E velja pogoj (3), pravimo, da G
deluje na E z urejenostnimi avtomorfizmi.
Navedimo primer delovanja grupe na polmreži z urejenostnimi avtomor-
fizmi. Naj bo G simetrična grupa S(X), kjer je X = {1, 2, . . . , n}, in naj bo
E = P(X) polmreža vseh podmnožic množice X glede na operacijo preseka
podmnožic. Za g ∈ S(X) in Y ⊆ X definirajmo
g · Y = g(Y ) = {g(y) : y ∈ Y }.
Enostavno je videti, da smo definirali delovanje G na E z urejenostnimi
avtomorfizmi.
128 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Če imamo podano delovanje grupe G na polmreži E z urejenostnimi
avtomorfizmi, lahko na množici E × G = {(e, g) : e ∈ E, g ∈ G} vpeljemo
strukturo polgrupe s predpisom
(e, g)(f, h) = (e ∧ (g · f), gh). (4)
Hitro se da preveriti, da je E ×G inverzna polgrupa, kjer je
(e, g)−1 = (g−1 · e, g−1).
Dobljeno inverzno polgrupo označimo z EoG in jo imenujemo semidirektni
produkt grupe G in polmreže E glede na podano delovanje.
Semidirektni produkti grup in polmrež glede na parcialna delovanja
Opisano konstrukcijo se da posplošiti z delovanj grup na polmrežah na tako
imenovana parcialna delovanja. Parcialna delovanja se naravno pojavijo v
različnih vejah matematike, glejte pregledni članek [2].
Naj bo G grupa in X neprazna množica. Funkcijo Z → X, kjer je
Z ⊆ G×X, bomo imenovali parcialna funkcija iz G×X v X. Sliko elementa
(g, x) ∈ Z označimo z g · x. Če je (g, x) ∈ Z, je element g · x definiran.
Pravimo, da parcialna funkcija iz G×X v X, (g, x) 7→ g·x, definira parcialno
delovanje grupe G na množici X (z leve), če veljajo pogoji:
(A) če sta definirana h · x in g · (h · x), potem je definiran gh · x in velja
gh · x = g · (h · x);
(B) če je definiran g ·x, potem je definiran g−1 ·(g ·x) in velja g−1 ·(g ·x) = x;
(C) za vsak x ∈ X je 1 · x definiran in enak x.
Za vsak g ∈ G s ϕg ∈ I(X) označimo parcialno permutacijo, za katero je
dom(ϕg) = {x ∈ X : element g · x je definiran}
in za x ∈ dom(ϕg) je ϕg(x) = g ·x. Pogoj (A) nam pove, da je dom(ϕgϕh) ⊆
dom(ϕgh) za vse g, h ∈ G in ϕgϕh(x) = ϕgh(x) za vse x ∈ dom(ϕgϕh). Zato
je parcialna permutacija ϕgϕh zožitev parcialne permutacije ϕgh. Presli-
kava ϕ : G → I(X) tako zadošča pogoju ϕgϕh ≤ ϕgh, kot tudi pogojema
ϕg−1 = (ϕg)
−1 za vsak g ∈ G in ϕ1 = 1X . Take preslikave so posplošitve ho-
momorfizmov in se imenujejo prehomomorfizmi. Podobno kot so delovanjem
grupe G na množici X prirejeni homomorfizmi G → S(X), so parcialnim
delovanjem grupe G na množici X prirejeni prehomomorfizmi G→ I(X).
Parcialna delovanja grup so natanko zožitve delovanj. Predpostavimo,
da je podano delovanje grupe G na množici X, (g, x) 7→ g ·x. Naj bo Y ⊆ X
121–135 129
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
neprazna podmnožica in g ∈ G. Najprej opazimo, da se za y ∈ Y lahko
zgodi, da g ·y 6∈ Y . Definirajmo parcialno funkcijo G×Y → Y , (g, y) 7→ g◦y,
kjer je za g ∈ G in y ∈ Y element g◦y definiran natanko tedaj, ko je g ·y ∈ Y
in je v slednjem primeru g◦y = g ·y. Parcialna funkcija (g, y) 7→ g◦y definira
parcialno delovanje grupeG na množici Y , ki ga imenujemo zožitev delovanja
(g, x) 7→ g·x. Obratno, da se pokazati, da je vsako parcialno delovanje grupe
G na množici Y zožitev delovanja grupe G na neki množici X, ki vsebuje Y .
