List za mlade matematike, fzike, astronome in ra.cunalnikarje 
ISSN 0351-6652 Letnik 4(1976/1977) Številka2 Strani 67–71 

Anton Suhadolc: 
MATEMATI.CNE NAPAKE, II.Del 

Klju.cne besede: matematika, teorija števil, popularizacija matema­tike, rekreacijska matematika. 
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-2-Suhadolc.pdf 
c

 1977 Društvo matematikov, fzikov in astronomov Slovenije 
 c2009 DMFA – založništvo 
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo­ljeno. 

MATEMATIKA 

MAT EMATI cNE NEPAKE 
2. DEL 
V 1. številki Preseka smo si ogledal i nekaj primerov matema­ti cn ih nepak. Ponovimo, kaj je nepaka: to je naloga, ki jo ra­cun a mo nepravi lno, rezult at pa je kl jub temu pr avilen. 
V dr ugem delu si bomo ogl edali še nekaj nov ih primerov ne­pak. 
1. Vsakdo ve, da je laže seštevati kot množiti, zato skušamo i zra cu nati 1 ~ . 3 po lažji pot i: 
1~ . 3= 1~ +3= 4~ ( 1) Ob i ca jna pot da isto. Spet se vprašamo, za kakšne ulomke je ta nacin racunanja pravilen . Splošni primer racuna (1) zapišemo v obli ki 
(k + ~) . n = (k + ~) + n (2) 
Tu so a,b, k, n naravna števil a, a < b, a -i n b nimata skupnega faktorja razen 1. Enacbo (2) množimo z b in uredimo, pa dobimo 
(n -1) [( k -1) b + aj = b 
ce je k ~ 2, je leva stran ena ka O, ce je n = 1, ali pa vecJa od a + b, ce je n > 1, torej ne more biti enaka desni. Ostane 
še možnost k = 1: 
(n -1) a = b 
število a deli b, ker pa nimata skupn i h faktorjev, mora biti a = 1; potem pa je n = b + 1. Splošna rešitev enac be (2) je torej 
(1 +t). (b + 1) = (1 +t) + (b + 1) 
kjer je b poljubno naravno število. Primer (1) dobimo pri b = 2. 
2. Vsi menimo, da je rac una nje z ul omki nadl ežno, zato jih bomo pri množenju kar spust ili , kot kaže zgl ed 
11 
(31 + ~)(2 1 -3) 31.21 (4) 62
Po "st ari" poti je leva stran ~ "3 = 21.31, torej je zgor­nj i rezultat pravilen. Splošen primer nepake (4) se da zapisati v obliki 
a e k 
(k + b) (n -a) = .n (5 ) 
Ta ena cba ima v naravnih številih ogromnJ rešitev. Omeji mo se npr. na rešitve, pri katerih je a = c; ko odpravi mo ulomke in uredimo, dobimo 
n. d = k .b + a Tudi ta enacba ima mnogo rešitev. Izberimo si npr. n 43, d = 7, pa dobimo 301 = k cb + a ta ima rešitve 150 .2 + 1, 100.3 + 1, i n še druge . Te nam dajo nepake (150 + ~)(43 -j) 150.43 (100 + j)( 43 -j) 100.43 
(37 + ~) (43 -~) 37.43 Naloga: Poi c i nepake oblike (5), pri katerih je a = a = 1! 
š 
3. Vecini uci teljev mate mati ke in tudi mnogim ucence m je iz prakse pred šols ko tablo do maca form ula za deljenje dvocleni kov 
a + oa c 
~ = b + d' b, d > O (6) Najveckrat dob i ucenec -zag ovornik te formule -oceno nezado­stno. Primeri kažejo, da je formula (vsaj vcasih) pravilna : 3-12312 
-3 
1+'"T T T 8-18 8 18 
2"'+"r '2" j = -2 Naloga: Pokaži, da velja pravilo (6), ce je 
a = 
4. Tiskarne redno obiskuje tiskars ki škrat, ki se rad poigra stekstom (vprašajtev tiskarni"Dela" ), posebno vese1j epa ima nad številkami, ko v tiskarni stavijo in tiskajo matematicne ucbenike, zbirke nalog in zbirke tabe l. (Kar poglejte, koliko napak je v vaših zbirkah vaj iz matematike, posebno pri rezul­tatih!) 
Matematika se pogosto upre celo tiskarskemu škratu; ne more ji vedno do živega, kot kaže jo prime ri 
25 •92 = 2592 Tu je škrat eksponenta 5 in 2 spustil v višino ostalih znakov, znak za množenje pa je izgubil. A glej, leva stran je še vedno enaka desni: 
32 . 81 = 2592 ! 
Na podoben nacin nam jo je skušal zagosti pri tehle racunih: 
112 91 = 11291 
3 
112 931= 11293~ 
112 93331 = 112933~ 
132 7?= 1327~ 
34 425 = 34425 
Njegov trud je bil zaman, saj so vse leve strani enake desnim! 
Naštete nepake je zelo težko poiskati. Prav tako je težko najti nepake, pri kat er i h je izpušcen znak za množenje in zame­njan vrstni red številk: 
21 87 = 1827 35 41 =1435 86 251 = 21586 
5. Podobno kot v primerih pod tocko 4 nam je skušal škrat 
ponagajati pri tehle racunih : 92 -12 92-12 80 72 -32 72-32 = 40 124221 24 1362 3126 
Oba tipa nepak se dasta rešiti povsem splošno. 
Naloga: P oišci rešitve nepak zgornjih dveh t ipov ! 
6. Pri racunanju s potencami nam je dobrodošlo pravilo: ce potenc iramo število samo s seboj, smemo (vcasih) eksponente opustiti : 
33 + 44 + 33 + 55 = 3435 
Res: 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435 Pogosto smemo eksponente opustiti ali celo "krajšati " 
122 + 332 = 1233 13 + 53 + 33 153 93 + 43 + 73 + 43 = 9474 33 + 73 + 13 371 
373 + 133 37 + 13 
373 + 243 37 + 24 Vse zgornj e nepake razen zadnje je silno težko poiskati. Zadnja j e enostavna, saj velja identiteta 