Delovanje grupe G, katerega zožitev je dano parcialno delovanje, se imenuje
globalizacija danega parcialnega delovanja. Več podrobnosti o parcialnih
delovanjih grup lahko bralec najde v člankih [3, 5].
Potrebujemo še naslednjo definicijo. Naj bo E polmreža in I ⊆ E, kjer
je I 6= ∅. Rečemo, da je I urejenostni ideal polmreže E, če za vsak x ∈ I in
vsak y ≤ x velja y ∈ I. Drugo ime za urejenostne ideale je navzdol zaprte
množice.
Naj sedaj grupa G parcialno deluje na polmreži E s preslikavo (g, e) 7→
g · e = ϕg(e) in naj velja naslednji pogoj, ki je podoben pogoju (3):
e ≤ f ⇔ g · e ≤ g · f za vse g ∈ G in e, f ∈ dom(ϕg).
Predpostavimo dodatno, da je za vsak g ∈ G množica dom(ϕg) urejenostni
ideal polmreže E (nato se hitro vidi, da je tudi ran(ϕg) urejenostni ideal
polmreže E). Potem pravimo, da G parcialno deluje na E z urejenostnimi
izomorfizmi med urejenostnimi ideali polmreže E. Na množici
E oG = {(e, g) : g ∈ G, e ∈ ran(ϕg)} (5)
vpeljemo operacijo množenja s predpisom
(e, g)(f, h) = (g · ((g−1 · e) ∧ f), gh) (6)
in operacijo inverza s predpisom
(e, g)−1 = (g−1 · e, g−1). (7)
Ker imamo podano le parcialno delovanje grupe G na polmreži E, je pravilo
(6) neizogibno tehnično bolj zapleteno kot pravilo (4). In sicer, na desni
strani v definiciji produkta ne bi smeli obdržati kar e ∧ g · f , ker se lahko
zgodi, da f 6∈ dom(ϕg). Pogoj e ∈ ran(ϕg) v (5) nam zagotavlja, da je
e ∈ dom(ϕg−1) in zato obstaja g−1 · e. Ker je (g−1 · e) ∧ f ≤ g−1 · e
in je g−1 · e ∈ dom(ϕg), je tudi (g−1 · e) ∧ f ∈ dom(ϕg), saj je množica
dom(ϕg) navzdol zaprta. Z nekaj računanja, ki temelji zgolj na (6) in (7),
se lahko prepričamo, da je množica EoG z operacijama iz (6) in (7) inverzna
polgrupa. Imenujemo jo semidirektni produkt polmreže E in grupe G glede
na podano parcialno delovanje.
130 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Uvod v E-unitarne inverzne polgrupe in McAlisterjev P -izrek
Kasneje bomo navedli nekaj pomembnih primerov inverznih polgrup, ki na-
stanejo iz parcialnih delovanj grup na polmrežah s pomočjo konstrukcije
semidirektnega produkta. V tem razdelku pa si bomo na kratko ogledali
vprašanje, ali morda tvorijo tako nastale inverzne polgrupe kak poseben
razred inverznih polgrup.
Inverzna polgrupa S se imenuje E-unitarna, če za vsak e ∈ E(S) in
s ∈ S iz s ≥ e sledi, da je s ∈ E(S). Obstaja več različnih ekvivalentnih
definicij E-unitarnosti [7, 9]. Omenimo, da je vsaka grupa E-unitarna in-
verzna polgrupa, ker v grupi a ≥ b velja natanko tedaj, ko je a = b. Ni
vsaka inverzna polgrupa E-unitarna. Na primer, če je |X| ≥ 2, simetrična
inverzna polgrupa I(X) ni E-unitarna: za vsak x ∈ I(X) je x ≥ 0, ničelna
parcialna permutacija 0 je idempotent, ni pa vsak x ∈ I(X) idempotent.
Odgovor na vprašanje na začetku tega razdelka prinaša ena od ekvi-
valentnih formulacij [5] slavnega McAlisterjevega P -izreka o strukturi E-
unitarnih inverznih polgrup. Ta pove, da je razred E-unitarnih inverznih
polgrup enak razredu inverznih polgrup, ki se jih da predstaviti kot semidi-
rektni produkt grupe in polmreže glede na parcialno delovanje.
Model Szendreieve za Birget-Rhodesovo razširitev grupe
Navedimo zanimiv in pomemben primer inverzne polgrupe, ki jo konstru-
iramo iz grupe G s pomočjo semidirektnega produkta glede na parcialno
delovanje. Označimo s Pfin(G) množico vseh končnih podmnožic grupe G.
Definirajmo
E = {A ∈ Pfin(G) : 1 ∈ A}.
Na množici E vpeljimo relacijo A ≤ B, če je B ⊆ A. Urejena množica
(E,≤) je polmreža z A∧B = A∪B. Množica {1} je očitno največji element
polmreže E. Poudarimo, da je polmreža E »konstruirana« zgolj iz grupe
G. Za g ∈ G definirajmo
dom(ϕg) = {A ∈ E : g−1 ∈ A} = {A ∈ Pfin(G) : 1, g−1 ∈ A}
in za A ∈ dom(ϕg) naj bo ϕg(A) = gA = {ga : a ∈ A}. Ker je g−1 ∈ A,
je 1 = gg−1 ∈ gA. Torej je gA ∈ E. Da se preveriti, da smo s tem
zares definirali parcialno delovanje grupe G na polmreži E z urejenostnimi
izomorfizmi med urejenostnimi idelali.
Čeprav je konstrukcija preprosta in naravna, tu ne gre za delovanje,
ker enakost ϕgϕh = ϕgh ne drži za vse g, h ∈ G. O tem se najhitreje
prepričamo, če vzamemo g ∈ G, kjer je g 6= 1, in primerjamo elementa
ϕgϕg−1 in ϕ1. Ker je dom(ϕg−1) = {A ∈ Pfin(G) : 1, g ∈ A}, je ran(ϕg−1) =
{A ∈ Pfin(G) : 1, g−1 ∈ A} = dom(ϕg). Zato je dom(ϕgϕg−1) = {A ∈
121–135 131
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Pfin(G) : 1, g ∈ A} in za A ∈ dom(ϕgϕg−1) velja ϕgϕg−1(A) = gg−1A = A.
Torej je ϕgϕg−1 identična preslikava na množici dom(ϕgϕg−1) in je različna
od ϕ1, ki je identična preslikava na E.
Semidirektni produkt polmreže E in grupe G glede na definirano parci-
alno delovanje je množica
E oG = {(A, g) : A ∈ Pfin(G) in 1, g ∈ A}
z operacijama
(A, g)(B, h) = (g(g−1A∪B), gh) = (A∪gB, gh) in (A, g)−1 = (g−1A, g−1).
Inverzno polgrupo E o G je konstruirala Mária B. Szendrei leta 1989 v
članku [11]. Pokazala je, da je konstruirana polgrupa izomorfna prej znani
Birget-Rhodesovi prefiksni razširitvi grupe G in da inverzni monoid E oG
spada v razred tako imenovanih F -inverznih monoidov, ki je vsebovan v
razredu E-unitarnih inverznih monoidov.
Struktura proste inverzne polgrupe
V tem razdelku si bomo ogledali strukturo proste inverzne polgrupe FI(X)
nad množico generatorjev X, in sicer jo bomo konstruirali kot semidirektni
produkt proste grupe FG(X) glede na parcialno delovanje le-te na pol-
mreži, ki jo bomo najlažje definirali s pomočjo Cayleyjevega grafa proste
grupe FG(X). Tako je FI(X) še en primer, tokrat geometrijsko definiran,
semidirektnega produkta grupe in polmreže glede na parcialno delovanje.
Prosta grupa FG(X) in njen Cayleyjev graf
Naj bo X neprazna množica. Množico vseh besed nad X označimo z X∗
in jo imenujemo prosti monoid nad X. Prazno besedo označimo z 1. Naj
bo X−1 = {x−1 : x ∈ X}. Reducirana beseda nad X ∪ X−1 je element
(X ∪X−1)∗, ki ne vsebuje podbesed oblike aa−1 ali a−1a, kjer je a ∈ X. Na
primer, če je X = {a, b}, je prazna beseda 1 reducirana, prav tako beseda
aba−1b2a−1, beseda a3b−1b2a pa ni reducirana, ker vsebuje podbesedo b−1b.