Naloga : Preveri to identiteto! 
7. Zamenjava vrs tnega reda števil je koristna tudi pri dru ­gih racunih, ne samo pr i množenju, kot smo videli v nepakah pod tocko 5. 
Spomnimo se, kaj pomeni za pis a = 342 1 2 ! To je število a, zapisano glede na osnovo 12." V obicajni osnovi 10 imamo: 
a =3.122 + 4.12 + 2 =482 
Nasploh je dosti dela, ce želimo pretvoriti zapis števila v dani osnov i v zapis glede na kakšno drugo osnovo . Oglejmo si se­daj dve enostavni pravili, kako to naredimo: 
1273 =2137, 1382 =3128 , 5764 =7546 ali z bolj enostavnimi zamenjavami: (7) Oba tipa nepak se zdita prav neverje t na . Kaj l ahko ju rešujemo splošno. Ne paka iz prvih treh zgled ov je taka: 

UpoStavajmo. ItaJ pomentta raplsa na'levf In na desnl strani enatlre @(tee + a) .t a 5 b(lu * I * alt drugare 
Ta dtofantska etraEba tma Yzemiao nppr. a - 2b in dobfmo 
W+l 
0 =- 
19 
S poskuianjern ugotou.Tlro, da fr la em ~elftev. d - 7, e = 3. %a a in b pa raerro vzeti pare 2,4; 3.6; 4,8; To nam $a 4 nrpake 
Ztst 127s, 42s~ = 26paa 63,~ * S67r, 84tr m 481r Naloga: PaltEt nekaj nepak obl e (711 
P 
V zabavnt laataaattEn1 likrsturi doblso oplsanc k8 mnogr no- pake fn seveda moge druge tant5rfvostl it matematfke. Za bsalce, kf jfh take nalage privlaEfga, '(l.avdfaM nekanl knjfg, kl &a v ma- teastlEni knjf Enfcl, Jadranska 19.