Množico vseh reduciranih besed iz (X ∪ X−1)∗ označimo s FG(X). Na
tej množici definiramo produkt na naslednji način: za u, v ∈ FG(X) je uv
reducirana beseda, ki jo dobimo, če besedo v napǐsemo na desni od besede u
in v primeru potrebe pokraǰsamo vse nastale izraze oblike aa−1 in a−1a, kjer
je a ∈ X. Na primer, če je u = a2b in v = b−1a−1b3, je uv reducirana beseda,
ki jo dobimo, ko pokraǰsamo besedo a2bb−1a−1b3, zato je uv = ab3. Če je
u = a1 . . . an ∈ FG(X), definirajmo u−1 = a−1n . . . a−11 . Da se preveriti,
da je FG(X) grupa. Še več, FG(X) je prosta z X generirana grupa, kar
132 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
a a
b−1
b
b−1
b−1
a−1 a
b
b
aa−1
a−1a−1
b
b−1
Slika 1. Cayleyjev graf grupe FG({a, b}): besede dolžine ≤ 2.
Slika 2. Cayleyjev graf grupe FG({a, b}): besede dolžine ≤ 3.
pomeni, da je vsaka druga z X generirana grupa kvocient grupe FG(X),
kjer je kvocientna preslikava identična na generatorjih.
Spomnimo se, da je Cayleyjev graf z X generirane grupe G usmerjen
označen graf Cay(G;X), oglǐsča katerega so elementi grupe G. Oglǐsči u
in v sta povezani s povezavo (u, y, v), kjer je y ∈ X ∪ X−1, če je v = uy.
Povezavi (u, y, v) in (v, y−1, u) imenujemo nasprotni. Na slikah 1 in 2 sta
predstavljena dela Cayleyjevega grafa grupe FG(X) za X = {a, b}. Na
sliki 1 so prikazana oglǐsča, ki pripadajo reduciranim besedam dolžine dva
ali manj, na sliki 2 pa oglǐsča, ki pripadajo reduciranim besedam dolžine tri
ali manj. Za vsaki dve povezani oglǐsči in za vsak par nasprotnih povezav
med njima je na slikah prikazana le ena povezava iz para.
121–135 133
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 134 — #14 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Prosta inverzna polgrupa kot semidirektni produkt glede na parcialno
delovanje
V Cayleyjevem grafu Cay(FG(X);X) bomo za podgrafe privzeli, da hkrati
z vsako povezavo vsebujejo tudi njeno nasprotno povezavo. Naj bo X mno-
žica vseh končnih povezanih podgrafov grafa Cay(FG(X);X) in E množica
tistih končnih povezanih podgrafov grafa Cay(FG(X);X), katerih eno od
oglǐsč je 1. Na množici X vpeljemo relacijo ≤ nasprotne vsebovanosti pod-
grafov, se pravi Γ1 ≤ Γ2 velja natanko takrat, ko je Γ2 podgraf grafa Γ1.
Enostavno je videti, da je ≤ delna urejenost in da je (E,≤) polmreža, kjer
je Γ1 ∧ Γ2 = Γ1 ∪ Γ2.
Za g ∈ FG(X) in Γ ∈ X naj bo gΓ ∈ X podgraf grafa Cay(FG(X);X),
dobljen iz Γ s pomočjo leve translacije za g: njegova oglǐsča so gh, kjer h
teče po oglǐsčih grafa Γ, njegove povezave pa so (gh1, x, gh2), kjer (h1, x, h2)
teče po povezavah grafa Γ. Za g ∈ FG(X) definirajmo
dom(ϕg) = {Γ ∈ E : g−1 je oglǐsče Γ} = {Γ ∈ X : 1, g−1 sta oglǐsči Γ}.
Za Γ ∈ dom(ϕg) naj bo ϕg(Γ) = gΓ. Ker je g−1 oglǐsče Γ, je 1 = gg−1 oglǐsče
gΓ, iz česar sledi gΓ ∈ E. Da se preveriti, da smo s tem definirali parcialno
delovanje grupe FG(X) na polmreži E s pomočjo urejenostnih izomorfizmov
med urejenostnimi ideali. Podobno kot prej tu ne gre za delovanje, in sicer
enakost ϕgϕh = ϕgh ne drži za vse g, h ∈ FG(X).
Semidirektni produkt polmreže E in grupe FG(X) je v tem primeru
množica
E o FG(X) = {(Γ, g) : Γ ∈ X , 1 in g sta oglǐsči Γ}
z operacijama
(Γ, g)(∆, h) = (g(g−1Γ ∪∆), gh) = (Γ ∪ g∆, gh) in (Γ, g)−1 = (g−1Γ, g−1).
Za x ∈ X naj bo Γx graf z oglǐsčema 1 in x in povezavama (1, x, x)
in (x, x−1, 1). Inverzna polgrupa E o FG(X) je generirana z množico
{(Γx, x) : x ∈ X} in predstavlja model proste inverzne polgrupe FI(X).
To pomeni, da je vsaka z X generirana inverzna polgrupa kvocient polgrupe
EoFG(X), pri čemer kvocientna preslikava slika (Γx, x) v x za vsak x ∈ X.
Opisana konstrukcija je poseben primer splošneǰse konstrukcije – t. i.
Margolis-Meakinove razširitve grupne prezentacije [8], v kateri namesto Cay-
leyjevega grafa Cay(FG(X);X) proste grupe nastopa Cayleyjev graf po-
ljubne grupe podane z generatorji in relacijami.
Zaključne opombe
Če v konstrukciji, ki smo jo navedli v preǰsnjem razdelku, dovolimo tudi
nepovezane končne podgrafe Caylejevega grafa Cay(FG(X);X), dobimo
134 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 135 — #15 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
na podoben način inverzni monoid E o FG(X), kjer je E množica tistih
končnih podgrafov grafa Cay(FG(X);X), katerih eno od oglǐsč je 1. Kot
smo pokazali v nedavnem članku [1], predstavlja dobljeni semidirektni pro-
dukt model prostega F -inverznega monoida. Če pa namesto proste grupe
FG(X) vzamemo poljubno grupo G podano z generatorji in relacijami, do-
bimo F -inverzni monoid, ki ima določeno univerzalno lastnost in združuje
tako Margolis-Meakinovo razširitev kot tudi model Szendreieve za Birget-
Rhodesovo razširitev grupe G.
Za konec naj omenimo še posplošitev inverznih polgrup na tako imeno-
vane omejitvene polgrupe. Slednje so polgrupe, ki za razliko od inverznih
polgrup nimajo operacije inverza, imajo pa dodatni unarni operaciji + in ∗,
ki posplošujeta operaciji a 7→ aa−1 in a 7→ a−1a na inverzni polgrupi. Na
primer, naj bo S = {ϕ ∈ I(X) : ϕ(x) ≥ x za vsak x ∈ dom(ϕ)} ⊆ I(X),
kjer je X = {1, 2, . . . , n}. Za ϕ ∈ S je ϕ∗ = ϕ−1ϕ,ϕ+ = ϕϕ−1 ∈ S, kljub
temu da v splošnem ϕ−1 6∈ S. Polgrupa S je tako primer omejitvene pol-
grupe. Omejitvene polgrupe, konstruirane kot semidirektni produkti mono-
idov in polmrež glede na parcialna delovanja, so predmet aktivnih trenutnih
raziskav, glejte na primer članek [6] in v njem navedeno literaturo.
LITERATURA
[1] K. Auinger, G. Kudryavtseva in M. B. Szendrei, F -inverse monoids as algebraic
structures in enriched signature, Indiana Univ. Math J., sprejeto v objavo, preprint
je prosto dostopen na spletu: www.iumj.indiana.edu/IUMJ/Preprints/8685.pdf,
ogled 20. 12. 2020.
[2] M. Dokuchaev, Recent developments around partial actions, São Paulo J. Math. Sci.
13 (2019), 195–247.
[3] R. Exel, Partial actions of groups and actions of inverse semigroups, Proc. Amer.
Math. Soc. 126 (1998), 3481–3494.
[4] O. Ganuyshkin in V. Mazorchuk, Classical finite transformation semigroups. An in-
troduction, Algebra and Applications 9, Springer-Verlag, London, 2009.
[5] J. Kellendonk in M. V. Lawson, Partial actions of groups, Internat. J. Algebra Com-
put. 14 (2004), 87–114.
[6] G. Kudryavtseva, Two-sided expansions of monoids, Internat. J. Algebra Comput.
29 (2019), 1467–1498.
[7] M. V. Lawson, Inverse Semigroups. The Theory of Partial Symmetries, World Sci-
entific, River Edge, 1998.
[8] S. W. Margolis in J. C. Meakin, E-unitary inverse monoids and the Cayley graph of
a group presentation, J. Pure Appl. Algebra 58 (1989), 45–76.
[9] M. Petrich, Inverse semigroups, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1984.
[10] G. B. Preston, Inverse semi-groups, J. London Math. Soc. 29 (1954), 396–403.
[11] M. B. Szendrei, A note on Birget-Rhodes expansion of groups, J. Pure Appl. Algebra
58 (1989), 93–99.
[12] V. V. Vagner, The theory of generalized heaps and generalized groups, Mat. Sbornik
N. S. 32 (1953), 545–632 (v ruščini).
121–135 135